tabela3, dist. Binomial,Bernoulli

BERNOULLI

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EXERCÍCIO 1 - No lançamento de um dado, a variável aleatória x anota o número de faces 4 obtidas. Determine a média, a variânci e o desvio padrão da variável aleatória x.

x 0 1 total

p(x) x.p(x) (x-média)²p(x) 0.8333333 0 0.02314814815 0.1666667 0.16666667 0.11574074074 1 0.16666667 0.13888888889

E ( x )=μ = p= 2 σ ( x )= p . q = σ ( x )= √ pq=

0.16666666667 média

= 1/6

0.13888888889 variância

= 1/6 * 5/6

0.37267799625 desvio padrao

 EXERCÍCIO 2 - Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas. Uma bola é retirada ao acaso e a variável x anota o número de bolas brancas obtidas. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

total de bolas bolas brancas bolas vermelhas

40 15 25

x 0 1 total

E ( x )=μ= p= 2 σ ( x )= p . q= σ ( x )= √ pq=

p(x) 0.625 0.375 1

x.p(x) 0 0.375 0.375

37.5000% = 15/40 23.4375% = 15/40 * 25/40 48.4123%

EXERCÍCIO 3 - Uma caixa contém 12 canetas das quais 5 são defeituosas. Uma caneta é selecionada ao acaso e a variável x anota o número de canetas defeituosas obtidas. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

12 canetas 5 defeituosas 7 boas

E ( x )=μ= p= 2 σ ( x )= p . q = σ ( x )=√ pq=

x = def 0 1

p(x) x.p(x) (x-média)²p(x) 0.58333333333 0 0.10127314815 0.41666666667 0.416667 0.14178240741 1 0.416667 0.24305555556 41.6667% =5/12 24.3056% =5/12*7/12 49.3007% =RAIZ(5/12*7/12)

EXERCÍCIO 4 - Um lote contém 50 peças boas e 5 defeituosas. Uma peça é retirada deste lote e a variável aleatória x anota o numero de peças defeituosas obtidas. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

EXERCÍCIO 4 - Um lote contém 50 peças boas e 5 defeituosas. Uma peça é retirada deste lote e a variável aleatória x anota o numero de peças defeituosas obtidas. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

sair defeituosa == sucesso == P(1) = p = 5/55 não sair defeituosa == fracasso == P(0) = q = 50/55

E ( x )=μ= p= 2 σ ( x )= p . q= σ ( x )=√ pq=

9.0909%

x = def 0 1 total

8.2645% 28.7480%

EXERCÍCIO 5 - Uma variável aleatória admite distribuição de Bernoulli com variância 0,24. Sabendo-se que a média da variável aleatória x é maior que 0,5 determine esta média.  

E ( x )=μ = p = σ 2 ( x )= p . q =0 , 24 p +q =1 q =1− p p ( 1− p )=0 , 24 p ²− p + 0 , 24= 0

resolvendo a equação do segundo grau temos 0.4 =(1-RAIZ(1-4*0,24))/2 0.6 =(1+RAIZ(1-4*0,24))/2 como o problema diz que p deve ser maior que 0,5 ficamos com o resultado 0,6

das. Determine a média, a variância

a ao acaso e a variável x o da variável aleatória x.

(x-média)²p(x) 0.087890625 0.146484375 0.234375

ionada ao acaso e a o desvio padrão da

média VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO

e a variável aleatória x rão da variável aleatória x.

e a variável aleatória x rão da variável aleatória x.

p(x) 0.909091 0.090909 1.000000

endo-se que a média

au temos

maior que 0,5

x.p(x)

(x-média)²p(x) 0.007513 0.090909 0.075131 0.090909 0.082645

BINOMIAL EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 6

Uma empresa contratou uma agência de publicidade para fazer dois anúncios. A empresa definiu critérios para aferir o suce cada anúncio. Desta forma, o resultado de cada anúncio poderá ser: fracasso ou sucesso. Para cada anúncio com sucesso, a agência receberia R$ 100.000,00. A agência nada receberia nos casos de fracasso. A empresa quer planejar o gasto com esta agência de publicidade. Acredita que a probabilidade de sucesso em cada anúncio é 1/6 e que há independência entre os su dos anúncios. a) Encontre a função de probabilidade (distribuição de probabilidades) do gasto com a agência. b) Calcule o gasto médio esperado com a agência. c) Calcule a variância e o desvio-padrão do gasto no dia com a agência.

EXERCICIO 7

Uma das maiores frustrações do comércio varejista norte-americano é o abuso de clientes em relação à políticas de troca e devolução de mercadorias. Em um ano recente, as devoluções de mercadorias representaram 13% das vendas em lojas de departamento. Considere uma amostra de 20 consumidores que tenham feito compras em uma loja de departamentos. Utiliz modelo binomial para responder às seguintes perguntas: A) Qual é o valor esperado, ou a média aritmética, da distribuição binomial? B) Qual é o desvio padrão da distribuição binomial? C) Qual é a probabilidade de que nenhum dos 20 consumidores venha a efetuar uma devolução de mercadoria? D) Qual é a probabilidade de que não mais de 2 consumidores venham a efetuar uma devolução de mercadoria? E) Qual é a probabilidade de que 3 ou mais dos consumidores venham a efetuar uma devolução de mercadorias?

EXERCICIO 8

Em uma pesquisa realizada pela Sociedade de Administração de Recursos Humanos, 68% dos trabalhadores afirmaram que os empregados têm o direito de monitorar o uso dos telefones na empresa. Suponha que seja selecionada uma amostra aleatória de trabalhadores e que lhes seja perguntado se os empregadores têm o direito de monitorar o uso dos telefones na empresa. Qual é probabilidade de que: A) 5 ou menos desses trabalhadores concordem? B) 10 ou menos desses trabalhadores concordem? C) 15 ou menos desses trabalhadores concordem?

Em uma pesquisa realizada pela Sociedade de Administração de Recursos Humanos, 68% dos trabalhadores afirmaram que os empregados têm o direito de monitorar o uso dos telefones na empresa. Suponha que seja selecionada uma amostra aleatória de trabalhadores e que lhes seja perguntado se os empregadores têm o direito de monitorar o uso dos telefones na empresa. Qual é probabilidade de que: A) 5 ou menos desses trabalhadores concordem? B) 10 ou menos desses trabalhadores concordem? C) 15 ou menos desses trabalhadores concordem?

EXERCICIO 9

Uma firma exploradora de petróleo acha que 5% dos poços que perfura acusam deposito de gás natural. Se ele parfurar 6 poç determine a probabilidade de: a) nenhum poço ter gás natural; b) dois poços terem gás natural; c) dois ou menos poços terem gás natural.

EXERCICIO 10 Suponha que 8% dos cahorros-quentes vendidos num estádio de futebol sejam pedidos sem mostarda. Se 7 pessoas pedem c quente, determine a probabilidade de que: a) todos queiram mostarda; b) 5 pessoas queiram mostarda; c) 5 ou mais queiram mostarda.

érios para aferir o sucesso de núncio com sucesso, a anejar o gasto com esta ependência entre os sucessos

à políticas de troca e vendas em lojas de e departamentos. Utilize o

rcadoria? ercadoria? rcadorias?

es afirmaram que os ma amostra aleatória de 20 nes na empresa. Qual é a

SUCESSO FRACASSO probabilidade LETRA A X 0 1 2 TOTAL LETRA B X 0 1 2 TOTAL

Prob. de devolução amostra LETRA A E(x) = n*p LETRA B Var(X) = n*p*(1-p) Devio Padrão LETRA C P(X = 0)

Recebe $100.000,00 Não recebe 1/6 Função de Propabilidade P(X = x) 0.6944444444 0.2777777778 0.0277777778 1 P(X = x) E(X)= Sxi * P(X=x) Y = gasto 0.6944444444 0 0.2777777778 0.2778 0.0277777778 0.0556 1 0.3333 R$ 33,333.33

13% 20 2.6

X~Binomial (20; 13%) X= número de devoluções =O22*O21

2.2620 =O21*O22*(1-O21) 1.5039946808 =RAIZ(O27)

0.0617141927 =DISTRBINOM(0;20;0,13;0)

68% dos trabalhadores afirmaram que os empregadores têm o direito de monitorar o uso dos telefones na empresa amostra aleatória de 20 trabalhadores

es afirmaram que os ma amostra aleatória de 20 nes na empresa. Qual é a

X ~ Binomail (20; 68%) X = Número de trabalhadores que concordam LETRA A P(X ≤ 5) = [ P(X = 5) + P(X = 4) + P(X = 3) + P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0)] P(X = 0) ### P(X = 1) ### P(X = 2) ### P(X = 3) ### P(X = 4) ### P(X = 5) ### SOMA = ### P(X ≤ 5)

al. Se ele parfurar 6 poços,

. Se 7 pessoas pedem cahorro-

###

0.0099185%

p= n= a) b) c)

p= q= n= a) b) c)

5% 6 poços

0.7350918906 =DISTRBINOM(0;6;P60;FALSO) 0.0305439844 =DISTRBINOM(2;6;P60;FALSO) 0.9977701563 =DISTRBINOM(2;6;P60;VERDADEIRO)

92% com mostarda 8% sem mostarda 7 pessoas 0.5578466012 =DISTRBINOM(7;7;O73;FALSO) 0.0885805567 =DISTRBINOM(5;7;O73;FALSO) 0.9859859587 =1-DISTRBINOM(4;7;O73;VERDADEIRO)

X~Binomial (2; 1/6)

LETRA C X 0 1 2 TOTAL

Var(X) = n*p*(1-p) P(X = x) E(X)= Sxi * P(X=x) Variância Desv. Padrão 0.69444 0 0 0 0.27778 0.27778 0.20062 0.44790 0.02778 0.05556 0.05401 0.23241 1 0.3333333

LETRA D P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) SOMA P(X ≤ 2)

### ### ### ### 0.507957787 =DISTRBINOM(2;20;13%;1)

LETRA E P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X < 3) P(X ≥ 3)

P(X ≥ 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [ P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0)] 0.06171419 0.18443322 0.26181037 0.50795779 0.49204221

P(X ≥ 3)

LETRA B P(X = 0)

0 1 2

0.492042213 =1-DISTRBINOM(2;20;0,13;1)

P(X ≤ 10) = 0.0000000

LETRA C P(X ≤ 15) =

0.81727725153

P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3) P(X = 4) P(X = 5) P(X = 6) P(X = 7) P(X = 8) P(X = 9) P(X = 10) SOMA =

0.0000000 0.0000001 0.0000014 0.0000125 0.0000852 0.0004524 0.0019228 0.0066395 0.0188120 0.0439731 0.0718991

P(X ≤ 10)

0.0718991

81.7277%

7.1899%