chapître 50

Courbes paramétrées planes M.S.Souhail

5.1 Généralités Toute fonction f dé…nie sur une partie de R et prenant ses valeurs dans Rn est dite fonction vectorielle d’une variable réelle. On se restreint ici au cas n = 2. Soient I une partie non vide de R et f : I ! R2 une fonction vectorielle, dé…nie par f (t) = (x(t); y(t)). Les fonctions x et y sont appelées les fonctions q coordonnées de f . La norme de f est la fonction kf k : t 7 !

x2 (t) + y 2 (t).

! ! On se place dans le plan a¢ ne euclidien associée à R2 , muni du repère orthonormé (O; i ; j ), ! ! où ( i ; j ) est la base canonique de R2 . On peut regarder la fonction f comme celle qui à ! ! ! t 7 ! M (t), où OM (t) = x(t) i + y(t) j . Soient t0 2 I, f une fonction vectorielle dé…nie sur I, sauf peut être au point t0 et l = (l1 ; l2 ) On dit que f (t) tend vers l, lorsque t tend vers t0 dans I, si x(t) tend vers l1 et y(t) tend vers l2 , lorsque t tend vers t0 dans I. Dans ces conditions on écrit lim f (t) = l = (l1 ; l2 ) = ( lim x(t); lim y(t)).

t !t0

t !t0

t !t0

On dit que f est continue en t0 2 I (resp. sur I), si les deux fonctions coordonnées x et y sont continues en t0 (resp. sur I). Si I est ouvert, on dit que f est dérivable en t0 2 I (resp. sur I), si les deux fonctions x et y sont dérivables en t0 (resp. sur I) et on a f 0 (t0 ) = (x0 (t0 ); y 0 (t0 )). Si x et y sont n fois dérivables en t0 , on dit que f est n fois dérivable en t0 et on notera pour chaque entier k 2 [0; n], f (k) (t0 ) = (x(k) (t0 ); y (k) (t0 )) la dérivée d’ordre k en t0 . f est dite de classe C n sur I, si x et y sont de classe C n sur I. Exemple La fonction f dé…nie par 1 f (t) = (tet ; ) t 1 est une fonction vectorielle de classe C sur R et on a 8n 2 N; f (n) (t) = (tet + net ; ( 1)n

n! tn+1

)

Théorème 5.1 (Formule de Taylor-Young) Soient I un intervalle ouvert de R, t0 2 I et f une fonction vectorielle de classe C n sur I, alors pour tout h tel que t0 + h 2 I, on a f (t0 + h) = f (t0 ) + hf 0 (t0 ) + ::: +

hn hk (k) f (t0 ) + ::: + f (n) (t0 ) + hn "(h) k! n!

avec "(h) = ("1 (h); "2 (h)) et lim "(t) = (0; 0). h!0

1

Preuve On applique la formule de Taylor-Young aux fonctions coordonnées x et y de f .

5.2 Notion de courbe 1. Dé…nitions et exemples Soit f : I ! R2 une fonction vectorielle dé…nie par f (t) = (x(t); y(t)). Dé…nition 5.1 La fonction f : I ! R2 est appelée courbe paramétrée plane, les équations x = x(t) et y = y(t) sont appelées équations paramétriques (ou représentation paramétrique) de la courbe f et la variable t est appelée paramètre. Exemples 1. Le graphe d’une application h : I ! R peut être considéré comme une courbe paramétrée, en posant x=t ; t2I y = h(t) 2. Soient x0 , y0 , a, b des constantes réelles, avec (a; b) 6= (0; 0). alors x = x0 + at ; t2R y = y0 + bt est une représentation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées (x0 ; y0 ) et parallèle au vecteur de coordonnées (a; b). Remarque Une courbe paramétrée plane ne peut pas admettre forcément une représentation cartésienne de la forme y = F (x). Il se peut qu’on puisse éliminer le paramètre t entre x et y; on obtient ainsi une équation de la forme F (x; y) = 0. C’est par exemple le cas du cercle dé…ni par: x(t) = cos t; y(t) = sin t, t 2] ; ]. Dé…nition 5.2 ! L’ensemble = fM (t) : t 2 I; OM (t) = f (t)g est appelé support de f (ou trajectoire de f ), (parfois, on utilise l’expression courbe pour indiquer le support d’une courbe). ! Un point M de est dit simple s’il existe une seule valeur t 2 I, telle que OM = f (t); dans le cas contraire, le point M est dit multiple. ! S’il existe exactement deux valeurs t1 ; t2 2 I (t1 6= t2 ), tels que, OM = f (t1 ) = f (t2 ) le point M est dit point double. On dit que est simple, si tout point M est simple (dans ce cas l’application f est injective). Exemple 2 Chercher les points doubles de la courbe: x(t) = t2 3 2t , y(t) = t t 3 : On trouve le système: t1 + t2 = 2, t1 t2 = 3; d’où t1 = 1 et t2 = 3. Ainsi x = 1 et y = 2 sont les coordonnées du seul point double.

2. Changement de paramètre Soit u 7 ! t = '(u) une application d’une partie J de R dans I. Alors l’application u 7 ! f ('(u)) de J dans R2 est une nouvelle courbe paramétrée, déduite de la précédente par le changement de paramètre t = '(u). 2

Si l’application ' est surjective, alors f (I) = f ('(J)) et x = x('(u)), y = y('(u)) est une représentation paramétrique. On peut former autant que l’on désire, puisque la surjection ' est arbitraire. Ainsi, une même courbe admet une in…nité de représentations paramétriques. Exemple Soient a > 0 et b > 0. Considérons l’ellipse E, d’équation x = a cos t y = b sin t

t2[

; [

et

x2 a2

+

y2 b2

= 1. Alors

x = a(1p 2u2 ) y = 2bu 1 u2

u 2 [ 1; 1[

sont des représentations paramétriques de E.

3. Réduction du domaine d’étude Le domaine de dé…nition Df , sur lequel f est dé…nie est l’intersection des domaines de dé…nition de x et de y: Df = Dx \ Dy . Périodicité Si x et y ont une période commune positive T (plus petite que toutes les autres périodes communes positives), les points M (t) et M (t + T ) s’identi…ent. Pour obtenir toute la courbe, il su¢ t de faire varier t dans [a; a + T [\Df , avec a 2 R. Le choix de a résultera souvent des considérations de symétries. Remarque Il se peut qu’un changement de paramètre fasse apparaitre une telle périodicité. Par exemple, la courbe dé…nie par x = cos t3 ; y = sin t3 n’est pas périodique. Mais si on fait le changement de paramètre u = t3 , alors x et y sont des fonctions périodiques de u, de période 2 . Pour obtenir toute la courbe, il su¢ t donc de faire varier u dans un intervalle de longueur 2 . Symétrie les symétries rencontrées, le plus souvent, sont celles qui font intervenir le centre ou les axes ! ! du repère (O; i ; j ). Soient t; t0 2 Df : Si les fonctions x et y sont paires, le point M ( t) s’identi…e au point M (t). Pour obtenir toute la courbe, il su¢ t de prendre t dans [0; +1[\Df . Si x(t0 ) = x(t) et y(t0 ) = y(t), les points M (t) et M (t0 ) sont symétriques par rapport à l’axe Ox. En particulier, si x est paire et y est impaire, le domaine d’étude se réduit à [0; +1[\Df , on trace la courbe puis on complète par symétrie par rapport à Ox. Si x(t0 ) = x(t) et y(t0 ) = y(t), les points M (t) et M (t0 ) sont symétriques par rapport à l’axe Oy. En particulier, si x est impaire et y est paire, le domaine d’étude se réduit à [0; +1[\Df , on trace la courbe puis on complète par symétrie par rapport à Oy. Si x(t0 ) = x(t) et y(t0 ) = y(t), les points M (t) et M (t0 ) sont symétriques par rapport à l’origine O. En particulier, si x est impaire et y est impaire, le domaine d’étude se réduit à [0; +1[\Df , on trace la courbe puis on complète par symétrie par rapport à O. Si x(t0 ) = y(t) et y(t0 ) = x(t), les points M (t) et M (t0 ) sont symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation y = x. Si x(t0 ) = y(t) et y(t0 ) = x(t), les points M (t) et M (t0 ) sont symétriques par rapport à la deuxième bissectrice d’équation y = x. 3

Exemple Soit f la courbe dé…nie par x = t + arctan t; y =

1 1 + arctan( ): t t

Le domaine de dé…nition de f est Df = R . On a x( t) = x(t) et y( t) = y(t), les points M (t) et M ( t) sont symétriques par rapport à l’origine O. On peut donc réduire le domaine d’étude à ]0; +1[. Soit t 2]0; +1[, on pose t0 = 1t . Alors x(t0 ) = y(t) et y(t0 ) = x(t), les points M (t) et M (t0 ) sont symétriques par rapport à la première bissectrice. Conclusion: il su¢ t de faire l’étude de f dans ]0; 1]. Translation Si Df = R et s’il existe T > 0 et (a; b) 2 R2 , (a; b) 6= (0; 0), tels que 8t 2 R; x(t + T ) = a + x(t)

et

y(t + T ) = b + y(t).

Alors le domaine d’étude se réduit à [ 2T ; T2 ], on trace la courbe sur cet intervalle, puis on ! ! complète par translation de vecteur a i + b j . Exemple Soit f la courbe dé…nie par x(t) = t

sin t; y(t) = 1

cos t:

On a 8t 2 R; x(t + 2 ) = 2 + x(t) et y(t + 2 ) = y(t) donc a = 2 et b = 0. Alors le domaine d’étude se réduit à [ ; ], on trace la courbe sur cet intervalle, puis on ! complète par translation de vecteur 2 i .

5.3 Etude locale d’une courbe Soient f : I ! R2 une courbe paramétrée dé…ne par f (t) = (x(t); y(t)), t0 2 I, M0 = (x(t0 ); y(t0 )) et M = (x(t); y(t)).

1. Tangente Supposons que f est dérivable au point t0 2 I. Dé…nition 5.3 On dit que le point M0 est régulier, si f 0 (t0 ) 6= 0. On appelle tangente à la courbe f au point M0 , la droite passant par M0 et de vecteur directeur f 0 (t0 ); d’équation x0 (t0 )(y y(t0 )) y 0 (t0 )(x x(t0 )) = 0. On dit que le point M0 est stationnaire ou singulier, si f 0 (t0 ) = 0. Si on suppose de plus que f est dérivable p fois (p > 1) en t0 et que f 0 (t0 ) = ::: = f (p

1)

(t0 ) = 0 et f (p) (t0 ) 6= 0.

On appelle tangente à la courbe f , au point stationnaire M0 , la droite passant par M0 et dirigée par f (p) (t0 ); d’équation x(p) (t0 )(y y(t0 )) y (p) (t0 )(x x(t0 )) = 0. 4

Exemples 1. Soit la courbe f dé…nie par x = exp t; y = t2 : On a f 0 (t) = (exp t; 2t) 6= (0; 0), alors tout point M (exp t; t2 ) est régulier et la tangente en ce point est dé…nie par le vecteur f 0 (t) = (exp t; 2t). 2. Soit la courbe f dé…nie par x = t2 ; y = t3

cos t:

On a f 0 (0) = (0; 0) alors le point M0 (0: 1) est stationnaire et la tangente en ce point est 0(2) dirigée par f (0) = (2; 1); d’équation y = 12 x 1.

2. Position d’une courbe par rapport à sa tangente Supposons que f est de classe C 1 sur un voisinage de t0 . On Suppose aussi que les deux entiers suivants existent: p est le plus petit entier non nul tel que f (p) (t0 ) 6= 0; q est le plus petit entier supérieur strictement à p tel que f (p) (t0 ); f (q) (t0 ) soit une base de R2 . Pour tout entier k 2 [p + 1; q 1] (lorsque cet intervalle est non vide), il existe un scalaire (k) (t0 ) = k f (p) (t0 ). Et par la formule de Taylor-Young, au voisinage de t0 à k 2 R tel que f l’ordre q on en déduit: ! hq hp M0 M = ( + Sp;q (h))f (p) (t0 ) + (f (q) (t0 ) + "(h)), p! q! Pq 1 hk si q > p + 1 et vaut 0 si q = p + 1. avec h = t t0 , lim "(h) = (0; 0) et Sp;q (h) = k=p+1 k! k h!0 Posons ! u = f (p) (t0 ) et ! v = f (q) (t0 ). Dans la base f! u ;! v g, le couple de coordonnées du ! p q vecteur M0 M est, pour h voisin de zéro, est équivalent au couple ( hp! ; hq! ). Alors on a les résultats suivants: (a) Premier cas: p impair et q pair Dans un voisinage de t0 , le point M de la courbe f appartient au demi-plan limité par la tangente et qui contient ! v et la courbe f traverse au point M0 , la droite dé…nie par M0 et ! v . On dit que M0 est un point ordinaire. (Figure 1) (b) Deuxième cas: p impair et q impair Dans un voisinage de t0 , la courbe f traverse au point M0 , à la fois la tangente et la droite dé…nie par M0 et ! v . On dit que M0 est un point d’in‡exion. (Figure 2) (c) Troisième cas: p pair et q impair Dans un voisinage de t0 , la courbe f traverse sa tangente au point M0 et appartient au demi-plan limité par la droite dé…nie par M0 et ! v . qui contient ! u . On dit que M0 est un point de rebroussement de première espèce. (Figure 3) (d) Quatrième cas: p pair et q pair. Dans un voisinage de t0 , la courbe f arrive à M0 et repart dans le même quadrant, limité par les deux vecteurs de base. On dit que M0 est un point de rebroussement de seconde espèce. (Figure 4)

5

Figure 1

Figure 2

Figure 3

Figure 4

Exemples 1. Soit la courbe fm dé…nie par x(t) = t + t2 , y(t) = mt2 + t3 (m 2 R). (3)

0 00 Alors on a, fm (0) = (1; 0); fm (0) = (2; 2m); fm (0) = (0; 6):

Si m 6= 0, l’origine O est un point ordinaire pour f1 .

Si m = 0, l’origine O est un point d’in‡exion pour f0 . 2. Soit la courbe fm dé…nie par x(t) = t2 , y(t) = mt3 + t4 + t5 (m 2 R). (3)

(4)

00 0 (0) = (2; 0); fm (0) = (0; 6m); fm (0) = (0; 24): Alors on a, fm (0) = (0; 0); fm

Si m 6= 0, l’origine O est un point de rebroussement de première espèce pour f1 . Si m = 0, l’origine O est un point de rebroussement de seconde espèce pour f0 . 3. Soit la courbe f dé…nie par x(t) = t On a x0 (t) = 1

cos t, y 0 (t) = 1

sin t, y(t) = t

t cos t:

cos t + t sin t: x0 (t) = y 0 (t) = 0 () t 2 f2k ; k 2 Zg.

Les points stationnaires de f sont les points Mk (2k ; 0); k 2 Z:

x00 (t) = sin t, y 00 (t) = 2 sin t + t cos t et x(3) (t) = cos t, y (3) (t) = 3 cos t t sin t: ! Si k 6= 0, on a f (2) (2k ) = (0; 2k ) 6= 0 , f (3) (2k ) = (1; 3) et comme ff (2) (2k ); f (3) (2k )g est une base de R2 , alors p = 2, q = 3 et Mk est un point de rebroussement de première espèce. 6

t3 6

3

t5 120

5

t + o(t5 ) et DL50 y(t) = t2 + o(x5 ) donc 24 ! f 0 (0) = f (2) (0) = f (4) (0) = 0 et f (3) (0) = (1; 3), f (5) (0) = ( 1; 5).

Si k = 0, DL50 x(t) =

On a ff (3) (0); f (5) (0)g est une base de R2 , alors p = 3, q = 5 et M0 est un point d’in‡exion.

5.4 Branches in…nies Nous considérons des intervalles I =]a; b[, dont a peut être ! Posons f (t) = (x(t); y(t)) et OM (t) = f (t).

1 et dont b peut être +1.

Dé…nition 5.4 Soient f : I ! R2 une courbe paramétrée et t0 une extrémité de l’intervalle I. On dit que la courbe f possède une branche in…nie en t0 si lim x(t) = 1 ou lim y(t) = 1. t !t0

On dit qu’une droite

t !t0

est asymptote à la courbe q f en t0 , si lim d(M (t); ) = 0 avec d(M (t); ) = inf (x(t) a)2 +(y(t)

t !t0

b)2 .

(a;b)2

Recherche d’asymptote Pour déterminer pratiquement s’il y a branche parabolique ou asymptote, on emploie le plus souvent les remarques suivantes: 1. Si lim x(t) = x0 et lim y(t) = 1 alors la droite d’équaton x = x0 est asymptote. t !t0

t !t0

t !t0

t !t0

2. Si lim y(t) = y0 et lim x(t) = 3. Si lim x(t) = t !t0

1 et lim y(t) = t !t0

1 alors la droite d’équaton y = y0 est asymptote. 1. On cherche la limite m de

y(t) . x(t)

(a) Si m = 0, on dit que f admet une branche parabolique dans la direction Ox. (b) Si m = 1, on dit que f admet une branche parabolique dans la direction Oy. (c) Si m est …ni et non nul. Alors la droite Dt de pente m menée par M (t) a pour équation: Y

y(t) = m(X

x(t)) ou Y = mX + y(t)

mx(t):

(i) Si lim (y(t) mx(t)) = 1; f admet une branche parabolique dans la direction de t !t0 pente m. (ii) Si lim (y(t) mx(t)) = ; f admet l’asymptote d’équation Y = mX + . t !t0

Si lim (y(t)

Y ) = 0+ , le support

de f est au dessus de l’asymptote.

Si lim (y(t)

Y ) = 0 , le support

de f est en dessous de l’asymptote.

t !t0

t !t0

5.5 Concavité Considérons une courbe paramétrée f : I ! R2 , dé…nie par f (t) = (x(t); y(t)). Si J est un intervalle de R, contenu dans I, dans lequel la fonction t 7 ! x = x(t) est strictement monotone et dérivable, de dérivée non nulle, alors il existe une fonction réciproque x 7 ! t = '(x), de dérivée '0 (x) = x01(t) . Le long de la courbe partielle g = f =J; on a y = y('(x)), donc si y est dérivable par rapport 0 dy à t, y ' est dérivable par rapport à x et dx = y 0 ('(x)):'0 (x) = xy 0(t) = m(t). (t) Supposons que la fonction t 7 ! m(t) = alors on a le théorème suivant

y 0 (t) x0 (t)

(pente de la tangente) est dérivable sur J,

7

Théorème 5.2 Pour que 1 , support de g = f =J, ait sa concavité tournée ves le haut, il faut et il su¢ t que x0 (t)m0 (t) 0 dans J. Preuve m0 (t) d2 y dy 0 0 = m(t) = m('(x)) alors yx002 = dx 2 = m ('(x))' (x) = x0 (t) . dx D’après un théorème sur les fonctions convexes y = y('(x)) est convexe si et seulement ,si yx002 0 sur J.

5.6 Construction des courbes paramétrées planes En pratique, pour construire une courbe paramétrée f dé…nie par x = x(t), y = y(t), on étudie simultanément les deux fonctions x(t) et y(t), selon le plan suivant: 1. On détermine le domaine de dé…nition Df ; intersection des domaines de dé…nition de x et de y: Df = Dx \ Dy . 2. On cherche les particularités des fonctions x et y pour réduire le domaine d’étude. 3. On étudie les variations des fonctions x et y (le plus souvent, on étudie pour cela les signes de x0 (t) et y 0 (t)) et on résume les résultats dans un tableau. 4. On détermine les points particuliers correspondant à des valeurs remarquables de t, et les tangentes en ces points. 5. On détermine les branches in…nies éventuelles. 6. Eventuellement, on étudie la concavité. 7. On trace la courbe en indiquant le sens de parcours suivant les valeurs du paramètre t. Exemple Soit la courbe f dé…nie par x(t) = 1) Df =]

1; 1[[]

1 1

; y(t) = t2 1

t3 t2

1; 1[[]1; +1[:

2) 8t 2 Df , x( t) = x(t) et y( t) = y(t), donc la courbe de f est symétrique par rapport à l’axe (Ox). Le domaine d’étude se réduit donc à De = [0; 1[[]1; +1[: 3) x0 (t) =

2t , (1 t2 )2

y 0 (t) =

t2 (3 t2 ) (1 t2 )2

=

p p t2 ( 3 t)( 3+t) . 2 (1 t )2

p 0; 8t 2 De , donc x est croissante sur De . y 0 (t) 0; 8t 2 [ 3; +1[ et p p p 0; 8t 2 [0; 3] donc y est décroissante sur [ 3; +1[ et croissante sur [0; 3].

x0 (t) y 0 (t)

Tableau de variations de f t

0

x0 (t) x(t) 1 y(t) 0 0

y (t)

p

1 + %

%

+1

3 +

+1 +1 +

1

1

1 2

%

p 3

% +

2

3 0

%

&

p 4) Soit t 2 De , x0 (t) = 0 () t = 0 et y 0 (t) = 0 () t = 0 ou t = 3: On a f 0 ((0) = (0; 0), donc M (0) = (1; 0) est un point stationnaire. 8

0 1

DL40 x(t) = 1 + t2 + t4 + o(t4 ) et DL40 y(t) = t3 + o(t4 ), donc x(2) (0) = 2, x(3) (0) = 0, y (2) (0) = 0 et y (3) (0) = 6. ff (2) (0); f (3) (0)g est une base de R2 , donc M (0) est un point de rebroussement de première espèse. p p p p On a f 0 ( 3) = ( 23 ; 0), M ( 3) = ( 12 ; 32 3) est un point régulier; la tangente en ce point est horizontale. y(t) t!1 x(t)

5) lim x(t) = lim y(t) = +1, lim t!1

t!1

3 2

la droite d’équation y = x lim+ x(t) = lim+ y(t) =

t!1

t!1

droite d’équation y = x

y(t) t!1 x(t)

courbe f en y 0 (t)

1.

t! 1

x(t)) = lim ( t!1

t2 +t+1 ) t+1

3 ; 2

=

Donc

= 1 et lim (y(t) t!1

x(t)) = lim ( t!1

t2 +t+1 ) t+1 +

=

3 ; 2

Donc la

est une asymptote à la courbe au voisinage de 1 .

lim x(t) = 0 et lim y(t) =

t! 1

t!1

est est une asymptote à la courbe au voisinage de 1 .

1, lim 3 2

= 1 et lim (y(t)

1. Donc la droite d’équation x = 0 est une asymptote à la

2

6) m(t) = x0 (t) = t(3 2 t ) et m0 (t) = 23 (1 t2 ), donc 3t 0 () t 2] 1; 1[[]0; 1[. x0 (t)m0 (t) = 1 3tt2 = (1 t)(1+t) Sur] 1; 1[ et sur ]0; 1[; la concavité est tournée vers le haut. Sur] 1; 0[ et sur ]1; +1[; la concavité est tournée vers le bas.

9

Exercices Exercice 1. Soit f la courbe paramétrée dé…nie par x(t) = t3 + 2t2

t

y(t) = t2 + t + 1.

1,

1. Déterminer les points doubles de f . 2. Donner les équations des tangentes en ces points. 3. Déterminer les points en lesquels la tangente à la courbe f est ou bien horizontale ou bien verticale. Exercice 2. Soit f la courbe paramétrée dé…nie par 1 x(t) = (t2 +2t 4

3);

y(t) =

4t : (t 1)2

1) Montrer que M (x( 1); y( 1)) est le seul point stationnaire de f . 2) Donner l’équation de la tangente en ce point. 3) Préciser la nature du point M . Exercice 3. Soit f la courbe paramétrée dé…nie par les équations x(t) = 1. 2. 3. 4.

t2 + 4 ; 2t

y(t) =

t2 : 1+t

Montrer que M (x( 2); y( 2)) est le seul point stationnaire de f . Donner l’équation de la tangente en ce point. Préciser la nature du point M . Donner l’équation de l’asymptote à la courbe f en 1.

Exercice 4. Pour chacune des courbes paramétrées suivantes, déterminer les points stationnaires et préciser leur nature ( 2 x(t) = t +4t+4 x(t) = t sin t x(t) = sinh2 t t+1 , , 2 y(t) = t t cos t y(t) = sin4 t y(t) = t t 4t+4 1 Exercice 5. Soit f la courbe paramétrée dé…nie par les équations 1 1 1 x(t) = t + ; y(t) = : t t t+2 1. Montrer que f admet un seul point stationnaire. 2. Préciser sa nature. 3. Etudier les branches in…nes de f . Exercice 6. Soit f la courbe plane dé…nie par les équations paramétriques x(t) =

t2 +2t + 2 ; t+1

y(t) =

t2 2t + 2 : t 1

1) Déterminer et réduire le domaine de dé…nition Df de f . 2) Montrer que f admet un seul point stationnaire et préciser sa nature. 3) Déterminer les points en lesquels, la tangente à la courbe f est ou bien horizontale ou bien verticale. 4) Etudier les branches in…nies de f . 10

Exercice 7. On considère la courbe paramétrée f dé…nie par x(t) = sin t; 1. 2. 3. 4.

y(t) = tan t

Déterminer et réduire le domaine de dé…nition de f . Montrer que la courbe f possède un unique point double. Véri…er que les tangentes en ce point sont orthogonales. Tracer le support de f .

Exercice 8. Soit f la courbe paramétrée dé…nie par x(t) = t2 + 2t,

y(t) =

1. Dresser le tableau de variations de f . 2. Déterminer la nature du point de paramètre t = 3. Tracer le support de f .

1 2 + . 2 t t

1.

Exercice 9. On considère la courbe paramétrée f dé…nie par t x(t) = sin( ), 2

y(t) = tan(t).

1. Déterminer le domaine de dé…nition D de f . 2. Montrer que le domaine d’étude peut être réduit à E = 0; 2 [ 2 ; . 3. Donner le tableau de variations de f . 4. Déterminer les points particuliers correspondants à des valeurs remarquables de t, et les tangentes en ces points. 5. Etudier les branches in…nes de f . 6. Tracer le support de f . Exercice 10. On considère la courbe paramétrée f , dé…nie par 3t2 y(t) = 1 + t3

3t x(t) = , 1 + t3 1. Dresser le tableau de variation de f . 2. Etudier les branches in…nies de f . 3. Tracer le support de f .

Exercice 11. Construire les courbes paramétrées suivantes x(t) = t2 t 1 , 2 y(t) = tt 1

x(t) = expt t , y(t) = t exp t

x(t) = sin t cos 2t , y(t) = sin 2t cos t

11

x(t) = t5 t3 + 4t . y(t) = 3t23t+1