PDS2_2 Structuri pentru implementarea sistemelor discrete 2020_NC

Structuri pentru Implementarea Sistemelor Discrete

Structuri pentru Implementarea Sistemelor Discrete Structuri ◼ ◼ ◼ ◼ ◼

În formă directă, în cascadă, în paralel, lattice, în spatiul starilor

Consideraţii asupra implementării sistemelor discrete SDLIT ◼

Ecuaţia cu diferenţe cu coeficienţi constanţi descrisă de relaţia N

M

y[n] = − ak y[n − k ] +  bk x[n − k ] k =1

◼

(1)

k =0

Funcţia de sistem M

H (z ) =

−k b z k k =0 N

1 +  ak z −k k =1

(2)

Consideraţii asupra implementării sistemelor discrete SDLIT De ce nu sunt implementate direct cele două relaţii şi ce beneficii decurg din rearanjarea acestora în diverse moduri.

◼

Factorii importanţi care determină alegerea unei structuri particulare sunt:

◼

◼ ◼ ◼

complexitatea calculului, necesarul de memorie, efectele lungimii finite a cuvintelor asupra performanţelor sistemului.

Structura lattice Utilizată în implementarea filtrelor adaptive ◼ Se consideră o succesiune de filtre FIR cu funcţiile de transfer H m ( z ) = Am ( z ) m = 0, 1, 2, ..., M - 1 (3) unde m ◼

Am ( z ) = 1 +  m [k ]z

si A0 ( z ) = 1

−k

k =1

m 1

(4)

m

H m ( z ) =  hm [k ]z − k k =0

Răspunsul la impuls al filtrului de ordin m este hm [0] = 1 si hm [k ] =  m [k ]

k = 1, 2, …., m

Structura lattice ◼

Se defineşte  m [0] = 1. Dacă x[n] este secvenţa de intrare în filtrul Am (z ) şi y[n ] secvenţa de ieşire, se

poate scrie

m

y[n] = x[n] +  m [k ]x[n − k ] k =1

◼

(5)

Două structuri de realizare a filtrelor FIR în forma directă sunt date în figura

Structura lattice

Figura 1. Forma directă de realizare pentru (a) un filtru FIR, (b) un filtru FIR predictor

Structura lattice ◼

Structurile din figura 1 sunt în strânsă legătură cu predicţia liniară, unde

m

xˆ[n] = − m [k ]x[n − k ] k =1

(6)

este valoarea prezisă a lui x[n] pe baza a m intrări anterioare,

x[n-1], x[n-2], …, x[n-m], iar

y[n] = x[n] − xˆ[n], dat de (5),

reprezintă eroarea de predicţie. Ieşirea filtrului FIR dată de relaţia (5) poate fi văzută ca eroarea

între valoarea adevărată a semnalului x[n] şi valoarea prezisă

xˆ[n].

Structura lattice ◼

Se consideră un filtru de ordinul m = 1. Ieşirea unui astfel de filtru este

◼

y[n] = x[n] + 1[1]x[n − 1]

K1=α1[1] coeficient de reflexie.

Figura 2. Filtru lattice cu o treapta

(7)

Structura lattice ◼

Pentru această structură se pot scrie relaţiile:

f 0 [n] = g 0 [n] = x[n] f1[n] = f 0 [n] + K1 g 0 [n − 1] = x[n] + K1 x[n − 1]

◼

Obs.

(8)

g1[n] = K1 f 0 [n] + g 0 [n − 1] = K1 x[n] + x[n − 1] f1[n] (1, K1 ) g1[n] ( K1 ,1)

◼ ◼

Se consideră un filtru FIR pentru care m = 2. Ieşirea structurii în formă directă este

y[n] = x[n] +  2 [1]x[n − 1] +  2 [2]x[n − 2]

(9)

Structura lattice

Figura 3. Filtru lattice cu două trepte ◼

ieşirea din treapta a doua este

f 2 [n] = f1[n] + K 2 g1[n − 1] g 2 [n] = K 2 f1[n] + g1[n − 1]

(10)

Structura lattice ◼

Înlocuind f1[n] şi g1[n] din relaţia (8) în relaţia (10) se obţine

f 2 [n] = x[n] + K1 x[n − 1] + K 2 K1 x[n − 1] + x[n − 2]

= x[n] + K1 (1 + K 2 ) x[n − 1] + K 2 x[n − 2]

g2 [n] = K2 x[n] + K 2 K1 x[n − 1] + K1 x[n − 1] + x[n − 2] = K2 x[n] + K1 (1 + K 2 ) x[n − 1] + x[n − 2] Obs.

f1[n] (1, K1 (1 + K2 ), K2 ) g1[n] ( K2 , K1 (1 + K2 ),1)

(11)

(12)

Structura lattice Relaţia (11) este identică cu ieşirea filtrului FIR în forma directă dată de (9), dacă

 2 [2] = K 2

 2 [1] = K1 (1 + K 2 )

(13)

sau, echivalent

K 2 =  2 [2]

 2 [1] K1 = 1 +  2 [2]

(13’)

Structura lattice ◼

Se poate demonstra prin inducţie echivalenţa dintre filtrul FIR de ordin m implementat în forma directă şi filtrul lattice de ordin m sau cu m trepte

f 0 [n] = g 0 [n] = x[n]

◼

(14)

f m [n] = f m−1 [n] + K m g m−1 [n − 1]

m = 1,2,..., M − 1

g m [n] = K m f m−1 [n] + g m−1 [n − 1]

m = 1,2,..., M − 1

(15)

(16)

Ieşirea filtrului cu (M-1) trepte corespunde ieşirii filtrului FIR de ordin (M-1). Prin urmare

y[n] = f M −1[n]

Structura lattice

Figura 4. Filtru lattice cu M-1 trepte, (b) Structura unei trepte

Structura lattice ◼

ieşirea fm[n] a unui filtru lattice de ordin m m

f m [n] =  m [k ]x[n − k ] k =0

 m [0] = 1

Fm ( z ) = Am ( z ) X ( z ) unde Am ( z ) = Z { m [n]} sau, echivalent

Fm ( z ) Fm ( z ) Am ( z ) = = X ( z) F0 ( z )

(17) (18) (19)

g m [n] exprimată sub forma unei sume de convoluţie cu

coeficientii βm[n]

Structura lattice ◼

coeficienţii filtrului care produce ieşirea

1, K1 = 1, 1[1]

f1[n] sunt

▪ coeficienţii filtrului cu ieşirea g1[n] sunt K1 , 1 = 1[1], 1.

Aceste seturi de coeficienţi sunt în ordine inversă.

g 2 [n] = K 2 f1[n] + g1[n − 1]

= K 2 x[n] + K1 x[n − 1] + K1 x[n − 1] + x[n − 2] = K 2 x[n] + K1 (1 + K 2 ) x[n − 1] + x[n − 2] =  2 [2]x[n] +  2 [1]x[n − 1] + x[n − 2]

Structura lattice ◼

 2 [2],  2 [1], 1 , iar pentru filtrul ce produce ieşirea f 2 [n] sunt 1,  [1],  [2] 2 2 coeficienţii filtrului sunt

m

g m [n] =   m [k ]x[n − k ]

(20)

k =0

◼

coeficienţii  m [k ] sunt asociaţi cu ai filtrului care produce ieşirea f m [n] = y[n] , dar opereaza in ordine inversa.

Structura lattice ◼

valorile x[n], x[n-1], . . . ,x[n-m+1], sunt utilizate pentru predicţia liniară a eşantionului de semnal x[n-m] m −1

xˆ[n − m] = −  m [k ]x[n − k ] k =0

 m [k ] =  m [m − k ] k = 0, 1, . . . ,m ◼

(21) (22)

Predicţia efectuată pe baza relaţiei (21) se numeşte predicţie inversă sau înapoi

Gm ( z ) = Bm ( z ) X ( z ) unde Bm ( z ) = Z { m [n]}

(23)

Structura lattice m

Bm ( z ) =   m [k ]z −k

Gm ( z ) Bm ( z ) = (24) X ( z)

(25)

k =0

m

Bm ( z ) =   m [ m − k ] z − k k =0

m

m

l =0

l =0

(26)

=  m [l ]z l −m = z −m  m [l ]z l = z −m Am ( z −1 ) ◼

zerourile filtrului FIR cu funcţia de transfer

Bm (z ) sunt

reciproce zerourilor lui Am (z ) . Din acest motiv Bm (z ) este numit polinom reciproc sau invers al lui Am (z )

Structura lattice F0 ( z ) = G0 ( z ) = X ( z )

(27)

Fm ( z) = Fm−1 ( z) + K m z −1Gm−1 ( z) m = 1, 2, . . . , M-1 Gm ( z) = K m Fm−1 ( z) + z −1Gm−1 ( z) m = 1, 2, . . . , M-1

A0 ( z ) = B0 ( z ) = 1

(28) (29) (30)

Am ( z) = Am−1 ( z) + K m z −1 Bm−1 ( z)

m = 1, 2, . . . , M-1

(31)

Bm ( z) = K m Am−1 ( z) + z −1 Bm−1 ( z)

m = 1, 2, . . . , M-1

(32)

 Am ( z )  1  B ( z ) =  K  m   m

K m   Am −1 ( z )  1   z −1 Bm −1 ( z )

(33)

Conversia coeficienţilor structurii lattice în coeficienţi ai filtrului în formă directă A0 ( z ) = B0 ( z ) = 1

(34)

Am ( z) = Am−1 ( z) + K m z −1 Bm−1 ( z) m = 1, 2, . . . , M-1 Bm ( z) = z −m Am ( z −1 )

m = 1, 2, . . . , M-1

◼

soluţia se obţine recursiv, începând cu rangul m = 1

◼

determinarea recursivă a coeficienţilor  m [k ]

(35)

(36)

Am ( z ) = Am−1 ( z ) + K m z −1 Bm−1 ( z )  m

m −1

m −1

k =0

k =0

k =0

 m [k ]z −k =  m−1[k ]z −k + K m  m−1[m − 1 − k ]z −( k +1)

(37)

Conversia coeficienţilor structurii lattice în coeficienţi ai filtrului în formă directă  m [0] +  m [1]z −1 +  m [2]z −2 + ... +  m [ m] z − m =  m−1[0] +  m−1[1]z −1 +  m−1[2]z −2 + ... +  m−1[m − 1]z − ( m−1) + K m ( m−1[m − 1]z −1 +  m−1[m − 2]z −2 + ... +  m−1[0]z − m )

 m [ 0] = 1

(38)

 m [m] = K m

(39)

 m [k ] =  m−1[k ] + K m m−1[m − k ] =  m−1[k ] +  m [m] m−1[m − k ] 1  k  m − 1, m = 1, 2, ... M − 1.

(40)

Conversia coeficienţilor filtrului FIR din forma directă în coeficienţi ai structurii lattice ◼

Dacă se cunosc coeficienţii filtrului FIR pentru implementarea în formă directă sau, echivalent, polinomul Am (z ) şi se doreşte determinarea coeficienţilor corespunzători structurii lattice, de ordin m, atunci

◼

K m =  m [m].

Pentru a obţine coeficientul

K m −1 sunt necesare polinoamele

Am−1 ( z ) ◼

Trebuie calculate succesiv polinoamele Am (z ) , începând de la

m = M-1 până la m = 1.

Conversia coeficienţilor structurii lattice în coeficienţi ai filtrului în formă directă Am ( z ) = Am−1 ( z ) + K m z −1 Bm−1 ( z )

= Am−1 ( z ) + K m Bm ( z ) − K m Am−1 ( z )

Am ( z ) − K m Bm ( z ) Am−1 ( z ) = 1 − K m2

m = M − 1, M − 2,...,1

◼

procedura este operaţională atât timp cît K m  1 pentru m = 1, 2, ...,M-1

◼

pentru m = M-1, M-2,...,1 se obţine

K m =  m [m]  m−1[k ] =

 m [k ] − K m  m [k ] 1 − K m2

 m−1[0] = 1

(41)

(42)

 m [k ] −  m [m] m [m − k ] = , 1  k  m − 1 (43) 2 1 −  m [ m]

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ◼

Fie un sistem numai cu poli cu funcţia de sistem H ( z) =

1 N

1 +  a N [k ]z − k

1 = AN ( z )

(44)

k =1

◼

Ecuaţia cu diferenţe pentru acest sistem IIR este N

y[n] = − a N [k ] y[n − k ] + x[n]

(45)

k =1

Figura 5. Implementarea în formă directă a unui sistem numai cu poli

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ◼

În relaţia (45) se inversează intrarea cu ieşirea N

x[n] = − a N [k ]x[n − k ] + y[n] echivalent,

k =1

N

y[n] = x[n] +  a N [k ]x[n − k ] k =1

◼

(46) (47)

Ecuaţia (47) descrie un sistem FIR cu funcţia de sistem

H ( z ) = AN ( z ) ◼

Un sistem poate fi obţinut din celălalt interschimbând intrarea cu ieşirea.

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ◼

◼

Pentru filtrul lattice numai cu zerouri se redefineşte intrarea ca fiind

x[n] = f N [n]

(48)

iar iesirea ca

y[n] = f 0 [n]

(49)

Valorile  f m [n] se calculeaza în ordine descrescătoare

f N [n], f N −1[n],... f m−1 [n] = f m [n] − K m g m−1 [n − 1] ◼

Ecuaţia (16) pentru

m = N , N − 1, ..., 1

g m [n] rămâne neschimbată

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR f N [n] = x[n]

(50)

f m−1 [n] = f m [n] − K m g m−1 [n − 1], m = N , N − 1, ...,1 g m [n] = K m f m−1 [n] + g m−1 [n − 1], m = N , N − 1, ...,1

(51)

y[n] = f 0 [n] = g 0 [n]

(53)

care corespunde structurii din figura

Figura 6. Structura lattice pentru un filtru IIR numai cu poli

(52)

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ◼

In cazul în care N = 1, ecuaţiile (50) si (51) se reduc la

x[n] = f1[n] f 0 [n] = f1[n] − K1 g 0 [n − 1] g1[n] = K1 f 0 [n] + g 0 [n − 1]

(54a)

y[n] = f 0 [n] = x[n] − K1 y[n − 1]

(54b)

g1[n] = K1 y[n] + y[n − 1]

(55)

◼

(54b) reprezintă un sistem IIR numai cu poli,

◼

(55) reprezintă un sistem FIR de ordinul întâi

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ◼

Cazul N=2

Figura 7. Implementarea structurii lattice pentru un sistem IIR a) cu un pol şi b) cu doi poli

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ◼

Ecuaţiile corespunzătoare acestei structuri sunt f 2 [n] = x[n] f1[n] = f 2 [n] − K 2 g1[n − 1] g 2 [n] = K 2 f1[n] + g1[n − 1] f 0 [n] = f1[n] − K1 g 0 [n − 1]

(56)

g1[n] = K1 f 0 [n] + g 0 [n − 1] y[n] = f 0 [n] = g 0 [n]

y[n] = − K1 (1 + K 2 ) y[n − 1] − K 2 y[n − 2] + x[n]

(57)

g 2 [n] = K 2 y[n] + K1 (1 + K 2 ) y[n − 1] + y[n − 2]

(58)

H a ( z) =

Y ( z ) F0 ( z ) 1 = = X ( z ) Fm ( z ) Am ( z )

(59)

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ◼

Ecuaţiile corespunzătoare acestei structuri sunt f 2 [n] = x[n]

(a)

f1[n] = f 2 [n] − K 2 g1[n − 1]

(b)

g 2 [n] = K 2 f1[n] + g1[n − 1]

(c)

f 0 [n] = f1[n] − K1 g 0 [n − 1]

(d)

g1[n] = K1 f 0 [n] + g 0 [n − 1]

(e)

y[n] = f 0 [n] = g 0 [n]

(f)

(56)

y[n] = f 0 [n] = f1[n] − K1 g 0 [n − 1] ( f , d ) = f 2 [n] − K 2 g1[n − 1] − K1 g 0 [n − 1] (b) = f 2 [n] − K 2 ( K1 f 0 [n − 1] + g 0 [n − 2]) − K1 g 0 [n − 1] (e) = x[n] − K1 K 2 y[n − 1] − K 2 y[n − 2] − K1 y[n − 1] = = − K1 (1 + K 2 ) y[n − 1] − K 2 y[n − 2] + x[n]

(57)

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ◼

Ecuaţiile corespunzătoare acestei structuri sunt

◼

(57) – sistem IIR cu 2 poli g 2 [n] = K 2 f1[n] + g1[n − 1] (c) = K 2 ( f 0 [n] + K1 g 0 [n − 1]) + K1 f 0 [n − 1] + g 0 [n − 2] (d , e) = K 2 y[n] + K1 K 2 y[n − 1] + K1 y[n − 1] + y[n − 2] = K 2 y[n] + K1 (1 + K 2 ) y[n − 1] + y[n − 2]

◼

(58) – sistem FIR cu două zerouri

◼

Functia de sistem pentru sistemul numai cu poli,

(58)

respectiv zerouri H a ( z) =

Y ( z ) F0 ( z ) 1 = = X ( z ) Fm ( z ) Am ( z )

(59)

Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR Gm ( z ) Gm ( z ) H b ( z) = = = Bm ( z ) = z −m Am ( z −1 ) Y ( z) G0 ( z ) ◼

(60)

structura lattice numai cu poli are o cale numai cu zerouri cu intrarea

g 0 [n] şi ieşirea g N [n] , identică cu calea corespunzătoare numai cu zerouri în structura lattice numai cu zerouri.

Bm (z ), - funcţia de sistem pentru calea numai cu zerouri comună ambelor structuri lattice, ( înapoi sau invers).

▪Structuri lattice numai cu poli pentru implementarea sistemelor IIR ▪ Structurile lattice numai cu zerouri şi numai cu poli sunt caracterizate de aceiaşi parametri lattice K1, K2, …,KN . ▪ Cele două structuri lattice diferă doar prin interconexiunile grafurilor de semnal.





▪ Algoritmii pentru conversia coeficienţilor  m [k ] ai implementării în formă directă a unui sistem FIR în parametri lattice, şi invers, se aplică la fel şi structurii numai cu poli.

Structuri lattice cu poli şi zerouri pentru implementarea sistemelor IIR ◼

◼

Structura lattice numai cu poli reprezintă blocul constructiv de bază pentru structuri de tip lattice care conţin atât poli cât şi zerouri. M −k Un sistem IIR cu c [ k ] z M funcţia de sistem

H ( z) =

k =0 N

1 +  a N [k ]z − k

CM ( z) = AN ( z )

(61)

k =1

◼

În structura în formă directă II, sistemul din (61) este descris de ecuaţiile cu diferenţe (sistem numai cu poli) N

w[n] = − a N [k ]w[n − k ] + x[n] k =1

(62)

Structuri lattice cu poli şi zerouri pentru implementarea sistemelor IIR M

y[n] =  cM [k ]w[n − k ] k =0

◼

◼

(63)

(63) reprezintă relaţia funcţională intrare–ieşire a unui sistem numai cu zerouri. Ieşirea sistemului numai cu zerouri este o combinaţie liniară de ieşiri întârziate ale sistemului numai cu poli

Figura 8. Forma directă II de implementare a unui sistem IIR pentru N=M

Structuri lattice cu poli şi zerouri pentru implementarea sistemelor IIR ◼

Zerourile rezultă prin formarea unor combinaţii liniare din Gm ( z ) ieşirile anterioare. sistemul

Hb ( z) =

Y ( z)

= Bm ( z )

este un sistem numai cu zerouri.

▪ Orice combinaţie liniară de g m [n] este, de asemenea, un sistem numai cu zerouri. ▪ O structură lattice numai cu poli cu parametrii K m ,1  m  N , căreia i se adăugă o scară care realizează o combinaţie liniară de g m [n] cu ponderile v m are ca rezultat un sistem IIR cu poli şi zerouri.

Structuri lattice cu poli şi zerouri pentru implementarea sistemelor IIR ◼

Funcţia de sistem corespunzătoare sistemului cu poli şi zerouri este M

y[n] =  vm g m [n]

(64)

m =0

◼

Functia de sistem a sistemului cu poli si zerouri M Gm ( z ) Y ( z) H ( z) = =  vm X ( z ) m =0 X ( z)

(65)

Structuri lattice cu poli şi zerouri pentru implementarea sistemelor IIR X ( z ) = FN ( z )

F0 ( z ) = G0 ( z ),

si

M

M

M Gm ( z ) F0 ( z ) B ( z) H ( z ) =  vm =  vm m = G0 ( z ) FN ( z ) m=0 AN ( z ) m =0

v

m =0

m

Bm ( z )

AN ( z )

(66)

M

C M ( z ) =  vm Bm ( z ) m =0

(67)

Figura 9. Structura lattice scară pentru realizarea unui sistem cu poli si zerouri

Structuri lattice cu poli şi zerouri pentru implementarea sistemelor IIR ◼ ◼

Sunt determinaţi mai întâi parametrii structurii lattice numai cu poli. Coeficienţii scării m −1

Cm ( z ) =  vk Bk ( z ) + vm Bm ( z ) (68)

C m ( z ) = C m −1 ( z ) + v m Bm ( z ) (69)

k =0

 m [m] = 1 pentru toţi m

v m = c m [ m]

m = 0,1,...., M

C m −1 ( z ) = C m ( z ) − v m Bm ( z ) ◼

(70) (71)

Structurile filtrelor lattice-scară necesită un minimum de memorie dar nu şi un număr minim de multiplicări. Sunt cele mai folosite în aplicaţiile practice.

Implementarea şi analiza sistemelor discrete, liniare, invariante în timp pe baza variabilelor de stare Descrierea internă implică o legătură între semnalele de intrare şi de ieşire şi un set adiţional de variabile numite variabile de stare.

◼

◼

◼

◼

Un set de ecuaţii matematice ce pun în evidenţă relaţia dintre variabilele de stare ale sistemului şi semnalul de intrare; Un al doilea set de ecuaţii matematice ce stabilesc legătura între variabilele de stare şi intrarea curentă cu semnalul de ieşire.

Conceptul de stare Definiţie. Starea unui sistem la momentul

n0 este cantitatea de informaţie ce trebuie furnizată la momentul n0 , care, împreună cu semnalul de intrare x[n] pentru ieşirea pentru toţi

n  n0

.

n  n0

, determină în mod unic

Implementarea şi analiza sistemelor discrete, liniare, invariante în timp pe baza variabilelor de stare ◼

În general, descrierea internă a sistemelor cauzale conţine două părți – una cu memorie și una fără memorie, descrise de două seturi de ecuaţii matematice: ◼

◼

un set de ecuaţii, denumit ecuaţii de stare, ce exprimă variabilele de stare de la momentul n+1 în funcţie de variabilele de stare şi intrarea la momentul n; o ecuaţie, denumită ecuaţie de ieşire, ce exprimă ieşirea la momentul n în funcţie de variabilele de stare şi intrarea la acelaşi moment de timp.

Implementarea şi analiza sistemelor discrete, liniare, invariante în timp pe baza variabilelor de stare ◼ ◼

exemple În particular, pentru un sistem cauzal cu N variabile de stare 1[n], 2 [n],..,  N [n], descrierea internă poate fi exprimată prin următoarele două seturi de ecuaţii: ◼

Ecuaţiile de stare

 i [n + 1] = f i 1 [n],  2 [n],...,  N [n], x[n] ◼

Ecuaţia de ieşire y[n] = g 1[n], 2 [n],....,  N [n], x[n]

i=1,2,…,N

(72)

(73)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe ◼

Fie un sistem discret, liniar, invariant în timp, cauzal, caracterizat de ecuaţia cu diferenţe 3

3

y[n] = − ak y[n − k ] +  bk x[n − k ] k =1

◼

(74)

k =0

Implementarea sistemului în formă directă II este indicată în figura 10. Ca variabile de stare, se vor utiliza ieşirile celulelor de memorie ale sistemului.

1 [n + 1] =  2 [n]  2 [n + 1] =  3 [n]  3 [n + 1] = −a31 [n] − a 2 2 [n] − a1 3 [n] + x[n]

(75)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe

Figura 10. Realizarea (a) în forma directă II şi (b) în spaţiul stărilor a sistemului descris de relaţia (74)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe

y[n] = b0 3 [n + 1] + b3 1 [n] + b2 2 [n] + b1 3 [n]

y[n] = (b3 − b0 a3 )1[n] + (b2 − b0 a2 ) 2 [n] + + (b1 − b0 a1 ) 3 [n] + b0 x[n]

(76)

(77)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe

Figura 11. Realizarea (a) în forma directă II transpusă şi (b) în spaţiul stărilor a sistemului descris de relaţia (74)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe 1 [n + 1] = b3 x[n] − a 3 y[n]  2 [n + 1] = 1 [n] + b2 x[n] − a 2 y[n]  3 [n + 1] =  2 [n] + b1 x[n] − a1 y[n]

y[n] = b0 x[n] +  3 [n]  1 [n + 1] = −a 3 3 [n] + (b3 − b0 a 3 ) x[n]  2 [n + 1] =  1 [n] − a 2 3 [n] + (b2 − b0 a 2 ) x[n]  3 [n + 1] =  2 [n] − a1 3 [n] + (b1 − b0 a1 ) x[n]

(78)

(79)

(80)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe ◼

implementarea în spaţiul stărilor de tipul 1

◼

Matriceal, relaţiile (75) şi (77) se scriu sub forma

 1 [n + 1]  0  [n + 1] =  0  2    3 [n + 1] − a 3

0   1 [n] 0 1   2 [n] + 0 x[n] − a1   3 [n] 1

(81)

1[n] y[n] = (b3 − b0 a3 )(b2 − b0 a 2 )(b1 − b0 a1 ) 2 [n] + b0 x[n]  3 [n]

(82)

1 0 − a2

◼

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe ◼

implementarea în spaţiul stărilor de tipul 2  1 [n + 1] 0 0 − a 3   1 [n] (b3 − b0 a 3 )  [n + 1] = 1 0 − a   [n] + (b − b a ) x[n] 2  2 0 2   2     2  3 [n + 1] 0 1 − a1   3 [n]  (b1 − b0 a1 ) 

1 [n] y[n] = 0 0 1  2 [n] + b0 x[n]  3 [n]

◼

(83)

(84)

Generalizare

N

N

y[n] = − a k y[n − k ] +  bk x[n − k ] k =1

k =0

(85)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe   1 [ n]  v[n] =  2 [ n]          [ n ]  N 

 f11 f F=  21     f N1

f12 f 22  fN2

   

f 1N   q1  f 2 N  q =  q 2          f NN  q N 

v[n+1] = Fv[n] + qx[n]

y[n] = g t v[n] + dx[n]

(86)

 g1  g  g=  2      g N 

(87)

(88) (89)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe

◼

Implementarea de tipul 1 liniară şi invariantă în timp se obţine, alegând

 0  0  F=    0 − a N

1 0  0 − a N −1

0    1 0          0    − a2

0  0     1  − a1 

q=

0  0       0  1 

 bN − b0 a N  b − b a  N −1 0 N −1  g=  d= b0     b − b a  1 0 1 

(90)

Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor caracterizate de ecuaţii cu diferenţe

◼

Implementarea de tipul 2 se obţine cu alegerea

0 1  F=   0 0

0 0  0 0

0 − aN   bN − b0 a N  b − b a  0 − a N −1   N −1 0 N −1    q =  g=      0 1 0 − a2  b − b a 0 2  2     0 1 − a1   b1 − b0 a1   

0  0       0  1 

d= b0

(91)

Relaţii de legătură între descrierea intrare-ieşire şi descrierea în spaţiul stărilor a SDLIT ◼

◼

◼

Relaţiile intrare - ieşire nu descriu în mod unic structura internă a sistemului. Se consideră un sistem SISO, N-dimensional, având reprezentarea în spaţiul stărilor

v[n + 1] = Fv[n] + qx[n] (92) y[n] = g t v[n] + dx[n] (93) Fie P orice matrice NxN a cărei inversă, P-1, există. Se defineşte  −1  v[ n ] = Pv[ n ] (94) de unde v[n] = P v[n] (95) Pv[n + 1] = PFv[n] + Pqx[n]

 vˆ [n + 1] = (PFP−1 ) v[n ] + (Pq) x[n ] y[n] = (g t P −1 )vˆ [n] + dx[n]

(96) (97)

Relaţii de legătură între descrierea intrare-ieşire şi descrierea în spaţiul stărilor a SDLIT  F = PFP −1  q = Pq  g t = g t P −1 ◼

◼

◼ ◼

◼

(98)

ecuaţiile de stare pot fi exprimate ca      v[n + 1] = Fv[n] + qx[n] (99) y[n] = g t v[n] + dx[n] (100) Printr-o transformare liniară simplă a variabilelor de stare, se generează un nou set de ecuaţii de stare şi o ecuaţie de ieşire, în care intrarea x[n] şi ieşirea y[n] sunt neschimbate. Există un număr infinit de alegeri ale matricei de transformare P Există un număr infinit de ecuaţii de stare şi structuri pentru un sistem. O implementare internă se spune că este minimală dacă dimensiunea spaţiului stărilor (a numărului variabilelor de stare) este cea mai mică din toate realizările posibile.