TAREA12-AREA ENTRE CURVAS

CÁLCULO INTEGRAL

Mecatrónica

UTN

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE (A12) ACTIVIDAD 12: PROBLEMAS OBJETIVO: Encontrar el área entre curvas de funciones. INSTRUCCIONES: En forma individual resolver las diferentes situaciones problemáticas correspondiente al cálculo de áreas entre curvas formadas por funciones. Resolver las siguientes situaciones problemáticas. 1. Determinar el área entre las funciones f ( x )=x 3 +3 x 2−24 x +5 y g ( x )=5−6 x . Trazar la gráfica señalando el área a calcular.

Se igualan ambas funciones en los puntos del corte entre las gráficas

x 3+ 3 x 2−24 x+5=5−6 x x 3+ 3 x 2−24 x+ 6 x =0 x 3+ 3 x 2−18 x=x ( x 2+3 x−18 )=x ( x +6 )( x−3 ) x 1=−6 , x 2=0 , x 3=3

Libro 5 – Unidad II Tema 3: Aplicaciones de la Integral definida

1

CÁLCULO INTEGRAL

Mecatrónica 0

UTN

3

∫ ( x 3 +3 x2 −24 x+ 5 )−( 5−6 x ) dx+∫ ( 5−6 x )−( x 3 +3 x2−24 x+5 ) dx 0

−6 0

3

∫ ( x 3 +3 x2 −24 x+ 5−5+6 x ) dx +∫ ( 5−6 x−x 3−3 x2 +24 x −5 ) dx 0

−6 0

3

∫ ( x +3 x −18 x ) dx +∫ (−x −3 x +18 x ) dx= 14 x 4 + 33 x 3− 182 x 2 −6 0 3

2

3

(

2

−1 4 3 3 18 2 + x − x+ x 4 3 2

(

0

)|

−6

3

)|

0

( 14 ( 0 ) + 33 ( 0 ) − 182 ( 0 ) )−( 14 (−6 ) + 33 (−6) − 182 (−6 ) )=0−(−216 )=216 4

3

2

4

3

2

( −14 ( 3) − 33 ( 3) + 182 ( 3 ) )( −14 ( 0 ) − 33 ( 0 ) + 182 ( 0) )=33.75 4

3

2

4

3

2

¿ 216+33.75=249.75

2. Determinar el área entre las funciones f ( x )=5−6 x−x 2 y g ( x )=−2 x. Trazar la gráfica señalando el área a calcular.

Puntos

5−6 x−x 2=−2 x 5−6 x+2 x−x 2=5−4 x−x 2=−1 (−5+ 4 x + x 2 )=−1 ( ( x +5 ) ( x −1 ) )

( x +5 ) (−x+1 ) x 1=−5 , x 2=1

Libro 5 – Unidad II Tema 3: Aplicaciones de la Integral definida

2

CÁLCULO INTEGRAL

Mecatrónica

UTN

Integral 1

1

1

∫ ( 5−6 x−x 2 )−(−2 x ) dx =∫ ( 5−6 x−x 2+2 x ) dx=∫ ( 5−4 x−x 2 ) dx −5

(

−5

−1 3 4 2 x − x +5 x 3 2

−5

1

)| =( −13 ( 1) − 42 ( 1) +5 ( 1))−( −13 (−5) − 42 (−5) + 5(−5 )) 3

2

3

2

−5

−1 6 15 125 100 75 8 250 300 150 16 200 216 − + − − − = − − − = + = =36 U 2 3 3 3 3 2 3 3 6 6 6 6 6 6

(

)

(

)

3. Determinar el área entre las funciones f ( x )=x 2−2 x−3 y g ( x )=x+ 1. Trazar la gráfica señalando el área a calcular.

Puntos

x 2−2 x−3=x +1 x 2−2 x−3−x−1=x 2−3 x−4=( x−4 )( x +1 ) x 1=4 , x 2=−1 Libro 5 – Unidad II Tema 3: Aplicaciones de la Integral definida

3

CÁLCULO INTEGRAL

Mecatrónica

4

4

UTN

4

∫ ( x+ 1 )−( x 2−2 x−3 ) dx=∫ ( x+1−x 2+2 x +3 ) dx=∫ ( 3 x− x2 + 4 ) dx −1

−1 4

)| =( 32 ( 4) − 13 ( 4 ) + 4 ( 4) )−( 32 (−1) − 13 (−1) +4 (−1)) 72 64 48 9 2 24 56 −13 112 13 125 − + −( + − )= −( = + = U =20.83333 U 3 3 3 6 6 6 3 6 ) 6 6 6

(

3 2 1 3 x − x +4 x 2 3

−1

2

3

2

3

−1

2

2

4. Determinar el área entre las funciones f ( x )=4 x−x 2 y g ( x )=−2 x2 +9 x−4. Trazar la gráfica señalando el área a calcular.

Puntos

4 x−x 2=−2 x2 +9 x−4 4 x−x 2+2 x 2−9 x +4=x 2−5 x +4=( x−4 ) ( x−1 ) x 1=4 , x 2=1

Libro 5 – Unidad II Tema 3: Aplicaciones de la Integral definida

4

CÁLCULO INTEGRAL

Mecatrónica

4

UTN

4 2

2

∫ ( −2 x +9 x−4 ) −( 4 x− x ) dx=∫ ( −2 x 2 +9 x−4−4 x + x 2) dx 1

1

4

∫ ( −x2 +5 x−4 ) dx= −1 x3 + 5 x 2−4 x

(3

1

¿

)|

1

( −13 ( 4 ) + 52 ( 4 ) −4 ( 4 ) )−(−13 ( 1) + 52 ( 1) −4 ( 1 ) ) 3

¿−

¿

2

4

2

3

2

64 80 48 −1 5 24 −128 240 96 −2 15 24 + − − + − = + − − + − 3 2 3 3 2 6 6 6 6 6 6 6

(

)

(

)

16 −11 27 2 − = U =4.5 U 2 6 6 6

( )

5. Determinar el área entre las funciones f ( x )=2 x 2−6 x +3 y g ( x )=3. Trazar la gráfica señalando el área a calcular.

Puntos

2 x2 −6 x+3=3 Libro 5 – Unidad II Tema 3: Aplicaciones de la Integral definida

5

CÁLCULO INTEGRAL

Mecatrónica 2

UTN

2

2 x −6 x+3−3=2 x −6 x=x ( 2 x−6 ) 6 2 x−6=0 ,∴ x= =3 2 x 1=0 , x 2=3

3

3

6 x3 + x 2 ∫ ( 3−2 x +6 x−3 ) dx=∫ (−2 x +6 x ) dx= −2 3 2 0 0 2

¿

(

2

)|

( −23 ( 3 ) + 62 ( 3) )−( −23 ( 0 ) + 62 ( 0) )=−18+27−( 0 ) =9 U 3

2

3

2

3 0

2

6. Determina el área sombreada encerrada por las funciones f ( x )=cos x y g ( x )=sen x . Puntos

cos x=sin x cos x−sin x=0

Libro 5 – Unidad II Tema 3: Aplicaciones de la Integral definida

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CÁLCULO INTEGRAL

Mecatrónica

5π 4

UTN

5π 4 π 4

∫ ( sin x−cos x ) dx= (−cos x−sin x )| π 4

5π 5π π π −sin − −cos −sin =−0.99765−0.06848 4 4 4 4

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

¿ −cos

−(−0.999906−0.013707 ) =−1.06613+1.136976=0.070846U 2

Libro 5 – Unidad II Tema 3: Aplicaciones de la Integral definida

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