TEM tarea George Artuz Poisson Y Laplace

República Bolivariana De Venezuela Universidad Rafael Urdaneta Prof: José Fermin TEM Sección: A

Ejercicios: Ecuaciones Poisson Y Laplace

Integrante: George Brandon Artuz Villasmil C.I: 29.931.970

1. Verificar que los siguientes potenciales son solución de la Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas: a) cosθ b) 3cos2θ−¿1

1 ∂ 2 ∂V 1 ∂ ∂V 1 ∂2 V r + sin θ + =0 a) ∇ V = 2 ∂ r r 2 sin θ ∂ θ ∂ θ r 2 sinθ 2 ∂ ∅ 2 r ∂r

(

2

)

(

)

∇ V=

1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 r (cosθ ) + sin θ (cosθ) + (cosθ )=0 ∂r ∂θ r2 ∂ r r 2 sinθ ∂θ r 2 sin θ2 ∂ ∅ 2

∇2 V =

1 ∂ ( −sin θ2 )=0 r sin θ ∂ θ

∇2 V =

−2cosθ =0 r2

2

(

)

(

)

2

b)

2

∇ V= 2

∇ V=

1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 2 2 r (3 cosθ −1) + sinθ (3 cosθ −1) + (3 cosθ −1)=0 2 2 2 2 2 ∂ r ∂r ∂θ ∂ θ r r sinθ r sin θ ∂ ∅

(

1 ∂2 2 (3 cosθ −1)=0 2 2 2 r sin θ ∂ ∅

−12cosθ 2 +6 senθ 2 ∇ V= =0 r2 2

)

(

)

2. A partir de la Ecuación de Poisson, determinar el campo eléctrico de una esfera con densidad de carga uniforme, ρ , en una región de permitividad ε . Considere simetría polar y azimutal. Ecuación de Poisson:

∇2 V 1 =

−ρ r
r

∇ 2 V =0 r > R

R

Por simetría θ1 ∅=0 2

∇ V=

1 ∂ 2 ∂V r pero ∇ V =−E ∂r r2 ∂ r

(

)

Integrando E1

1 ∂ 2 −ρ ( r (−E 1) )= 2 ∂r εo r −ρ r 3 +C 1 r (-E1)= 3 εo 2

E1=

ρr C 1 − 3 εo r2

Integrando E2

1 ∂ 2 ( r (−E 2) )=0 r 2 ∂r E2=

−C 2 r2

Condiciones Frontera

¿ E1 ( R )=E 2(R) ¿ E 1 ( 0 )=0 ¿ E 2 ( ∞ )=0

{

Solución de E.D:

lim E 1(r)=lim r→0

r →0

( 3ρrε − Cr1 )=0 o

1 ∂ 2 (r (−E ) ) r 2 ∂r

lim

r→0

ρr C1 =lim 3 ε o r →0 r

( )

lim

r→0

ρ r2 =C 1 3 ε0

( )

C1=0 Evaluando en r=R

ρR −C 2 = 2 3 ε0 R

C2¿−

ρ R3 3 ε0

La solución para E(r) es:

{

ρr E 1 ( r )= rR 3 ε0 r

3. Dos placas paralelas de área “ab” están separadas una distancia “d” como en la Figura anexa, A partir de la Ecuación de Laplace determinar: a) Potencial entre las placas b) Capacitancia c) Energía almacenada d) Consumo energético en WH luego de una hora de trabajo

∇2 V = 2

∇ V=

− ρ −0 = =0 ε ε

Laplace

∂2 X ∂2 V ∂2 V + + =0 ∂ X2 ∂ Y 2 ∂ Z2

∂2 V =0 ∂Y2

∂V =A ∂Y

Para V=0, Y=0, 0=A(0)+B=B

V=A∫ dy= Ay+ B B=0

Para V=V0, Y=d V0= Ad, A=

V0 d

V=

V0 Y d V0

−∂ a y= Y ay ( ∂∂ VX a x+ ∂∂YV a y + ∂∂ VZ a z)=−∂V ∂Y ∂Y ( d )

-∇ V =⃗ E =−

⃗ E=

−V 0 ay d

⃗ D =ε ⃗ E=−ε

V0 ay d

El vector normal al plano de las placas es ax=ay

Dv =

−ε v 0 =ρs d

∫ ρsds=ρs∗S

Q=

C=

|Q| ρs∗S V0

=

V0

=

ε v 0 S εS = d V0 d

Lo cual es la ecuación de capacitadores de condensador de placas paralelas e puesto que el sea S=ab

C=

Eab d 1 2

2

La energía almacenada es W E= C V 0=

1 Eab 2 V0 2 d

El consumo energético luego de una hora de trabajo es W= ρ∗T =E

Eab V 20 WH = 2d