Area Paralelogramo

U N I V E R S I D A D T É C N I C A E S TATA L D E Q U E V E D O FA C U LTA D D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R Í A CARRERA INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL TEMA: PRODUCTO VECTORIAL C A L C U L O D E L Á R E A D E L PA R A L E L O G R A M O INTEGRANTES : A R É VA L O L O O R J U L I O CHEVEZ CHEVEZ CESAR MOREIRA VERA JAHIR M U R I L L O C H E V E Z D AV O R TRIVIÑO RENTERÍA MARÍA JOSÉ ZAMBRANO VERGARA SANDRA DOCENTE: GEOL. CLEMENCIA COELLO

La historia de los vectores La ley del paralelogramo para la adición de vectores es tan intuitiva que su origen es desconocido. Pudo haber aparecido en un trabajo ahora perdido de Aristóteles (384-322 a. C.), y está en la Mecánica de Herón de Alejandría (primer siglo de nuestra era). Fue, también, uno de los primeros resultados del Principia Mathematica (1687) de Isaac Newton (1642-1727). Los vectores surgieron en las primeras dos décadas del siglo XIX con las representaciones geométricas de números complejos. Caspar Wessel (1745-1810), Jean Robert Argand (1768-1822) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855) concibieron de números complejos como puntos en el plano de dos dimensiones, es decir, como vectores de dos dimensiones. En 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) demostró que los números complejos se podrían considerar como pares de números (a,b). Esta idea era una parte de la campaña de muchos matemáticos, incluyendo al mismo Hamilton, para buscar una manera de ampliar los "números de dos dimensiones" a tres dimensiones.

Producto Vectorial o Producto Cruz

El producto cruz se lo modela empleando mediante una matriz:

El producto cruz se resuelve aplicando el cálculo de determinantes:

El producto cruz, también llamado producto vectorial, entre los vectores U = (U x, U y, U z) y V = (V x, V y, V z), está dado por U × v = (U y V z − V y U z)î − (U x V z − V x U z)ˆj + (U x V y − V x Uy)kˆ , y sólo se define en R3.

Producto Vectorial El módulo del producto vectorial, viene dado por la fórmula:    El resultado del producto vectorial, es un vector perpendicular a la vez a    Si los vectores     son paralelos (proporcionales), el producto vectorial es el vector nulo (0,0,0), y recíprocamente, si el producto vectorial es cero, es porque los vectores son paralelos. Interpretación geométrica:  El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo que tiene por lado dichos vectores:

 El

módulo del producto vectorial o cruz es igual al área del paralelogramo y se relaciona al ángulo θ entre los vectores al aplicar la fórmula :

Ángulo entre vectores en R3

Propiedades del Producto Vectorial o Cruz

Área del Paralelogramo   El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. A=b·h

Dados dos vectores v y w no paralelos en el plano R 2 , el paralelogramo generado por ellos es el que muestra la figura. Para calcular el área de tal paralelogramo debemos conocer el ángulo θ entre los dos vectores, es decir el dado por v · w =| v | | w | cos θ.

w v

Si escribimos los vectores en componentes como v = a , w = c b d

0

Procedimiento Para obtener el producto vectorial entre U y V: 1.Se colocan las componentes de ambos vectores como elementos de una matriz. 2.Las componentes del vector resultante: obtén una submatriz que contenga todas las componentes de la matriz original excepto la columna con la componente a calcular, es decir: Sí deseo la componente en X, mi submatriz contendrá las columnas de Y y Z. Sí deseo la componente en y, mi submatriz contendrá las columnas de X y Z. Sí deseo la componente en z, mi submatriz contendrá las columnas de X y V. 3.Calcular la determinante de cada submatriz obtenida en el paso anterior. 4.El resultado será un vector en R3.                        

EJEMPLO: 1.Calcular el área de un paralelogramo, dado los vectores:

NOTAS Y REFERENCIA •

Siendo rigurosos, se sabe que el producto vectorial es una operación invalida para espacios de dos dimensiones R², pero siempre podemos imaginar a las figuras geométricas bidimensionales planas, como embebidas en un espacio euclidiano tridimensional R³, ubicadas en un plano horizontal de cota cero, aun así el resultado de dicho producto seria un vector perpendicular al plano de la figura, es por esta razón que se dice que:<>

• Puede planearse que los vértices están en R³. • El segmento de recta que reúne a cualquier par de puntos de un paralelogramo esta siempre totalmente incluido en el mismo. • El centro de un paralelogramo coincide con su baricentro, si y solo si su densidad es uniforme. • Fácil de comprobar gráficamente.

CONCLUSIONES  Se analizo las proyecciones ortogonales y el producto vectorial.  Demostramos la resolución de ejercicios.  Se comprendió sobre las protecciones ortogonales del producto vectorial.

RECOMENDACIONES  Realizar ejercicios para una mejor comprensión.  Analizar cuidadosamente cada ejercicio para la obtención de su resolución.

I C

S A

A R G SU N Ó I R C O N P E T A