TAREA 03 - ED

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Curso: ECUACIONES DIFERENCIALES Profesor: Mg. Segundo V. Guibar Obeso Escuela Profesional: Ing. Industrial Ciclo: IV Sección: A Tema: ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICIONES BÁSICAS Fecha: 16/11/2021 Tarea 3 Nro de ejercicios propuestos: 15 Sede: Trujillo Integrantes 1. Harold Cesar Asto Velasquez

EJERCICIO 1 (3.1 Ejercicio 14) Compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo 𝐼de definición adecuado para cada solución. 𝑦 ,, + 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥; 𝑦 = −(𝑐𝑜𝑠𝑥)ln⁡(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)

EJERCICIO 2 (3.1 Ejercicio 17) Compruebe que la función indicada 𝑦 = ∅(𝑥) es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como el ejemplo 2, considerando a ∅ simplemente como una función, dando su dominio. Después considere a ∅ como una solución de la ecuación diferencial, dando al menos un intervalo 𝐼, de definición. 1 𝑦 , = 2x𝑦 2 ; 𝑦 = 4 − 𝑥2

EJERCICIO 3 (3.1 Ejercicio 18) Compruebe que la función indicada 𝑦 = ∅(𝑥) es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como el ejemplo 2, considerando a ∅ simplemente como una función, dando su dominio. Después considere a ∅ como una solución de la ecuación diferencial, dando al menos un intervalo 𝐼, de definición. 1

2𝑦 , = 𝑦 3 𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑦 = (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−2

EJERCICIO 4 (3.1 Ejercicio 26) En el ejemplo 3 vimos que 𝑦 = 𝜙1 (𝑥 ) = √25 − 𝑥 2 y 𝑦 =

𝜙2 (𝑥 ) = −√25 − 𝑥 2 son soluciones de

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−𝑥 𝑦

en el intervalo (-5,5). Explique por

qué la función definida en tramos: √25 − 𝑥 2 ⁡,⁡⁡⁡ − 5 < 𝑥 < 0 𝑦={ no es una solución de la ecuación diferencial en 2 −√25 − 𝑥 ⁡,⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑥 < 5 el intervalo (-5,5).

EJERCICIO 5 (3.2 Ejercicio 30) Proceda como el ejemplo 5 y determine una solución explícita del problema con valores iniciales dado. 𝑑𝑦 1 = 𝑦 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 2 , 𝑦(−2) = 𝑑𝑥 3

𝑑𝑦

EJERCICIO 6 (3.2 Ejercicio 32) Encuentre una solución de 𝑥 = 𝑦 2 − y que pase por los 𝑑𝑥 puntos indicados. a) (0,1) b) (0,0) c) (1/2,1/2) d) (2,1/4)

EJERCICIO 7 (3.2 Ejercicio 37) Con frecuencia, un cambio radical en la forma de solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. Determine una solución explicita del problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de cada solución. Compare cada curva solución en una vecindad (0,1). 𝑑𝑦 = (𝑦 − 1)2 + 0.01, 𝑦(0) = 1 𝑑𝑥

EJERCICIO 8 (3.2 Ejercicio 38) Con frecuencia, un cambio radical en la forma de solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. Determine una solución explicita del problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de cada solución. Compare cada curva solución en una vecindad (0,1). 𝑑𝑦 = (𝑦 − 1)2 − 0.01, 𝑦(0) = 1 𝑑𝑥

EJERCICIO 9 (3.2 Ejercicio 41) a) Determine una solución explícita del problema con valores iniciales 𝑑𝑦 2𝑥 + 1 = , 𝑦(−2) = −1 𝑑𝑥 2𝑦 b) Utiliza un programa de graficación para dibujar la gráfica de la solución del inciso. Utilice la gráfica para estimar el intervalo 𝐼⁡de definición de la solución. c) Determine el intervalo 𝐼⁡de definición exacto mediante métodos analíticos.

EJERCICIO 10 (3.2 Ejercicio 46) Sin usar tecnología. ¿Cómo podría resolver …? 𝑑𝑦 (√𝑥 + 𝑥) = (√𝑦 + 𝑦) 𝑑𝑥

EJERCICIO 11 (3.3 Ejercicio 31) Proceda como el ejemplo 6 para resolver el problema con valores iniciales dado. Utiliza un programa de graficación para trazar la graficación continua y(x). 𝑑𝑦 1⁡,⁡⁡⁡0 ≤ 𝑥 ≤ 3 + 2y = f(x), y(0) = 0, donde:⁡⁡f(x) = { 0⁡,⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 > 3 𝑑𝑥

EJERCICIO 12 (3.3 Ejercicio 33) Proceda como el ejemplo 6 para resolver el problema con valores iniciales dado. Utiliza un programa de graficación para trazar la graficación continua y(x). 𝑑𝑦 𝑥⁡,⁡⁡⁡0 ≤ 𝑥 < 1 + 2xy = f(x), y(0) = 2, donde:⁡⁡f(x) = { 0⁡,⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 ≥ 1 𝑑𝑥

EJERCICIO 13 (3.3 Ejercicio 35) Utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de la función continua y(x). Proceda como el ejemplo 6 con valores iniciales 𝑦 , + 𝑃(𝑥)𝑦 = 4𝑥, 𝑦(0) = 3, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶

2⁡,⁡⁡⁡0 ≤ 𝑥 ≤ 1 P(x) = { 2 − ⁡,⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 > 1 𝑥

EJERCICIO 14 (3.3 Ejercicio 46) Series de decaimiento radiactivo. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales se encuentra en el estudio del decaimiento de un tipo especial de series de elementos radiactivos. Donde 𝜆1 𝑦⁡𝜆2 son constantes. Analice como resolver este sistema sujeto a 𝑥(0) = 𝑥0 y y(0) = 𝑦0 : 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = −𝜆1 𝑥, = 𝜆1 𝑥 − 𝜆2 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥

EJERCICIO 15 (3.3 Ejercicio 47) Marcapasos del corazón. Un marcapasos de corazón consiste en un interruptor, una batería de voltaje 𝐸0 , un capacitor con capacitancia contante C y un corazón con resistor con resistencia constante R. Cuando se cierra el interruptor, el capacitor se carga, cuando se abre el interruptor, el capacitor se descarga enviando estímulos eléctricos al corazón. Todo el tiempo el corazón se está estimulando, el voltaje E a través del corazón satisface la ecuación diferencial lineal. Resuelta la ED sujeta a E (4) =⁡𝐸0 𝑑𝐸 1 =− 𝐸 𝑑𝑡 𝑅𝐶