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Título de la tarea Transformada de Laplace y series de Fourier Nombre Alumno Nombre Asignatura Circuitos y redes Instituto IACC 22/08/2021
Desarrollo 1. Escriba en SCILAB el siguiente código que representa una serie de Fourier y elabore su grafica respectiva. Distinga los elementos de la serie. v=1/4+((2/%pi)*cos(%pi/4)*sin(2*%pi*t))+((1/%pi)*sin(4*%pi*t)); Para este ejercicio se tomó en cuenta el ejercicio dado en el contenido de la semana N° 7, en la página 31. t= 0:0.1:5; v=1/4+((2/%pi)*cos(%pi/4)*sin(2*%pi*t))+((1/%pi)sin(4*%pi*t)); plot (t, v) A continuación se adjuntarán las capturas con el programa SCILAB.
2. Utilizando la tabla de conversión de transformadas de Laplace, identifique cada elemento de la función utilizando su transformada equivalente. 𝑓(𝑡) = 3𝑒ˉ⁵ ͭ + 𝑒 ˉ² ͭ + 𝑡⁴ L{3𝑒ˉ⁵ ͭ + 𝑒 ˉ² ͭ + 𝑡⁴} = 3L{ 𝑒ˉ⁵ }ͭ + L{ 𝑒 ˉ² }ͭ + L{ 𝑡⁴} = 3{1/s+5} + {1/s+2} + 1/s¹⁺³ = (3/s+5) + (1/s+2) + 1/s⁴ 𝑓(𝑡) = 4𝑒⁵ ͭ + 6𝑡³− 3𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 2cos(2𝑡) L {4𝑒⁵ ͭ + 6𝑡³− 3𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 2cos(2𝑡)} Propiedad linealidad. L {4⁵ }ͭ + L{6 𝑡³} – L{3sen(4t)} + L{2cos(2𝑡)} =4L {⁵ }ͭ + 6L{ 𝑡³} – 3L{3sen(4t)} + 2{2cos(2𝑡)} = 4{1/s-5} + 6{3/s⁴} – 3{4/s²+16} + 2{s/s⁴+4} = (4/s-5) + (36/s⁴) + (12/s²+16) + (2s/s⁴+4)
3. Mencione una aplicación industrial donde se utilicen las transformadas de Laplace y las Series de Fourier. La transformada de Laplace hoy en día es utilizada en la ingeniería de diferentes formas, entre las cuales podemos mencionar varias de ellas tales como:
El control de procesos: se lo puede aplicar por ejemplo: El ámbito doméstico para poder controlar las temperaturas y humedad en las diferentes arquitecturas(edificios).
En la transportación: se lo puede aplicar para controlar los autos, buses aviones para que así se puedan movilizarse de un lugar a otro de forma segura y exacta.
En
la
industria: se
lo
puede
aplicar
para
controlar
una
gran
cantidad de variables en los procesos. EL SISTEMA DE CONTROL. En nuestra vida diaria existen varios objetivos que necesitan cumplirse para ello se necesita controlar a dichos sistemas o procesos. En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel muy importante en la actualidad, avance
cada
de
vez
es
mucho
más
importante
en
el
desarrollo
y
la civilización moderna y la tecnología. Los sistemas de control se
encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria tales como: control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de computadora,
sistemas
de
transporte,
sistemas
de
armas,
control
por
potencia, robótica y
muchos otros. Ejemplos de procesos automatizados:
Avión Comercial
Control en Automóvil
Ingeniería Química
El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplio en la actualidad. Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace
¿Por qué Transformada de Laplace? En el
estudio
de
los
procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es
decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso. El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal: La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales. De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas
dinámicos, se puede diseñar y analizar los
sistemas de control de manera simple. La Transformada de Fourier también se utiliza para:
Analizar contenido de frecuencia de las señales.
Determinar cómo cambia la amplitud y las fases de las señales sinusoidales cuando estas pasan a través de un sistema lineal e invariante en el tiempo.
Generar formas de onda de corriente o tension eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Analizar el comportamiento armónico de una señal.
Algunos ejemplos concretos de aplicación son los siguientes: En el campo electromagnético y de microondas la Transformada de Fourier está relacionada con: el cálculo del campo cercano transitorio irradiado por dispositivos electrónicos, el análisis de fenómenos de inspiración óptica novedosos en microondas, el cálculo del campo electromagnético de rayos, la formación de haz y la radiación de microondas solares. En medicina el análisis de la transformada de Fourier está relacionado con: el análisis
espectral del comportamiento global de los cromosomas, el análisis espectral de la variabilidad de la frecuencia cardiaca, el procesamiento de imágenes generadas por econograma, resonancias magnéticas y tomografía axial. En comunicaciones se usa para analizar la frecuencia de señales, diseñar los sistemas de transmisión de señales para transmitir información, diseñar supresores y canceladores de ecos en líneas telefónicas. En ingeniería mecánica se utiliza para balancear rotores y eliminar la vibración que generan cuando o están balanceados, estudiar los problemas relacionados con vibraciones mecánicas en los motores, generadores y equipos rotatorios en general. En procesamiento de señales de audio se usa para compactar las señales de audio (MP3 y MP4), Producir efectos de sonido, diseñar sintetizadores de audio y ecualizadores. En procesamiento de imágenes la FT se utiliza para filtrar imágenes, extraer características de interés, realizar transformaciones de imágenes y compactar imágenes.
Bibliografía https://pdfslide.tips/documents/aplicaciones-de-la-transformada-de-laplace-en-la-ingenieria.html https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/FlorAngelicaTrinidadTorres.pdf IACC (2021). Transformada de Laplace y series de Fourier. Circuitos y Redes. Semana 7.
