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Propiedades de la varianza Algunas distribuciones.

Algunas Distribuciones de probabilidad discretas Binomial-Bernoulli-Poisson Lorena Brun Gonzalez Universidad de Antioquia Probabilidad e Inferencia Ingeniería

14 de septiembre de 2015 logo

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Propiedades de la varianza Sean a, b números reales y sea X una variable aleatoria discreta. La varianza V (X ) satisface las siguientes propiedades: ◦ V (X ) = E[(X − µX )2 ] = E[X 2 ] − (E[X ])2 ◦ V (a) = 0 ◦ V (aX + b) = a2 V (X ).

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Algunas de las distribuciones de probabilidad discretas más usadas, se basan en un tipo especial de experimento aleatorio, donde el resultado es la ocurrencia o no ocurrencia de un evento de interés; por ejemplo, el resultado de un tratamiento aplicado a un paciente puede ser favorable o no. El investigador puede estar interesado entonces en determinar que tan favorable es el tratamiento.

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Distribución Bernoulli. Sin pérdida de generalidad, llámese éxito a la ocurrencia del evento y fracaso a su no ocurrencia. La probabilidad de que ocurra el evento de interés (probabilidad de éxito) es usualmente denotada p y la del fracaso 1 − p. La variable aleatoria de interés en este caso es X : número de éxitos obtenidos. Claramente el rango de X será {0, 1}, donde 1 corresponde a el éxito y 0 corresponde a el fracaso. Este tipo de experimentos se conoce como ensayo Bernoulli. logo

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Para calcular la distribución de probabilidad de X , se debe calcular la probabilidad asociada a cada valor de X . Así, ( px (1 − p)1−x , si x = 0, 1 p(x) = 0 , en otro caso. Esta distribución se conoce como Bernoulli. Cuando una variable aleatoria X sigue una distribución Bernoulli, se denota X ∼ B(p)

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Sea X una variable aleatoria con X ∼ B(p), entonces: ◦ E(X ) = p ◦ V (X ) = p(1 − p)

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Distribución Binomial. Considere ahora un experimento aleatorio que consiste en repetir un ensayo Bernoulli n veces y cada uno de estos es independiente de todos los demás. Sea X la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los n ensayos. Supónga que el interés está en determinar la probabilidad de obtener exactamente X = x éxitos durante los n ensayos. Para obtener la función de probabilidad de este experimento, se debe determinar la probabilidad de tener, x éxitos y n − x fracasos, en los n ensayos.

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Sea X una variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos y p la probabilidad de éxitos en cualquiera de éstos. Se dice entonces que X tiene una distribución binomial, denotado X ∼ Bin(n, p) con función de probabilidad (
n x n−x , si x = 0, 1, ..., n; 0 ≤ p ≤ 1 x p (1 − p) p(x) = 0 , en otro caso. El interés está en determinar la probabilidad de obtener exactamente X = x éxitos durante los n ensayos. Los parámetros de la distribución binomial son n y p. La distribución Bernoulli es un caso particular de la distribución binomial, cuando n = 1. logo

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Características de un proceso binomial: Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características: ◦ El experimento consta de n pruebas idénticas e independientes, esto es, el resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. ◦ Cada prueba tiene dos posibles resultados: éxito y fracaso. ◦ La probabilidad de éxito (p) es constante (no varía de una prueba a otra) en las n pruebas. ◦ La variable de interés es X : número de éxitos en los n ensayos, y su rango es {0, 1, 2, ..., n}. logo

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Ejemplo: Suponga que el 20 % de todos los ejemplares de un libro de texto particular no pasan una prueba de resistencia de encuadernación. sea X el número entre 15 ejemplares seleccionados al azar que no pasan la prueba. Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 15 y p = 0.2. (i) Calcule la probabilidad de que exactamente 8 fallen. (ii) Calcule la probabilidad de que cuando mucho fallen 2. (iii) Calcule la probabilidad de que exactamente 4 fallen. logo

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Solución: (i) Lo que se quiere calcular es P(X = 8). Esto es,   15 fx (8; 0.2, 15) = (0.2)8 (0.8)15−8 8 = (6435) × (0.00000256) × (0.2097) = 0.0034547 Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 8 libros fallen es del 0.0034. logo

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Solución: (ii) Lo que se quiere calcular es P(X ≤ 2). Esto es,

P(X ≤ 2) = fx (0; 0.2, 15) + fx (1; 0.2, 15) + fx (2; 0.2, 15) = 0.035 + 0.13 + 0.2308 = 0.395 Por lo tanto, la probabilidad de que cuando mucho fallen 2 libros es del 0.395. logo

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Valor esperado y varianza de una v.a distribuida binomial: Si X ∼ Bin(n, p), entonces E(X ) = np, V (X ) = np(1 − p) = npq √ y σx = npq, donde q = (1 − p). Ejemplo: Calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar para los datos del ejemplo 4. Como p = 0.2 y n = 15. Entonces, E(X ) = np = (0.2)×(15) = 3. Por tanto, en promedio el número de ejemplares que no pasan la prueba son 3. V (X ) = np(1 − p) = 15 × (0.2) × (0.8) = 2.4 √ σx = npq = (calcularla) logo

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Ejercicio: Si el 75 % de las compras de una tienda se hacen con tarjetas de crédito y X es el número entre diez compras seleccionadas al azar realizadas con tarjetas de crédito. Calcular: ◦ La probabilidad de que exactamente 2 compras se hagan con tarjeta de crédito. ◦ El valor esperado, la varianza y la desviación estándar.

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Distribución Poisson: La distribución de Poisson es un modelo probabilístico adecuado para evaluar la probabilidad de ocurrencia de un evento en intervalos de tiempo, longitud superficie o volumen. Por ejemplo, el número de accidentes por semana, el número de aves muertas por kilómetro cuadrado. Si el número promedio de ocurrencias en el intervalo es λ > 0, la variable aleatoria X que es igual al número de ocurrencias en el intervalo tiene una distribución Poisson con parámetro λ. logo

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La función de probabilidad de una v.a X distribuida Poisson es:

fx (x; λ) =

exp(−λ) λx , x = 0, 1, 2, ... x!

La media y la varianza de X son: µx = E(X ) = λ σx2 = V (X ) = λ logo

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Ejemplo: Supóngase que el número de computadores que salen defetuosos tiene un promedio de 2 por semana. Mediante el modelo de Poisson con λ = 2, calcular las siguientes probabilidades: • la probabilidad de 0 computadores defectuosos en una semana (x = 0). • la probabilidad de cuando mucho 1 computador defectuoso en una semana (x ≤ 1). logo

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Solución: • Calculemos P(x = 0), esto es:

fx (0; 2) =

exp(−2) 20 = exp(−2) = 0.1353 0!

Por tanto, la probabilidad de que no salga ningún equipo defectuoso en una semana es del 13.53 %

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• Ahora, calculemos P(x ≤ 1), esto es: exp(−2) 20 exp(−2) 21 + 0! 1! (−2) (−2) 1 = exp + exp 2 = 0.1353 + 0.2707 = 0.4060

P(x ≤ 1) = fx (0; 2) + fx (1; 2) =

Por tanto, la probabilidad de que cuando mucho salga un equipo defectuoso en una semana es del 40.60 %

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Ejercicio: Suponga que el número X de tornados observados en una región particular durante un año tiene una distribución de Poisson con λ = 8. ◦ Calcular la probabilidad de que ocurra un tornado en esa región. ◦ Calcular la probabilidad de que ocurran cuando mucho dos tornado en esa región.

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Ejercicio: Al someter a prueba tarjetas de circuito, la probabilidad de que cualquier diodo particular falle es de 0.01. Suponga que una tarjeta de circuito contiene 200 diodos. ◦ Cuantos diodos esperaría que fallen. ◦ Calcular la probabilidad de que fallen 3 diodos. ◦ Calcular la probabilidad de que cuando mucho falle 1 diodo.

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Referencias Montgomery D.C y Runger G.C. Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Ingeniería. Limusa Wiley, 2004, segunda edición. Mendenhall W., Beaver R.J. y Beaver B.M. Introducción a la probabilidad y estadística (12. ed.). México: Cengage Learning, 2008 Roessler, R y Alder H.L. Introduction to probability and statistics (6. ed.). Estados Unidos: W. H. Freeman, 1977 logo

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