Aproximarea numerelor reale prin fracții zecimale

Aproximarea numerelor reale prin fracții zecimale.              Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări Ne amintim În lecțiile anterioare, am identificat unele tehnici de estimare a valorii unui număr rațional și a valorii unui număr irațional, deci a unui număr real. Aproximarea prin lipsă a unui număr real la ordinul unităților (zecilor, sutelor, miilor etc.) este cel mai mare număr natural format numai din unități (zeci, sute, mii etc.) mai mic sau egal cu numărul respectiv. Fie x = √ 200. La ordinul unităților: √ 200 ≈14 pentru că 14 < √ 200 <15. La ordinul zecilor: √ 200 ≈10 pentru că 10 < √ 200 < 20. Aproximarea prin adaos a unui număr real la ordinul unităților (zecilor, sutelor, miilor etc.) este cel mai mic număr natural format numai din unități (zeci, sute, mii etc.) strict mai mare decât numărul respectiv. Fie x = √ 200. La ordinul unităților: √ 200 ≈15 pentru că 14 < √ 200 <15. La ordinul zecilor: √ 200 ≈20 pentru că 10 < √ 200 < 20. Rotunjirea unui număr real la ordinul unităților (zecilor, sutelor, miilor etc.) este aproximarea prin lipsă sau aproximarea prin adaos, la ordinul considerat, care este cea mai apropiată de numărul respectiv. În cazul în care cele două aproximări sunt la fel de apropiate de număr, rotunjirea va fi dată de aproximarea prin adaos. La ordinul unităților: 17,39 ≈ 17 pentru că 17,39 – 17 < 18 – 17,39; 17,69 ≈ 18 pentru că 17,69 – 17 > 18 – 17,69. La ordinul zecilor: 17,39 ≈ 20 pentru că 17,39 – 10 > 20 – 17,39; 14,69 ≈ 10 pentru că 14,69 – 10 < 20 – 14,69. La ordinul unităților: 19,5 ≈ 20 pentru că 19,5 –19 = 0,5 = 20 – 19,5 La ordinul zecilor: 395 ≈ 400 pentru că 395 – 390 = 5 = 400 – 395.

Să considerăm numărul real 12,7358 și să-l aproximăm la zecimi, sutimi, miimi, prin lipsă, prin adaos, apoi să-l rotunjim. Au loc inegalitățile: 12,7 < 12,7358 < 12,8; 12,73 < 12,7358 < 12,74; 12,735 < 12,7358 < 12,736 Aproximarea prin lipsă a unui număr real la ordinul zecimilor (sutimilor, miilor etc.) se obține prin înlăturarea, din numărul inițial, a tuturor zecimalelor aflate la dreapta ordinului de mărime la care aproximăm. La zecimi: 12,7358 ≈ 12,7; La sutimi: 12,7358 ≈ 12,73; La miimi: 12,7358 ≈ 12,735. Aproximarea prin adaos a unui număr real la ordinul zecimilor (sutimilor, miilor etc.) se obține adăugând o zecime (sutime, miime etc.) la aproximarea prin lipsă, la același ordin. La zecimi: 12,7358 ≈ 12,8. La sutimi: 12,7358 ≈ 12,74. La miimi: 12,7358 ≈ 12,736. Rotunjirea unui număr real la ordinul zecimilor (sutimilor, miilor etc.) este aproximarea prin lipsă sau aproximarea prin adaos, la ordinul considerat, care este cea mai apropiată de numărul respectiv. În cazul în care cele două aproximări sunt la fel de apropiate de număr, rotunjirea reprezintă aproximarea prin adaos. La zecimi: 12,7358 ≈ 12,7. La sutimi: 12,7358 ≈ 12,74. La miimi: 12,7358 ≈ 12,736. Pentru a stabili care aproximare este mai apropiată, sunt necesare calcule, uneori lungi. O modalitate practică de realizare a rotunjirii: Dacă cifra aflată imediat după ordinul de mărime la care efectuăm rotunjirea este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci rotunjirea este chiar aproximarea prin lipsă. Dacă această cifră este 5, 6, 7, 8 sau 9, atunci rotunjirea este dată de aproximarea prin adaos. La zecimi:12,7358 ≈ 12,7 pentru că 3 < 5. La sutimi: 12,7358 ≈ 12,74 pentru că 5 = 5.

La miimi: 12,7358 ≈ 12,736 pentru că 8 > 5. Observație: În practică, se folosesc, prin convenție, aproximări cu una sau cu două zecimale exacte. Aproximarea prin lipsă a unui număr pozitiv, la ordinul zecimilor se mai numește aproximarea cu o zecimală exactă. Aproximarea prin lipsă a unui număr pozitiv, la ordinul sutimilor se mai numește aproximarea cu două zecimale exacte. Comentariu: Aproximarea numerelor reale prin fracții zecimale este foarte utilă pentru a estima poziția punctului de reprezentare a unui număr real pe axa numerelor, pentru a compara numere reale și pentru a stabili ordinea crescătoare sau descrescătoare a unor numere.