Bacalaureat 2014. Proba de matematica, Stiintele naturii

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c) – 2 iulie 2014 Matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • •

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Determinaţi partea reală a numărului complex z = 3 + 2 (1 − i ) . 2 5p 2. Arătați că x1 + x2 + 2 x1 x2 = 23 ştiind că x1 și x2 sunt soluțiile ecuației x − 3 x + 10 = 0 .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x 2 + x + 1 = 1 . 5p 4. Determinați câte numere naturale impare de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii

{1, 2, 3} .

5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care dreptele de ecuații y = ( a − 1) x + 1 și y = 2 x − 3 sunt paralele. 5p 6. Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABC în care AB = 3 , AC = 4 și BC = 5 . SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

 x 1 1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real. 1 x 5p a) Calculați det ( A ( 2 ) ) . 1 0 5p b) Determinaţi numărul real x pentru care A ( x ) ⋅ A ( − x ) = I 2 , unde I 2 =  . 0 1

5p c) Arătați că det ( A (1) + A ( 2 ) + ⋯ + A ( n ) ) =

n 2 ( n − 1)( n + 3)

pentru orice număr natural nenul n . 4 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x ∗ y = 4 ( x + y − 3) − xy .

5p a) Calculaţi 2 ∗ 4 . 5p b) Arătaţi că x ∗ y = 4 − ( x − 4 )( y − 4 ) pentru orice numere reale x şi y . 5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x ∗ x ∗ x = x . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x ln x − x + 1 .

5p a) Arătați că lim f ( x ) = 1 . x →e

5p b) Arătați că f ′ ( x ) = ln x , x ∈ ( 0, +∞ ) .

5p c) Arătați că f ( x ) ≥ 0 pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 2. Se consideră funcția f : ( −3, +∞ ) → ℝ , f ( x ) =

1 x + 8 x + 15 2

.

2014

5p a) Arătați că

∫ ( x + 3)( x + 5) f ( x ) dx = 2014 .

0 1

5p b) Arătați că

1 ∫ f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) dx = − 144 .

−1

5p c) Determinați numărul real a , a > 0 ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcției f , axa 1 10 Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = a , are aria egală cu ln . 2 9 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1

Varianta 1