gui de matematica 2

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PROF. OSDALY MORALES

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN U.E.P. INSTITUTO EDUCACIONAL ARAGUA MARACAY – ARAGUA AÑO ESCOLAR 2021 – 2022 PRIMER LAPSO

MATERIAL TEÓRICO PRÁCTICO Nº 2 MATEMÁTICAS 5TO. AÑO A – B – C POLINOMIOS. II PARTE. PROF. OSDALY MORALES

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MATERIAL TEÓRICO PRÁCTICO Nº 2 MATEMÁTICAS 5to. AÑO A – B- C OBJETIVOS 4.1 al 5.4. POLINOMIOS PARTE II NOTA: Recuerda que un polinomio se dice divisible entre otro polinomio cuando el resto de la división es cero, es decir, la división es exacta. ✓ TEOREMA DEL RESTO  Si un polinomio P(x) se divide entre el binomio (x – a), con 𝑎 ∈ 𝑅, hasta obtener un residuo constante, que no contiene a x, dicho residuo es igual a P(a). Demostración: Dada la identidad fundamental de la división: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥), donde, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑅(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑆(𝑥), haciendo, 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 𝑎, entonces, 𝑃(𝑥) = [(𝑥 − 𝑎) ∙ 𝐶(𝑥)] + 𝑅(𝑥) Donde, 𝑅(𝑥) es de un grado menor que ( 𝑥 − 𝑎), es decir, 𝑅(𝑥) es una constante. Así pues, la ecuación es válida para todos los valores de x, en particular, si se hace 𝑥 = 𝑎, tenemos, 𝑃(𝑎) = 𝑅(𝑥), lo que completa la demostración. EJERCICIOS MODELO: 1. Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = 3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 5𝑥 + 3, hallar el cociente y el resto de la división de dicho polinomio entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 5. Ahora bien, según el Teorema del Resto, si evaluamos 𝑥 = 5, en el polinomio dividendo: 𝑃(𝑥) = 3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 5𝑥 + 3 𝑃(5) = 3(5)4 − 2(5)3 + 4(5)2 − 5(5) + 3 𝑃(5) = 1875 − 250 + 100 − 25 + 3 𝑃(5) = 1703 Así se tiene que, 𝑅(𝑥) = 1703 (Resto de la División) Ahora bien, para hallar el cociente, se utiliza la identidad fundamental: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) 𝐶(𝑥) =

𝑃(𝑥) − 𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥)

𝐶(𝑥) =

𝑃(𝑥) − 1703 𝑥−5

PARA HALLAR EL COCIENTE, SUSTITUYE LOS VALORES Y RESUELVE LAS OPERACIONES. PUEDES RESOLVER LA DIVISIÓN POR EL MÉTODO CONVENCIONAL, ASÍ, COMPRUEBAS LOS RESULTADOS REALIZA EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS

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2. Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑚𝑥 2 + 5𝑥 − 8, hallar el valor de m, para que 𝑃(𝑥) sea divisible entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 – 2. Aplicando el Teorema del Resto, se tiene que, para que 𝑃(𝑥) sea divisible entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 – 2, el valor numérico del polinomio 𝑃(𝑥) cuando 𝑥 = 2, debe ser cero, es decir, 𝑃(2) = 0 PROCESOS JUSTIFICACIÓN Así, calculemos entonces, 𝑃(2) 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑚𝑥 2 + 5𝑥 − 8 Sustituyendo 2 por x en el polinomio 𝑃(2) = (2)4 − 𝑚(2)2 + 5(2) − 8 0 = 16 − 4𝑚 + 10 − 8 Como, 𝑃(2) = 0, entonces, se obtiene la ecuación: 0 = 16 − 4𝑚 + 10 − 8 0 = 16 − 4𝑚 + 10 − 8 0 = −4𝑚 + 18 Se resuelve la Ecuación, reduciendo términos 18 𝑚= semejantes, transponiendo términos y 4 simplificando la fracción al final. 9 𝑚= 2

EJERCICIOS PROPUESTOS. DESARROLLA ESTOS EJERCICIOS COMO REFUERZO EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS. COPIA LOS ENUNCIADOS. DEJA LOS PROCESOS. NO SE SOLICITARÁ LA ENTREGA DE LOS MISMOS A LA DOCENTE. 1. En los ejercicios que se dan a continuación usa el Teorema del Resto para calcular el Cociente y el Resto de cada división: (𝑎) (3𝑥 2 − 7𝑥 + 5) ÷ (𝑥 − 2)

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 3𝑥 − 1; 𝑅(𝑥) = 3

(𝑏) (𝑥 3 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 7) ÷ (𝑥 − 3)

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 10; 𝑅(𝑥) = 23

(𝑐) (3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 − 11) ÷ (𝑥 + 2)

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 + 3; 𝑅(𝑥) = −17 3

(𝑑) (4𝑥 5 + 2𝑥 4 − 2𝑥 3 + 17𝑥 − 7) ÷ (𝑥 − ) 2 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 4𝑥 4 + 8𝑥 3 10𝑥 2 + 15𝑥 +

79 2

; 𝑅(𝑥) =

209 4

5

2. Determinar el valor de k para que el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 − 3𝑥 3 + 2𝑘𝑥 + , sea divisible entre 𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1.

29

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑘 = − 32

4

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✓ CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR (𝒙 – 𝒂).  Un binomio de la forma (𝒙 – 𝒂), divide a un polinomio 𝑃(𝑥), si y solo si, el valor numérico en 𝑃(𝑎), es igual a cero, es decir, la división es exacta, 𝑅(𝑥) = 0. Demostración: Dada la identidad fundamental 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥), donde, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑅(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐶(𝑥); haciendo 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 𝑎, entonces, 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥), entonces, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) ∙ 𝐶(𝑥) Por ser, 𝑅(𝑥) = 0 De donde: 𝑃(𝑥) 𝐶(𝑥) = 𝑥−𝑎 Ahora bien, según el Teorema del Resto, para que la división sea exacta, al hacer 𝑥 = 𝑎, tenemos, 𝑃(𝑎) = 0, lo cual completa la demostración. EJERCICIOS MODELO: 1. ¿Qué valor debe tomar m para que 𝑃(𝑥) = 6𝑥 4 – (2 + 𝑚)𝑥 3 + (10 − 3𝑚)𝑥 2 − 5𝑚𝑥 − 𝑚 + 3, sea divisible entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1 RESOLUCIÓN: Aplicamos Ruffini:

Para que 𝑃(𝑥) sea divisible entre 𝑥 + 1, el Residuo debe ser cero, entonces, 21 + 2𝑚 = 0 2𝑚 = −21 𝑚= −

21 2

2. ¿Qué valor debe tomar p, para que 𝑃(𝑥) = 𝑥𝑛+1 + 𝑝𝑥𝑛 + 3𝑥𝑛−1 + 7, sea divisible entre 𝑥 + 1? Aplicamos Ruffini:

Para que sea divisible, el Residuo debe ser cero, entonces, 𝑅(𝑥) = 0, así que, 11 + 𝑝 = 0 𝑝 = −11

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EJERCICIOS PROPUESTOS. DESARROLLA ESTOS EJERCICIOS COMO REFUERZO EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS. COPIA LOS ENUNCIADOS. DEJA LOS PROCESOS. NO SE SOLICITARÁ LA ENTREGA DE LOS MISMOS A LA DOCENTE. 1. Hallar el valor de m para que el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 33, sea divisible por 𝑥 − 𝑚. 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 1: 𝑚 = −1 ± √34 2. Hallar el valor de p y q, de manera que el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 𝑝𝑥2 − 2𝑞𝑥 − 2, sea 1 divisible por (𝑥 − 1)2 . 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 2: 𝑝 = 5; 𝑞 = − 2 3. Para cuál valor de n se verifica que 𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑛+2 + 𝑛𝑥 𝑛+1 + 𝑛𝑥 𝑛−1 − 2, sea divisible por (𝑥 + 1).

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 3: 𝑛 = −

1 2

4. Hallar el polinomio que es divisible por (𝑥 − 1)2 y (𝑥 + 2)2 . 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 4: 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ✓ MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Este método se utiliza para hallar los coeficientes de una o varias expresiones algebraicas, basados en el Teorema que establece que: Dos polinomios son iguales cuando poseen igual grado y los términos del mismo grado son iguales. • Veamos este método directamente en la resolución de un ejercicio: (a) Sean los polinomios 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 6 y 𝑄(𝑥) = 𝑥 2 − 3, determinar el cociente y el resto. Lo primero que pensamos es resolver el ejercicio aplicando el cociente de polinomios, sin embargo, se pueden hallar los polinomios requeridos, recordando la Identidad Fundamental de la División: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) En nuestro caso, 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 6 es el Dvidendo y 𝑄(𝑥) = 𝑥 2 − 3 es el divisor, por lo tanto, el polinomio Cociente debe ser de la forma: 𝑪(𝒙) = 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪, observe que 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑪(𝒙) = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑷(𝒙) – 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑸(𝒙), mientras que el residuo es de la forma: 𝑹(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒏, donde 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑹(𝒙) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐶(𝑥). • Planteando la identidad fundamental 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥), se tiene que, (𝑥 4 − 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 6) = [(𝑥 2 − 3) ∙ (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) + ( 𝑚𝑥 + 𝑛)] (𝑥 4 − 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 6) = 𝐴𝑥 4 + 𝐵𝑥 3 + 𝐶𝑥 2 − 3𝐴𝑥 2 − 3𝐵𝑥 − 3𝐶 + 𝑚𝑥 + 𝑛 4 (𝑥 − 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 6) = (𝐴𝑥 4 ) + (𝐵𝑥 3 ) + (𝐶 − 3𝐴)𝑥 2 + (−3𝐵 + 𝑚)𝑥 + (−3𝐶 + 𝑛) • Igualando términos semejantes: 𝑥 4 = 𝐴𝑥 4 ⟹ 𝐴=1 −3𝑥 3 = 𝐵𝑥 3 ⟹ 𝐵 = −3 2 2 2𝑥 = (𝐶 − 3𝐴)𝑥 ⟹ 2 = 𝐶 − 3𝐴 ⟹ 2 = 𝐶 − 3(1) ⟹ 𝐶 = 5 −𝑥 = (−3𝐵 + 𝑚)𝑥 ⟹ −1 = −3𝐵 + 𝑚 ⟹ −1 = −3(−3) + 𝑚 ⟹ 𝑚 = −10 6 = (3𝐶 + 𝑛) ⟹ 6 = 3𝐶 + 𝑛 ⟹ 6 = 3(5) + 𝑛 ⟹ 𝑛 = 21 • Entonces, se tiene que, Polinomio Cociente:

𝐶(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 5

Polinomio Residuo:

𝑅(𝑥) = −10𝑥 + 21

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En conclusión, el Método de los Coeficientes Indeterminados permite hallar, de una forma sencilla (por igualación de términos), los distintos elementos de una división, aplicando la Identidad Fundamental. EJERCICIO MODELO: 1. Verificar si se cumple la identidad fundamental del cociente de polinomios en: (𝑥 2 + 2𝑥 − 1) ÷ (𝑥 − 1) Se tiene: 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 1 Ahora bien, 𝐶(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑅(𝑥) = 𝑚

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐶(𝑥) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) – 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑅(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐶(𝑥)

Planteando la Identidad fundamental, queda: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) 2 𝑥 + 2𝑥 − 1 = [(𝑥 − 1) ∙ (𝐴𝑥 + 𝐵)] + 𝑚 Resolviendo el producto, 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 − 𝐴𝑥 − 𝐵 + 𝑚 Asociando términos semejantes: 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 𝐴𝑥 2 + (𝐵 − 𝐴)𝑥 + (−𝐵 + 𝑚) Ahora, por igualdad de polinomios, se tiene que: 𝐴=1

(I)

𝐵−𝐴 =2

(II)

−𝐵 + 𝑚 = −1

(III)

Sustituyendo 𝐴 = 1 en (II): 𝐵−𝐴 =2 𝐵−1 =2 ⟹ 𝐵 = 2+1 Sustituyendo 𝐵 = 3 en (III): 𝐵 + 𝑚 = −1 3 + 𝑚 = −1 ⟹ 𝑚 = −1 − 3 Entonces,

𝐶(𝑥) = 𝑥 + 3

⟹

⟹

𝐵=3

𝑚 = −4 𝑅(𝑥) = 2

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EJERCICIOS PROPUESTOS: DESARROLLA ESTOS EJERCICIOS COMO REFUERZO EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS. COPIA LOS ENUNCIADOS. DEJA LOS PROCESOS. NO SE SOLICITARÁ LA ENTREGA DE LOS MISMOS A LA DOCENTE 1. Hallar el polinomio que divide a 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 − 3𝑥 4 + 𝑥 − 2𝑥 3 + 5𝑥 2 + 4, obteniendo como cociente 𝐶(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 3𝑥 − 5 y como residuo 𝑅(𝑥) = 6. 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2 2. Determinar el cociente y el residuo de dividir el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 6𝑥 + 24 entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 5 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 + 15 𝑦 𝑅(𝑥) = 76𝑥 + 77 3. Determinar el valor de m y n para que el polinomio 𝑃(𝑥) = 4𝑥 4 + 𝑚𝑥 2 + 5𝑥 3 − 5𝑥 + 𝑛, sea divisible entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 2 − 1. 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑚 = 5 𝑦 𝑛 = −6 ✓ CEROS O RAÍCES DE UN POLINOMIO.  Se dice que un valor 𝒙 = 𝒂, es Raíz de un Polinomio 𝑃(𝑥), cuando el valor numérico del polinomio es igual a cero, es decir, cuando al sustituir dicho valor en el polinomio, el resultado es 0; lo que significa que, 𝑃(𝑎) = 0. Las raíces de un polinomio, también se llaman Ceros del Polinomio.  Las Raíces de un Polinomio nos van a permitir descomponer los polinomios en factores, lo que su vez nos permitirá realizar la división de polinomios de una forma más fácil. ✓ ¿Cómo calcular las raíces de un polinomio?  Cuando buscamos las raíces de un polinomio, necesitamos que 𝑃(𝑥) = 0, por tanto, si igualamos directamente el polinomio a cero (0), nos quedará una ecuación, cuyas soluciones serán las raíces del polinomio. EJERCICIO MODELO: 1. Calcular las raíces del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 Para ello, igualamos 𝑃(𝑥) a cero y resolvemos la ecuación: 𝑃(𝑥) = 0, entonces, 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0 Por ser un polinomio de grado dos, es decir, una Ecuación de 2do. Grado, utilizamos la Fórmula del Resolvente, de la siguiente forma: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4 . 𝑎. 𝑐 𝑥= 2 .𝑎 Como: a = 1; 𝑏 = 2; 𝑐 = −8, se tiene:

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Ahora bien, por ser una ecuación de segundo grado, tenemos dos soluciones: 𝑥 = 2 y 𝑥 = −4, que a su vez son las raíces del polinomio, esto último lo podemos comprobar sustituyendo esos números en el polinomio:

 El número de raíces coincide con el número de soluciones de la ecuación y como consecuencia, coincide con el grado del polinomio o de la ecuación, es decir, el número de raíces de un polinomio de grado n es n raíces: 𝑵º 𝒅𝒆 𝒓𝒂í𝒄𝒆𝒔 = 𝑵º 𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 = 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏  Se tiene que, para resolver las ecuaciones de grado igual o mayor a 3, se utilizará la Regla o Método de Ruffini, en forma consecutiva hasta hallar todas las raíces.  Una raíz entera de un polinomio 𝑷(𝒙) con coeficientes enteros, es un divisor del término independiente (𝑎0 ), además, si 𝒂𝒏 = 𝟏, las raíces de 𝑷(𝒙) son enteras; si 𝒂𝒏 ≠ 𝟏, las raíces de 𝑷(𝒙) son fraccionarias.  Si una raíz aparece m veces (𝒎 > 1), se le llama Raíz Múltiple de Orden m o Raíz de multiplicidad m. Por ejemplo, una raíz que aparece 2 veces, se le llama raíz doble o de multiplicidad 2, si aparece 3 veces se le llama raíz triple o de multiplicidad 3; si aparece una sola vez se le llama raíz simple. EJERCICIO MODELO: 1. Calcular las raíces del siguiente polinomio 𝑷(𝒙) = x 3 − 4x 2 + x + 6. .- Para ello utilizaremos el Método de Ruffini en forma consecutiva, hasta hallar todas las raíces, en este caso, como el polinomio es de grado 3, posee 3 raíces. Debemos hallar los divisores del término independiente, pues, como, 𝒂𝒏 = 𝟏, el polinomio tiene raíces enteras y son factores de 𝒂𝟎 , en este caso, 𝒂𝟎 = 𝟔:

𝐷(6) = {±1, ±2, ±3, ±6} .- Ahora bien, obtenidos los 𝐷(6), veamos el proceso de aplicación del método de Ruffini o de División Sintética, para hallar las raíces o ceros de un polinomio (Se recomienda, hallar el valor numérico del polinomio para cada divisor del término independiente, y donde el resultado sea cero, será una raíz del polinomio, entonces, se usa en Ruffini):

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Así, las raíces enteras de 𝑷(𝒙) son: 𝒙𝟏 = −𝟏;

𝒙𝟐 = 𝟐;

𝒙𝟑 = 𝟑

Ahora bien, el polinomio se puede expresar como el producto de sus factores de la forma siguiente: 𝐱 𝟑 − 𝟒𝐱 𝟐 + 𝐱 + 𝟔 = (𝐱 + 𝟏) ∙ (𝐱 − 𝟐) ∙ (𝐱 − 𝟑) ✓ TEOREMAS GENERALES SOBRE LOS CEROS O RAÍCES DE LOS POLINOMIOS.  TEOREMA DEL FACTOR. Si al dividir un polinomio 𝑷(𝒙) entre (𝒙 − 𝒓), el residuo 𝑹(𝒙) es cero, entonces la división es exacta, y (𝒙 − 𝒓) es un factor de 𝑃(𝑥).  RECÍPROCO DEL TEOREMA DEL FACTOR. Si (𝒙 − 𝒓) es un factor de 𝑷(𝒙), entonces la división de 𝑷(𝒙) entre (𝒙 − 𝒓) es exacta y el residuo 𝑹(𝒙) es igual a cero.  TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA. El cual fundamenta que un polinomio en una variable no constante y de coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado, ya que, las raíces se cuentan con sus multiplicidades. El polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + … + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 , con 𝒏 ≥ 𝟏; 𝒂𝒏 ≠ 𝟎, tiene al menos una raíz o cero. Demostración: Sea 𝒓𝟏 un cero de 𝑷(𝒙), por el Teorema del Factor 𝒙 − 𝒓𝟏 , es un factor. Si designamos al cociente de 𝑷(𝒙) por 𝒙 − 𝒓𝟏 , como, 𝑷𝟏 (𝒙), entonces, 𝑷𝟏 (𝒙), también tiene un cero, que podemos llamar, 𝒓𝟐 , el cociente de 𝑷𝟏 (𝒙) por 𝒙 − 𝒓𝟐 , lo llamaremos como, 𝑷𝟐 (𝒙), entonces, 𝑷𝟐 (𝒙) también tiene un cero que se le puede llamar 𝒓𝟑 , y así sucesivamente. Cada nuevo cociente es de un grado menor que el grado del cociente anterior, así que, 𝑷(𝒙) tendrá factores de la forma 𝒙 − 𝒓𝒎 , con 𝒎 > 1. Por lo tanto, se puede escribir el polinomio de la siguiente manera: 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏 (𝒙 − 𝒓𝟏 )𝒏 𝟏 (𝒙 − 𝒓𝟐 )𝒏 𝟐 (𝒙 − 𝒓𝟑 )𝒏 𝟑 … (𝒙 − 𝒓𝒌 )𝒏 𝒌 Donde los exponentes son enteros positivos tales que, 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + … + 𝑛𝑘 = En conclusión, el polinomio 𝑷(𝒙) = 𝟎 de grado n, tiene exactamente n raíces.

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EJERCICIO MODELO: 1. Hallar las raíces del polinomio: 𝑷(𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟏)𝟐 (x + 2) .- Las raíces o soluciones de este polinomio son: (𝒙 − 𝟏)𝟐 , es decir, (𝒙 − 𝟏), dos veces (de multiplicidad dos) , donde 𝑥 = 1 y (x + 2) (Raíz simple), donde, 𝒙 = −𝟐. .- Para demostrar que es cierto, lo planteado anteriormente, desarrollemos el polinomio: 𝑷(𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟏)𝟐 (x + 2) 𝑷(𝒙) = 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏) (x + 2) 𝑷(𝒙) = (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐) (x + 2) 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟒 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 + 𝟒

.- Aplicando Ruffini:

.- Observe, como los factores que obtuvimos, nos permiten hallar las raíces o soluciones del polinomio dado: 𝒙 = 𝟏 (dos veces) y 𝒙 = −𝟐 (Raíz simple). ✓ RAÍCES RACIONALES DE UN POLINOMIO.  Teorema: Si 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + … + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 , es un polinomio con 𝒑 coeficientes enteros, y si un número racional 𝒒, en sus términos mínimos, es decir, fracción irreducible, es una raíz de 𝑷(𝒙) = 𝟎, entonces, p es un factor de 𝒂𝟎 y q es factor de 𝒂𝒏 .

EJERCICIO MODELO: 1. Determinar las raíces racionales de la ecuación: 6𝑥 5 + 13𝑥 4 − 18𝑥 3 − 37𝑥 2 + 16𝑥 + 20 = 0 .- Hallamos las posibles raíces enteras: 𝑝 = 𝐷(20) = {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20} .- Hallamos los divisores del coeficiente del término de mayor grado (Término Principal): 𝑞 = 𝐷(6) = {1, ±2, ±3, ±6, } .- Ahora las posibles raíces fraccionarias serían: 𝑝 1 1 1 2 1 4 5 5 5 10 20 = {± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± } 𝑞 2 3 6 3 3 3 2 3 6 3 3

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.- Probamos aplicando Ruffini, cuáles serían las raíces de la ecuación, es decir, para cuales de las posibles raíces la división es exacta (Resto igual a cero).

.- La última ecuación reducida es: 6𝑥 2 + 3𝑥 − 15 = 0, así que las dos raíces que faltan, −𝑏 ± √𝑏2 − 4 .𝑎.𝑐

−1 ± √41

pueden ser halladas aplicando, la Resolvente: 𝑥 = , de donde, 𝑥 = . 2 .𝑎 4 .- En conclusión: La ecuación 6𝑥 5 + 13𝑥 4 − 18𝑥 3 − 37𝑥 2 + 16𝑥 + 20 = 0, es de grado cinco, por lo tanto, debe tener cinco soluciones (reales o imaginarias). Entonces, las soluciones son: 𝒙𝟏 = 𝟏;

𝒙𝟐 = −𝟐;

𝟐

𝒙𝟑 = − 𝟑 ;

𝒙𝟒 =

−1 ± √41 4

;

𝒙𝟓 =

−1 ± √41 4

EJERCICIOS PROPUESTOS: DESARROLLA ESTOS EJERCICIOS COMO REFUERZO EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS. COPIA LOS ENUNCIADOS. DEJA LOS PROCESOS. NO SE SOLICITARÁ LA ENTREGA DE LOS MISMOS A LA DOCENTE 1. Determinar las raíces enteras y racionales de las ecuaciones que se dan a continuación y expresarlas como el producto de sus factores: 1 5 (𝑎)6𝑥 3 + 𝑥 2 − 21𝑥 − 10 = 0 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: − ; 2; − 2 3 2 1 5 (𝑏)12𝑥 3 − 28𝑥 2 − 9𝑥 + 10 = 0 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: − ; ; − 3 2 2 (𝑐)𝑥 5 − 2𝑥 4 − 9𝑥 3 + 22𝑥 2 + 4𝑥 − 24 = 0 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 2; 2; 2; −1; −3 1 1 1 2 (𝑑)24𝑥 6 − 20𝑥 5 − 6𝑥 4 + 9𝑥 3 + 2𝑥 2 = 0 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 0; 0; ; ; ; − 2 2 2 3

NOTA:

 Ahora bien, al resolver una ecuación polinómica, no solo estamos hallando las raíces o soluciones, sino, que este método nos permite racionalizar fácilmente polinomios.

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EJERCICIO MODELO: 1. Factorizar y simplificar la siguiente fracción: 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 11𝑥 + 6 (𝑎) 𝑥 3 − 7𝑥 − 6 .- Hallamos las posibles raíces enteras del polinomio numerador: 𝐷(6) = {1, ±2, ±3, ±6, } .- Probamos aplicando Ruffini, cuáles son las raíces para las que la división es exacta (Resto igual a cero).

.- El numerador se puede expresar como el producto de sus factores de la forma siguiente: 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 11𝑥 + 6 = (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 + 3) .- Hallamos las posibles raíces enteras del polinomio denominador: 𝐷(6) = {1, ±2, ±3, ±6, } .- Probamos aplicando Ruffini, cuáles son las raíces para las que la división es exacta (Resto igual a cero).

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.- El denominador se puede expresar como el producto de sus factores de la forma siguiente: 𝑥 3 − 7𝑥 − 6 = (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) .- Sustituyendo en la fracción inicial, la descomposición en factores del numerador y denominador, se tiene: 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 11𝑥 + 6 (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 + 3) = (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) 𝑥 3 − 7𝑥 − 6 .- Simplificando:

.- De donde, se obtiene: 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 11𝑥 + 6 (𝑥 + 3) = (𝑥 − 3) 𝑥 3 − 7𝑥 − 6

EJERCICIOS PROPUESTOS: DESARROLLA ESTOS EJERCICIOS COMO REFUERZO EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS. COPIA LOS ENUNCIADOS. DEJA LOS PROCESOS. NO SE SOLICITARÁ LA ENTREGA DE LOS MISMOS A LA DOCENTE 1. Simplificar las siguientes fracciones: 6𝑥 4 + 7𝑥 3 + 5𝑥 2 − 𝑥 − 2 (𝑎) = 6𝑥 4 + 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 4𝑥 + 1 (3𝑥 + 2) 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 3𝑥 − 1 4𝑥 4 − 17𝑥 2 + 4 (𝑐) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 18𝑥 + 8 (𝑥 + 2)(2𝑥 + 1) 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 2𝑥 + 4

𝑥 5 + 2𝑥 4 − 15𝑥 3 − 3𝑥 2 − 6𝑥 + 45 (𝑏) = 2𝑥 4 + 3𝑥 5 − 32𝑥 4 + 9𝑥 3 − 9𝑥 2 + 96𝑥 − 45 1 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 2𝑥 − 1 𝑥4 − 1 (𝑑) 2 = 𝑥 −1 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑥 2 + 1

✓ APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. .- Como se vio anteriormente, este método consiste en hallar los coeficientes de una o varias expresiones algebraicas, basados en el teorema que dos polinomios son iguales si poseen el mismo grado y los términos de igual grado son iguales. .- También lo utilizamos para hallar el cociente y el resto de una división de polinomios, pero este método, también sirve para hallar la raíz de un polinomio, descomponer una fracción en fracciones simples o racionalizar expresiones que poseen radicales de grado mayor que dos en el denominador.

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 RAÍZ DE UN POLINOMIO. 𝑛 .- Si queremos hallar la raíz n-sima (enésima) de un polinomio, se debe recordar que: √𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⟹ 𝑃(𝑥) = [𝑄(𝑥)]𝑛 , en el caso de una raíz exacta. .- Para el caso de raíces inexactas se verifica que: 𝑛 ⟹ 𝑃(𝑥) = [𝑄(𝑥)]𝑛 + 𝑅(𝑥) √𝑃 (𝑥) − 𝑅(𝑥) = 𝑄(𝑥) .- Ahora bien, en relación al caso de la raíz n-sima de un polinomio hay que acotar lo siguiente: • Si la raíz es de índice par, 𝑄(𝑥) puede tomar valores positivos o negativos, así: 𝑃(𝑥) = [±𝑄(𝑥)]𝑛 + 𝑅(𝑥) • El 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) ÷ Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑎í𝑧. • El 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑅(𝑥) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) − 1 EJERCICIO MODELO. 1. Calcular √𝑥 4 + 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 10 𝑥 − 8 .- Determinamos el grado de 𝑄(𝑥): 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) ÷ Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑎í𝑧. En este caso, 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 10 𝑥 − 8, es decir, es de grado 4, entonces, 4 ÷ 2 = 2 .- Determinemos el grado de 𝑅(𝑥): 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑅(𝑥) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) − 1, así que, 4−2−1= 1 .- Se tiene que, la expresión general de la raíz es: 𝑄(𝑥) = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 y la expresión general del residuo es: 𝑅(𝑥) = 𝐷𝑥 + 𝐸; .- Así que, 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 10 𝑥 − 8 = (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 )2 𝐷𝑥 + 𝐸 .- Resolviendo: 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 10 𝑥 − 8 = 𝐴2 𝑥 4 + 2𝐴𝐵𝑥 3 + (2𝐴𝐶 + 𝐵 2 )𝑥 2 + (2𝐵𝐶 + 𝐷)𝑥 + 𝐶 2 + 𝐸 .- Aplicando el teorema de igualdad de polinomios, se tiene que, 𝑥 4 = 𝐴2 𝑥 4 ⟹ 𝐴2 = 1 ⟹ 𝐴 = 1 2𝑥 3 = 2𝐴𝐵𝑥 3 ⟹ 2𝐴𝐵 = 2 ⟹ 2 .1. 𝐵 = 2 ⟹ 2𝐵 = 2

⟹ 𝐵=

2 2

⟹ 𝐵=1

−5𝑥 2 = (2𝐴𝐶 + 𝐵 2 )𝑥 2 ⟹ 2𝐴𝐶 + 𝐵 2 = −5 ⟹ 2 .1. 𝐶 + 12 = −5 ⟹ 2𝐶 + 1 = −5 −6 ⟹ 2𝐶 = −5 − 1 ⟹ 2𝐶 = −6 ⟹ 𝐶 = ⟹ 𝐶 = −3 2 10 𝑥 = (2𝐵𝐶 + 𝐷)𝑥 ⟹ 2𝐵𝐶 + 𝐷 = 10 ⟹ 2.1. (−3) + 𝐷 = 10 ⟹ −6 + 𝐷 = 10 ⟹ 𝐷 = 10 + 6 ⟹ 𝐷 = 16 −8 = 𝐶 2 + 𝐸

⟹ 𝐶 2 + 𝐸 = −8 ⟹ (−3)2 + 𝐸 = −8 ⟹ ⟹ 𝐸 = −8 − 9 ⟹ 𝐸 = −17

9 + 𝐸 = −8

Luego, la raíz obtenida es: 𝑄(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 3, y el residuo: 𝑅(𝑥) = 16 𝑥 − 17

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EJERCICIOS PROPUESTOS: DESARROLLA ESTOS EJERCICIOS COMO REFUERZO EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS. COPIA LOS ENUNCIADOS. DEJA LOS PROCESOS. NO SE SOLICITARÁ LA ENTREGA DE LOS MISMOS A LA DOCENTE 1. Hallar la Raíz Cuadrada de los siguientes polinomios: (𝑎) 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 2 + 4 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 − 2 𝑦 𝑅(𝑥) = 0 (𝑐)𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 6𝑥 3 + 13𝑥 2 − 4𝑥 − 2 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 𝑦 𝑅(𝑥) = 8𝑥 − 6

(𝑏) 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 5 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 1 𝑦 𝑅(𝑥) = 𝑥 + 4 (𝑑)𝑃(𝑥) = 𝑥 6 − 2𝑥 4 + 4𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 2 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐶(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 + 2 𝑦 𝑅(𝑥) = 0

 DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN FRACCIONES SIMPLES O EN FRACCIONES PARCIALES. 𝑷(𝒙) .- Sea la expresión 𝑸(𝒙) una fracción algebraica donde 𝑷(𝒙) es el numerador y 𝑸(𝒙) es el denominador de la misma, dicha fracción puede se expresada como la suma de fracciones simples. .- Para descomponer adecuadamente la fracción inicial, es necesario considerar lo siguiente: • A cada factor binomio de grado uno, 𝒂𝒙 + 𝒃, le corresponde una fracción simple de la 𝑨 forma: 𝒂𝒙+𝒃. • A cada factor binomio de grado uno que aparezca k veces, (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒌, le corresponde una suma de fracciones simples de la forma: 𝑨 𝑩 𝑪 𝑹 𝑻 + (𝒂𝒙+𝒃)𝒌−𝟏 + (𝒂𝒙+𝒃)𝒌−𝟐 + … + (𝒂𝒙+𝒃)𝟐 + (𝒂𝒙+𝒃)𝟏 . (𝒂𝒙+𝒃)𝒌 • •

A cada factor trinomio cuadrado de grado dos 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, le corresponde una fracción 𝑨𝒙+𝑩 simple de la forma: 𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄. A cada factor trinomio cuadrado de grado dos que aparezca k veces, (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝒌 , le corresponde una suma de fracciones simples de la forma: 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝑴𝒙 + 𝑵 𝑹𝒙 + 𝑺 + + … + + (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝟐 (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝟏 (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝒌 (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝒌−𝟏

EJERCICIO MODELO. 1. Expresar la siguiente fracción como la suma de fracciones simples: 𝑥+4 (𝑎) 3 𝑥 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 .- Primero se Factoriza numerador y denominador, en este caso el numerador está escrito en su forma más simple no se puede factorizar, queda de esa forma. .- Apliquemos Ruffini para factorizar el denominador: 𝑸(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔, para ello, se determinan los divisores del término independiente, es decir, los divisores de 6: 𝑫(𝟔) = {𝟏, ±𝟐, ±𝟑, ±𝟔 } Esto es, puesto que, 𝒂𝒏 = 𝟏, entonces, el polinomio 𝑸(𝒙) posee tres raíces enteras.

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.- Desarrollo de Ruffini, para Q(x):

.- De donde: 𝑸(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑) .- Por lo tanto, 𝑥+4 𝑥+4 = 3 2 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 6 .- Esta expresión la podemos escribir como la suma de tres fracciones simples, de la forma siguiente: 𝑥+4 𝑥+4 = 3 2 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥+4 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝑥+1 𝑥−2 𝑥−3 .- Hallando el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores y simplificando denominadores, queda: 𝑥+4 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝐵 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 𝐶(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = + + (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝑥 + 4 = 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) + 𝐵 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) + 𝐶(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)

.- Desarrollando los productos notables: (𝑥 ± 𝑎)(𝑥 ± 𝑏) = 𝑥 2 ± (𝑎 + 𝑏)𝑥 ± 𝑎. 𝑏, Completando el polinomio que se encuentra en el numerador 𝒙 + 𝟒 y se Agrupan los términos semejantes: 0𝑥 2 + 𝑥 + 4 = 𝐴(𝑥 2 − 5𝑥 + 6) + 𝐵(𝑥 2 − 2𝑥 − 3) + 𝐶(𝑥 2 − 𝑥 − 2) 0𝑥 2 + 𝑥 + 4 = 𝐴𝑥 2 − 5𝐴𝑥 + 6𝐴 + 𝐵𝑥 2 − 2𝐵𝑥 − 3𝐵 + 𝐶𝑥 2 − 𝐶𝑥 − 2𝐶 2 0𝑥 + 𝑥 + 4 = (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 2 ) + (− 5𝐴𝑥 − 2𝐵𝑥 − 𝐶𝑥) + (6𝐴 − 3𝐵 − 2𝐶) 0𝑥 2 + 𝑥 + 4 = (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 2 ) + (− 5𝐴𝑥 − 2𝐵𝑥 − 𝐶𝑥) + (6𝐴 − 3𝐵 − 2𝐶) .- Igualando términos semejantes: 0𝑥 2 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 2 ⟹ 𝑥 = − 5𝐴𝑥 − 2𝐵𝑥 – 𝐶𝑥 ⟹ 4 = 6𝐴 − 3𝐵 − 2𝐶 ⟹

𝐴+𝐵+𝐶 =0 − 5𝐴 − 2𝐵 – 𝐶 = 1 6𝐴 − 3𝐵 − 2𝐶 = 4

⟹ 5𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −1

.- De donde se obtiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: 𝐴+𝐵+𝐶 =0 (1) {5𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −1 (2) 6𝐴 − 3𝐵 − 2𝐶 = 4 (3)

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.- Resolvamos ahora el sistema de ecuaciones, tomando las ecuaciones (1) y (2), multiplicando por (-1) la Ecuación (1), y sumando ambas, se obtiene: 𝐴+𝐵+𝐶 =0 { 5𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −1 −𝐴 − 𝐵 − 𝐶 = 0 { 5𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −1

.- Tomando las ecuaciones (3) y (1), multiplicando por 2 la ecuación (1), y sumando ambas, nos queda: 𝐴+𝐵+𝐶 =0 { 6𝐴 − 3𝐵 − 2𝐶 = 4 2𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 = 0 { 6𝐴 − 3𝐵 − 2𝐶 = 4

.- Sumando (3) y (4) se obtiene: 4𝐴 + 𝐵 = −1 { 8𝐴 − 𝐵 = 4

12𝐴 = 3 𝐴=

3 12

𝑨=

𝟏 𝟒

1 4

.- Si 𝐴 = , sustituyendo en (3), se obtiene: 4𝐴 + 𝐵 = −1 1 4 ( ) + 𝐵 = −1 4 1 + 𝐵 = −1 𝐵 = −1 − 1 𝐵 = −2

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1

.- Sustituyendo 𝐴 = 4 y 𝐵 = −2 en la ecuación (1), nos queda: 𝐴+𝐵+𝐶 =0 1 −2+𝐶 =0 4 (

1−8 )+𝐶 = 0 4 7 − +𝐶 =0 4 𝐶=

7 4

.- Por lo tanto la fracción dada se puede expresar como: 𝑥+4 1 2 7 = − + (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 4(𝑥 + 1) 𝑥 − 2 4(𝑥 − 3) 2. Sea la fracción,

3𝑥 2 + 7𝑥 +1 𝑥(𝑥+1)2

, expresar la misma coma la suma de varias fracciones simples.

.- Como la expresión, ya está factorizada, se descompone en factores simples: 3𝑥 2 + 7𝑥 + 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 2 𝑥(𝑥 + 1) 𝑥 (𝑥 + 1) 𝑥+1 .- Calculando el M.C.M. de los denominadores y simplificando denominadores, queda: 3𝑥 2 + 7𝑥 + 1 𝐴(𝑥 + 1)2 𝐵𝑥 𝐶𝑥(𝑥 + 1) = + + 𝑥(𝑥 + 1)2 𝑥(𝑥 + 1)2 𝑥(𝑥 + 1)2 𝑥(𝑥 + 1)2 3𝑥 2 + 7𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 + 1)2 + 𝐵𝑥 + 𝐶(𝑥 + 1) .- Desarrollando el producto notable: (𝑥 + 𝑎) = 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 ± 𝑎2 , y los productos indicados, nos queda: 3𝑥 2 + 7𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥(𝑥 + 1) 3𝑥 2 + 7𝑥 + 1 = 𝐴𝑥 2 + 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 2 + 𝐶𝑥 .- Agrupando términos semejantes: 3𝑥 2 + 7𝑥 + 1 = (𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑥 2 ) + (2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥) + 𝐴 .- Igualando términos semejantes, se tiene: 3𝑥 2 = 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑥 2 ⟹ 𝐴 + 𝐶 = 3 (1) 7𝑥 = 2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 ⟹ 2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 7 1=𝐴 ⟹ 𝐴=1 𝐴=1

(2)

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.- Sustituyendo en (1) 𝐴 = 1: 𝐴+𝐶 =3 1+𝐶 =3 𝐶 =3−1 𝐶=2

.- Sustituyendo en (2) 𝐴 = 1 𝑦

𝐶 = 2: 2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 7 (2) 2(1) + 𝐵 + 2 = 7 2+𝐵+2=7 4+𝐵 =7 𝐵 =7− 4 𝐵=3

.- Por lo tanto, la expresión es: 3𝑥 2 + 7𝑥 + 1 1 3 2 = + + 𝑥(𝑥 + 1)2 𝑥 (𝑥 + 1)2 𝑥 + 1

EJERCICIOS PROPUESTOS: DESARROLLA ESTOS EJERCICIOS COMO REFUERZO EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS. COPIA LOS ENUNCIADOS. DEJA LOS PROCESOS. NO SE SOLICITARÁ LA ENTREGA DE LOS MISMOS A LA DOCENTE 1. Descomponer en fracciones simples: 4𝑥 + 23 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) Respuesta: 1 3 1 − + 𝑥 − 3 2(𝑥 + 2) 2(𝑥 + 1) 𝑥2 − 1 (𝑐) = (𝑥 − 2)3 3 4 1 Respuesta: + + 3 2 (x − 2) (x − 2) x−2 (𝑎)

17𝑥 − 45 = 𝑥 2 (𝑥 + 2) 79 45 79 Respuesta: − 2− 4x 2x 4(x + 2) (𝑏)

✓ VERDADERO VALOR DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA. Cuando al determinar el valor numérico de una fracción algebraica, para un determinado valor 0 de la variable y resulta una indeterminación 0, es necesario eliminar la indeterminación, para lo cual se procede así: .- Se Factoriza numerador y denominador de la fracción, aplicando Ruffini, para el valor de la variable, que produce el cero, tantas veces como sea posible. .- Se simplifica la fracción, con lo que, se elimina la indeterminación. .- Se calcula el valor numérico de nuevo, que será el Verdadero Valor de la Fracción.

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EJERCICIO MODELO. 1. Calcular el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas:

RECUERDA QUE PARA FACTORIZAR LOS POLINOMIOS UTILIZAS ALGÚN MÉTODO CONOCIDO O RUFFINI. DEBES DEJAR EL PROCEDIMIENTO EN EL DESARROLLO. REALIZA LA FACTORIZACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE CADA EJEMPLO COMO EJERCICIO DE REFUERZO EN TÚ CUADERNO

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EJERCICIOS PROPUESTOS: DESARROLLA ESTOS EJERCICIOS COMO REFUERZO EN TÚ CUADERNO DE MATEMÁTICAS. COPIA LOS ENUNCIADOS. DEJA LOS PROCESOS. NO SE SOLICITARÁ LA ENTREGA DE LOS MISMOS A LA DOCENTE 1. Halla el resto de las siguientes divisiones, sin resolver la división: (APLICA TEOREMA DEL RESTO) (𝑎)(𝑥5 − 2𝑥2 − 3) ÷ (𝑥 − 1) = 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝑅(𝑥) = −4 (𝑏)(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 5𝑥 + 10) ÷ (𝑥 + 2) = 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝑅(𝑥) = −2 2. Verifica e Indica cuáles de las siguientes divisiones es exacta: (APLICA TEOREMA DEL RESTO) (𝑎)(𝑥 3 − 5𝑥 − 1) ÷ (𝑥 − 3) = 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝐼𝑛𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 (𝑏)(𝑥 6 − 1) ÷ (𝑥 + 1) = 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 3. Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factor el que se indica: (APLICA TEOREMA DEL RESTO) (𝑎)(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥2 + 𝑥 − 1) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑥 − 1) 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑏)(𝑥 3 − 5𝑥 − 1) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑥 − 3) 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 4. Hallar las raíces de los polinomios y descomponer en factores: (Aplica Ruffini en forma sucesiva, hasta que se pueda) 3 (𝑎)(2𝑥 3 − 7𝑥 2 + 8𝑥 − 3) 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 2 (𝑥 − ) (𝑥 − 1)2 2 (𝑏)(𝑥 3 − 𝑥2 − 4) 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 𝑥 + 2) 5. Encontrar el valor de k para que al dividir 2𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 2, entre (x − 2) el resto es igual 4. 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝑘 = 3 6. Determinar el valor de m para que 3𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 4 admita 𝑥 = 1 como una de sus raíces. 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝑚 = −7 7. Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por 𝑥 2 − 4 y se anule para 𝑥 = 3 y 𝑥 = 5. 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝑥 4 − 8𝑥 3 + 11𝑥 2 + 32𝑥 − 60 8. Calcular el valor de a para que el polinomio 𝑥 3 − 𝑎𝑥 + 8, tenga la raíz 𝑥 = −2, y calcular las demás raíces en R. 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝑎 = 0; 𝑁𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑚á𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠. 9. Calcular el verdadero valor de las siguientes fracciones: 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 𝑥3 − 8 (𝑎) 2 (𝑏) 2 = 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 = 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 𝑥 − 8𝑥 + 12 𝑥 + 11𝑥 − 26 3 4 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 4 5 3𝑥 4 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 (𝑐) 3 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 2𝑥 + 5𝑥 2 − 6𝑥 − 1 11 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 10

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN U.E.P. INSTITUTO EDUCACIONAL ARAGUA MARACAY – ARAGUA AÑO ESCOLAR 2021 – 2022 PRIMER LAPSO

ÁREA DE FORMACIÓN: CIENCIAS NATURALES ASIGNATURA: MATEMÁTICAS AÑO Y SECCIÓN: 5to. Año Secciones A – B – C DOCENTE: Prof. Osdaly Morales ESTRATEGIA Nº: 2 TALLER INDIVIDUAL FECHA DE PUBLICACIÓN: MIÉRCOLES 03 DE NOVIEMBRE 2021 FECHA DE ENTREGA VIERNES 05/11/21, en físico al docente de la asignatura CONTENIDO: POLINOMIOS. Parte II. INSTRUCCIONES GENERALES: 1. Revisa cuidadosamente el MATERIAL DE APOYO publicado en la página web de la Institución (iearagua.com) y en la Plataforma Classroom Matemáticas de 5to. Año. 2. Realiza los EJERCICIOS PROPUESTOS y prepárate para presentar la Evaluación correspondiente a la Unidad, que será PUBLICADA el día miércoles 03 de noviembre para ser RESUELTA y ENTREGADA EN FÍSICO el día VIERNES 05/11/21. 3. Recuerda tomar las previsiones con respecto al Tiempo de Entrega, no esperes hasta el último momento, para enviar la resolución de la evaluación. Es importante la Puntualidad.