Final GEO AFFINE

GEOMETRI AFFINE

POSTULAT EUCLID A straight line may be drawn from any point to any other point A finite straight line may be extended continously in a straight line A circle may be described with any center and any radius All right angles are equal to one another If a straight line meets two other straight lines so as to make the two interior angles on one side of it together less then two right angles, the other straight lines, if extended indefinitely, will meet on that side on which the angles are less then two right angles

Geometri Affine

The study of geometric properties The study of geometric properties which remain unchanged by affine which remain unchanged by affine transformations, i.e. non-singular transformations, i.e. non-singular linear transformations and linear transformations and translations. translations.

A form of geometry featuring the unique parallel line property where the notion of angle is undefined and lengths can’t be compared in different directions (that is, Euclid’s third and fourth postulates are ignored)

related

Introductio in analysin infinitorum (1748)

AFFINIS AFFINITAS

bab XVIII: "De similitudine et affinitate linearum curvarum.”

(II. xviii. 239): "Quia Curvae hoc modo ortae inter se quandam Affinitatem tenent, has Curvas affines vocabimus."

Affine

“Der barycentrische Calcul" (1827)

MOBIUS

CHAPTER III

1872 Felix Klein

ERLANGEN PROGRAM

"Von der Affinitaet."

suatu program yang berdasarkan sintesis geometri untuk sifatsifat ruang yang invarian pada transformasi grup.

GEOMETRI ABSOLUT/ NETRAL

Janos Bolyai (anak dari Wolfgang Bolyai) Hongaria, 1802-1860

Berdasarkan 4 postulat pertama Euclid

Melalui suatu titik yang diketahui, tidak pada suatu garis yang diketahui, hanya dapat dibuat satu garis yang parallel dengan garis yang diketahui. Sudut tidak diukur Tidak membahas lingkaran GEOMETRI AFFINE

Leonhard Euler Jerman, 1707-1793

Memuat postulat I, II dan V Euclid

ORDERED GEOMETRY

PANGKAL

titik A, B, C, ... dan relasi keantaraan sebagai unsur yang tidak didefinisikan. Relasi keantaraan dinyatakan dengan [ABC] yang can be read as "B is between A and C". berarti B terletak antara A dan C. Jika B tidak terletak antara A dan C maka dikatakan “tidak [ABC]”

GEOMETRI AFFINE

POSTULAT I

GEOMETRI ABSOLUT

POSTULAT III

POSTULAT II POSTULAT V

POSTULAT IV

ORDERED GEOMETRY

Axioms of ordered 1. There exist at least two points. geometry 2. If A and B are distinct points, there

exists a C such that [ABC]. 3. If [ABC], then A and C are distinct (A≠C). 4. If [ABC], then [CBA] but not [CAB]. 5. If C and D are distinct points on the line AB, then A is on the line CD. 6. If AB is a line, there is a point C not on the line AB. 7. (Axiom of Pasch) If ABC is a triangle and [BCD] and [CEA], then there exists a point F on the line DE for which [AFB]. 8. Axiom of dimensionality:  For planar ordered geometry, all points are in one plane. Or  If ABC is a plane, then there exists a point D not in the plane ABC. 9. All points are in the same plane, space, etc. (depending on the dimension one chooses to work within). 10. (Dedekind's Axiom) For every partition of all the points on a line into two nonempty sets such that no point of either lies between two points of the other, there is a point of one set which lies between every other point of that set and every point of the other set.

Aksioma dalam geometri terurut yang berlaku pada geometri Affine Aksioma 1 : Ada paling sedikit dua titik Aksioma 2 : Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE ada suatu titik F yang memenuhi [A F B] Aksioma 3 : Semua titik ada dalam satu bidang

Suatu garis itu kontinu

Geometri affine merupakan geometri bidang

Aksioma 4 : Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik dari himpunan lainnya ( Aksioma Dedekind )

Geometri Terurut

Aksioma 5 :Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A, ada paling banyak satu garis melalui A dalam bidang Ar yang tidak memotong r.

Aksioma 6 : Jika A, A`, B, B`, C, C`, O adalah 7 buah titik berlainan sedemikian hingga AA`, BB` dan CC` adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika AB sejajar dengan A`B`, BC sejajar dengan B`C`, maka CA juga sejajar dengan C`A`

Geometri Affine

Akibat Teorema 20 geometri Terurut : Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A ada paling sedikit satu garis melalui A, dalam bidang Ar yang tidak memotong r.

Aksioma 5

untuk sebarang titik A dan sebarang garis r ada tepat satu garis melalui A dalam bidang Ar yang tidak memotong r.

Kesejajaran dalam geometri Affine adalah suatu relasi ekuivalensi

Refleksif, yaitu setiap garis k sejajar dengan k sendiri

Simetris, yaitu jika garis k sejajar dengan garis l, maka garis l juga sejajar dengan garis k Transitif, yaitu jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m.

Kebalikan Aksioma 6 Teorema 1 : Jika ABC dan A`B`C` adalah 2 segitiga dengan titik-titik sudut yang berlainan, diletakkan sedemikian hingga BC// B`C`, CA//C`A` dan AB//A`B`, maka ketiga garis AA`, BB` dan CC` adalah berpotongan pada satu titik (konkuren) atau sejajar.

Kebalikan teorema 1

Teorema 2 :Jika A, A`, B, B`, C, C` adalah 6 titik berbeda pada 3 garis sejajar berlainan AA`, BB` dan CC` diletakkan sedemikian hingga garis AB//A`B`, BC//B`C`, maka CA juga sejajar dengan C`A`.

Empat titik A, B, C dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajargenjang ABCD jika AD sejajar BC dan AC sejajar dengan DB. A, B, C dan D adalah titik-titik sudutnya. Ruas garis AD, DB, BC dan CA adalah sisisisinya. Sedangkan ruas garis AB dan CD adalah diagonaldiagonalnya. Karena B dan D pada pihak yang berlainan dari AC, maka diagonal-diagonalnya berpotongan di suatu yang disebut pusat jajargenjang.

Definisi 1 : Suatu dilatasi adalah suatu transformasi yang mentransformasikan setiap garis ke garis yang sejajar.

Teorema 3 : Dua ruas garis yang diketahui AB dan A`B` pada garis-garis sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi AB A`B`

Jika garis-garis AB dan A`B` berimpit, maka transformasi dapat dipandang sebagai AC Sehingga dua ruas garis sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi.

C’ P’ C’ P’

A’

B

A Gambar 7

B’

A`C`.

Definisi 2 : Invers dari dilatasi AB A`B` adalah A`B` AB.

Definisi 3 : Hasil kali dua dilatasi adalah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. Sehingga hasil kali dua dilatasi AB A`B` dan A`B` A``B`` adalah dilatasi AB A``B``

Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya merupakan suatu identitas AB AB.

Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dengan bayangannya adalah garis- garis invarian. Dimana garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik atau sejajar. Apabila garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik, maka dilatasi itu dinamakan dilatasi sentral. Titik potong dari garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi yang tunggal.

Apabila garis-garis yang menghubungkan suatu titik dengan bayangannya merupakan garis yang sejajar, maka dilatasi itu merupakan suatu translasi.

Teorema 4 : Dua titik sebarang A dan A` menentukan translasi tunggal A A`

Teorema 5 : Dilatasi AB A`B` mentransformasikan setiap titik

Teorema 6 : Hasil kali 2 translasi A dan B C adalah translasi A

Hasil kali dua translasi memenuhi sifat komutatif

C

B

Definisi 4 :Jika 2 titik berbeda A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB BA atau A B, maka transformasi itu merupakan setengah putaran ( halfturn ). Setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan C D. Garis-garis invarian AB dan CD, yang merupakan diagonal-diagonal jajargenjang, berpotongan di titik O, yang menjadi titik invarian dari setengah putaran. Titik O ini merupakan titik pusat jajargenjang. Sedangkan pada setengah putaran A B, titik O merupakan titik tengah ruas garis AB.

C

B O

T1

T A

D

Teorema 7 : Hasil kali 2 setengah putaran A B dan B C yang tidak sama akan menghasilkan translasi A C

C

B O A

A

D

C

D

B

Teorema 8 : Setengah putaran A B dan C D adalah sama, jika dan hanya jika translasi A D dan C B adalah sama.

Teorema 9 : Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dan sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar dengan sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga.

APLIKASI KOMPRESI CITRA DIGITAL DENGAN FRAKTAL SEBAGAI TEKINK KOMPRESI ALTERATIF

Kompresi citra (images compression) Pada proses ini citra digital dalam representasinya yang asli (belum dikompres) dikodekan dengan representasi yang meminimumkan kebutuhan memori. Citra yang sudah dikompres disimpan ke dalam arsip dengan menggunakan format tertentu

Menyimpan citra digital menggunakan kumpulan pixel membutuhkan media peyimpanan yang besar, namun jika citra tersebut yang disimpan adalah transformasi affinenya, maka kebutuhan tersebut akan dapat dikurangi secara signifikan.

Algoritma untuk kompresi citra digital dengan fraktal: a. Baca citra asli b.Menentukan ukuran matriks citra asli c. Menentukan ukuran blok range d. Menentukan ukuran blok domain e.Blok domain diskalakan ukurannya menjadi ½ kali ukuran semula. f.Untuk setiap blok range f.1 Dicari kemiripan antara blok range ke i dengan semua blok domain dengan menggunakan RMS. f.2 Hitung transformasi affine untuk antara blok range ke i dengan blok domain yang terpilih. f.3 Simpan koefisien transformasi affine ke i. g. Simpan semua parameter dalam PIFS

Citra asli

Pr os es K o m pr es i

Blok range 8 x 8

Penskalaan

Blok Domain 16x16

Parameter PIFS

Uji Kemiripan

Transformasi affine

Gambar di samping menunjukkan contoh transformasi rigid, transformasi affine dan transformasi proyektif atas suatu bidang segi empat pada bentuk pencitraan.

Gambar citra mosaik gedung widya puraya