Guía De Física M.A.S. Internet

ω ( t +τ ) + φ=ω t +φ+ 2 π τ=

2π ω

Cinemática de un M.A.S. En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad. La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación x = A · Sen ( ω t + φ ) Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc. Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es x = A Sen ( w t + j  ) Condiciones iniciales Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0. x0 = A · sen j v0 = A w · cos j se determinan la amplitud A y la fase inicial φ

 

Dinámica de un M.A.S. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa  m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

Como la   fuerza   F  es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep.

La expresión de la energía potencial es

Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial Ep=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0

La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek y de la energía potencial Ep que es constante.

  Curva de energía potencial La función Ep=mω2x2/2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0. Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial  E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.). El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s. En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

CINEMÁTICA DEL M.A.S. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja. Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Evolución en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un movimiento armónico simple.

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja. Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

ECUACIÓN DEL M.A.S. ELONGACIÓN. En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia x a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje O - x, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que

F x =−k x

donde

k

  es una constante positiva y

x es

la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio). Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

(1) Siendo   la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo  angular del movimiento:

 se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia

(2) La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma (3) donde:  es la elongación de la partícula.  es la amplitud del movimiento (elongación máxima).  es la frecuencia angular  es el tiempo.  es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila. Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como (4)

y por lo tanto el periodo como:

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión  . Velocidad La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo: (5) Aceleración La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

(6)

Amplitud y fase inicial La amplitud A y la fase inicial ϕ se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación x0 y de la velocidad v0 iniciales. (7)

x 0= A cos ϕ⇒ x20 =A 2 cos2 ϕ v 0=ϖ A sin ϕ ⇒ v 20=ϖ 2 A 2 sin 2 ϕ

(8)

(8’)

v 20 2 2 = A sin ϕ 2 ϖ

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) Obtenemos

(9)

(9’)

√

2 0

A= x +

v 20 2 2 2 x +¿ 2 = A (sin ¿ ¿ 2 ϕ+cos ϕ)= A ¿ ϖ 2 0

v 20 ϖ

2

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10)

Dinámica del movimiento armónico simple En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición. (11) Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

(12) Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce: (13)

ω 2=

k m

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14)

τ =2 π

√

m k

ENERGÍA DEL M.A.S.

Energía del movimiento armónico simple frente a la elongación. Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(15) La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio. La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

(16) La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

(17) Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

(18) Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene entonces que,

(19)

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio x = 0

(20)

EJEMPLOS Medición de masa en ingravidez En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición. Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M1721 ) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación T electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:

(21)

Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.

Introducción al Movimiento Armónico Simple En esta página se pretende que el alumno observe la representación del Movimiento Armónico Simple (en lo que sigue M.A.S.), identificando las principales magnitudes que en él intervienen, y visualice los valores que éstas toman en distintos casos, así como las variaciones que experimentan en diversos instantes y posiciones.

OBJETIVOS     

Identificar el MAS como un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. Visualizar un cuerpo que describe un MAS. Definir e identificar las principales magnitudes físicas que intervienen en un MAS. Visualizar e interaccionar con las gráficas que representan dichas magnitudes. Visualizar la relación existente entre el MAS y el Movimiento Circular Uniforme. 2.1 La posición en el M.A.S.

Como ya se ha dicho, la posición de un cuerpo que describe un M.A.S. viene dada por una ecuación de tipo sinusoidal:          El caso más sencillo se produce cuando no existe desfase (φ=0). En este caso la ecuación queda reducida a:           Pulsa en avanzar y verás la representación gráfica de esta función.