Guía de Física (M.P.) Catalina - Copia

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA LATINOAMERICANA ABRIL 29 DE 2008

CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE EL MOVIMIENTO PERIÓDICO. 

Definición: Movimiento que se repite con las mismas características a intervalos iguales de tiempo. 

Movimiento circular uniforme: Su trayectoria es circular, su velocidad varía pero su rapidez es constante; de igual manera su velocidad angular es constante.  Movimiento circular uniformemente acelerado: Su trayectoria es circular, su velocidad angular varía a un ritmo constante y por lo tanto ya existe una aceleración angular.  Movimiento oscilatorio: Se realiza a uno y otro lado de la posición de equilibrio. Se divide en dos: 

Clasificación: *

Movimiento pendular: Se realiza en virtud de la inercia y de la gravedad. * Movimiento armónico simple (M.A.S.): Se realiza por las vibraciones de la partícula debido a la elasticidad del material. En él la aceleración y la fuerza van dirigidas hacia la posición de equilibrio. 

Elementos: Básicamente tiene tres elementos: Período, frecuencia y velocidad angular. * Período (T, P): Es el tiempo en segundos que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa, o una oscilación completa o una vibración completa, o una revolución completa, o un ciclo completo. Matemáticamente se define como el cociente entre el tiempo ( t ) y el número de vueltas, oscilaciones o vibraciones ( n ) que realiza en dicho tiempo: T=t/n * Frecuencia (F, N): Es el número de vueltas, oscilaciones o vibraciones que da el cuerpo en la unidad de tiempo:

Su unidad de medida es el Hertz (Hz ó s-1 ) Vueltas /sg. , Oscilaciones / sg. , Vibraciones / sg. y se define como:

F=n/t OBSÉRVESE que el período y la frecuencia son inversamente proporcionales, por lo tanto se cumple que:

F.T = 1 * Velocidad angular ( W ): Es la velocidad con que varía el ángulo a medida que transcurre el tiempo. Matemáticamente se define así:

W = 2F = 2/T La velocidad angular se mide en radianes/segundo: rad / sg.

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MOVIMIENTO CIRCULAR Es el movimiento curvilíneo cuya trayectoria es una circunferencia, como por ejemplo: movimiento de cualquier punto de un disco, movimiento de las manecillas del reloj, el movimiento del electrón alrededor del protón en un átomo de hidrógeno. El movimiento circular se divide en dos: Movimiento circular uniforme y movimiento circular uniformemente acelerado.  Movimiento circular uniforme (m.c.u.): Cuando la trayectoria descrita es una circunferencia y la rapidez con que la describe es constante; en dicho movimiento la velocidad lineal es variable porque cambia de dirección y sentido, pero su magnitud (rapidez ) es constante. Su velocidad angular se conserva constante. El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria y es perpendicular al radio en el punto de tangencia; por esta razón la velocidad lineal recibe también el nombre de velocidad tangencial. Como la dirección del vector velocidad cambia, entonces hay una aceleración centrípeta o radial (dirigida hacia el centro). No tiene aceleración angular.  Movimiento circular uniforme acelerado (m.c.u.a.): Es aquél movimiento circular en el cuál la velocidad angular de la partícula que se mueve es variable a través del tiempo; dicha variación recibe el nombre de aceleración angular (  ). Los elementos del movimiento circular son: Período, frecuencia, velocidad angular, velocidad lineal o tangencial, aceleración centrípeta y fuerza centrípeta. Las expresiones matemáticas para trabajar el movimiento circular uniforme son las siguientes.

V2 2π θ 2 V t = W .r ; W = = 2 πF = ; ac = W . r = t ; F c = m .a c ; T t r Donde: W: Velocidad angular en rad / sg. Vt : Velocidad lineal o tangencial. r: Radio de la trayectoria circular. T: Período en segundos. F: Frecuencia en Hz. t: Tiempo en segundos.

T=

t n ; F= n t

ac: Aceleración centrípeta. Fc: Fuerza centrípeta m: Masa del cuerpo que se mueve n: Número de vueltas o revoluciones : Ángulo que gira en radianes.

Las expresiones matemáticas para trabajar el movimiento circular uniformemente acelerado son:

αt 2 W f = W o + α .t ; W 2 = W 2 + 2 αθ ; θ = Wo . t + ; a t = α . r ; ar = a 2 + a 2 f o t c 2

√

Donde: Wo: Wf: : at: r:

Velocidad angular inicial. Velocidad angular final. Aceleración angular. Aceleración tangencial. Radio

t: Tiempo : Espacio angular recorrido. a c: Aceleración centrípeta ar: Aceleración resultante.

Cuando se tienen poleas o ruedas acopladas por medio de bandas, el movimiento circular uniforme de una se transmite a la otra, hablándose así de transmisión de movimiento. Como están

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA LATINOAMERICANA ABRIL 29 DE 2008 acopladas con la misma banda o cuerda la velocidad tangencial de ambas ruedas es igual, por lo tanto se cumple la siguiente relación de transmisión:

W.R = w.r

donde W y R es la velocidad angular y el radio de la

rueda o polea mayor y w y r la de la polea menor. Para cada una de las poleas son válidas las expresiones matemáticas vistas para el m.c.u.

MOVIMIENTO PENDULAR (Péndulo simple) Péndulo simple: Consiste en una masa pequeña suspendida de un hilo inextensible de longitud L pegado a un punto fijo y que realiza pequeñas oscilaciones periódicas a uno y otro lado de la posición de equilibrio debido a la fuerza de gravedad y a la ley de inercia. El péndulo se encuentra en su posición de equilibrio cuando está en forma vertical. Debes tener muy presente que el período de un péndulo depende de la longitud y de la gravedad del lugar donde esté oscilando, por tanto matemáticamente el período de un péndulo se calcula así:

T =2π

√

L g

donde L es la longitud del péndulo y g la gravedad del sitio donde está oscilando.

Ten presente que el péndulo tiene también frecuencia y velocidad angular y que: T.F = 1

y

W = 2F = 2 / T

y que por ser el movimiento pendular periódico

también sigue cumpliéndose que T = t / n y F = n / t

NOTA IMPORTANTE: Cuando nos digan que un péndulo bate segundos significa que su período es 2 segundos.

LEYES DEL PÉNDULO: 1. El período de un péndulo es independiente de la masa. 2. El período de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la gravedad:

T1 T2

=

√

L1 L2

,

T1 T2

=

√

g2 g1

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) Los fenómenos vibratorios y ondulatorios aparecen en todas las ramas de la física: Mecánica, acústica, óptica, electricidad y mecánica cuántica. Hay muchos objetos que vibran periódicamente como, por ejemplo, una masa suspendida en el extremo de un resorte, el martillo de un timbre, una varilla sujeta firmemente en uno de sus extremos en el borde de una mesa y que se golpea por el otro extremo, una cuerda de guitarra cuando se interpreta con ella una linda melodía, entre otros. Se dice que todos ellos realizan un movimiento armónico simple (M.A.S.)

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA LATINOAMERICANA ABRIL 29 DE 2008 Por tanto un M.A.S. es un movimiento periódico producido por las vibraciones de las partículas a lado y lado de la posición de equilibrio, en el cual tanto la aceleración como la fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento o elongación y están siempre dirigidas hacia el centro o posición de equilibrio. La característica principal para que se dé un M.A.S. es que el cuerpo realice vibraciones periódicas. Dicho movimiento se llama armónico porque sus ecuaciones cinemáticas se pueden expresar en términos de las funciones armónicas Seno y Coseno.

 ELEMENTOS: -

Elongación: Es la distancia que desde el punto o posición de equilibrio hasta el punto donde se encuentra el cuerpo en un momento determinado. Se denota con x o con y. Amplitud: Es la distancia del punto de equilibrio a uno de los extremos. Es la máxima elongación. Se denota con A. Fase inicial: Es el ángulo inicial de barrido o desfase del movimiento. Se puede denotar con  o con . Fase: La expresión wt   recibe el nombre de fase del movimiento.

De igual manera entre sus elementos están el período, la frecuencia, la velocidad lineal y angular, lo mismo que la aceleración.

 ECUACIONES CINEMÁTICAS: El cuerpo puede vibrar horizontal o verticalmente. Cuando el cuerpo vibra horizontalmente se dice que su proyección es en x y si vibra verticalmente su proyección es en y. De acuerdo a esto las ecuaciones cinemáticas para su posición, velocidad y aceleración son:

X = ACos (wt ± θ) V = − AwSen ( wt ± θ ) 2 a = − Aw Cos (wt ± θ ) Proyección en x

Y = ASen (wt ± θ) V = AwCos ( wt ± θ ) 2 a = − Aw Sen ( wt ± θ ) Proyección en y

Ten en cuenta que w es la velocidad angular en rad/s, t es el tiempo en segundos y  es la fase inicial que para efectos de cálculos se debe expresar en radianes. A parte de las ecuaciones anteriores e independientemente del tipo de vibración que realice el cuerpo, se tienen también las siguientes ecuaciones que tu profesor deducirá en clase y cuya deducción debes tener muy en cuenta:

V = w √ A 2 − e2

amáx = − Aw2

V máx = Aw

a = − w2 e

Donde A es amplitud, w es velocidad angular, e es elongación, a es aceleración, v es velocidad, amáx y vmáx son la aceleración máxima y velocidad máxima respectivamente.

Observaciones bien importantes. 1. 2.

En los extremos del movimiento la aceleración y la elongación son máximas y la velocidad es cero. En el punto o posición de equilibrio la aceleración y la elongación son nulas (cero) y la velocidad es máxima.

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La fuerza neta y la aceleración están dirigidas siempre hacia la posición de equilibrio. El número  lo reemplazas por 180° cuando está como ángulo dentro de una función trigonométrica y se va a realizar la operación, y se reemplaza por 3.14 cuando no está como ángulo. La velocidad angular (W) debe expresarse en grados cuando se vaya a calcular el valor del seno ó del coseno del ángulo.