Integral lipat2

MAKALAH PENERAPAN INTEGRAL LIPAT DUA Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus II yang diampuh oleh: Santi Arum Puspita Lestari, M.Pd dan Yuni Syifau Rohmah, M.Pd

Oleh: Nama

: Muchamad Parevi Ashari

Kelas

: TI20H

NIM

: 20416226201293

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS BUANA PERJUANGAN KARAWANG 2021

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT. atas rahmat, karunia, keesahannya saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini guna memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus II.

Penyusunan makalah ini merupakan salah satu tugas dari dosen mata kuliah Kalkulus II di Universitas Buana Perjuangan Karawang.

Dalam penyusunan makalah ini, saya merasa masih banyak kekurangankekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki, untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat diharapkan demi penyempurna penyusunan makalah ini.

Akhir kata saya berharap semoga Allah SWT. meridhoi atas pembuatan makalah ini, Amin Yaa Robbal ‘Alamiin.

Karawang, 25 Mei 2021

Muchamad Parevi Ashari

i

BAB I PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Integral lipat-dua (double integrals) merupakan bentuk integral biasa/tunggal yang hasil pengintegralan pertama harus diintegralkan kembali. Biasanya dinyatakan sebagai berikut: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Pernyataan diatas disebut dengan integral lipat dua tak tentu (indifinite double integrals) dikarenakan tidak memiliki batas atas dan batas bawah. Sedangkan pada kondisi lainnya, dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑦2 𝑥2

∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦1 𝑥1

Pernyataan diatas disebut dengan integral lipat dua tertentu (difinite double integrals) karena tiap-tiar integralnya mempunyai batas atas (𝑥2 dan 𝑦2 ) dan batas bawah (𝑥1 dan 𝑦1 ). Sifat-sifat integral lipat dua (double integrals) antara lain sebagai berikut: -

Jika 𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝑔(𝑥, 𝑦) masing-masing kontinu dalam daerah R, maka: ∬ 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = 𝑘 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅

𝑅

∬[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)] 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅

-

𝑅

𝑅

Integral lipat-dua adalah aditif pada persegi panjang yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅

𝑅1

𝑅2

1

-

Sifat pembanding berlaku jika 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) untuk semua (𝑥, 𝑦) di R, maka: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 ≤ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅

𝑅

Integral lipat-dua juga memiliki beberapa penerapan. Penerapan yang paling jelas adalah dalam perhitungan volume benda pejal. Namun, bukan hanya dalam perhitungan volume benda pejal sja. Akan tetapi, integral lipat-dua juga memiliki penerapan-penerapan lain khususnya dibidang Fisika yang meliputi massa, pusat massa, momen inersia dan jejari garis.

2

BAB II PEMBAHASAN

1. Penerapan Integral Lipat Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara lain adalah menghitung pusat massa, momen inersia, dan luas permukaan. Tinjaulah sebuah lembaran tipis yang sedemikian tipisnya sehingga kita dapat memandangnya sebagai objek berdimensi dua, kita menyebut lembaran ini lamina. Di sini, kita akan mempelajari lamina-lamina dengan berbagai kerapatan.

Andaikan sebuah lamina menutupi sebuah daerah S pada bidang xy, dan misalkan kerapatan (massa per satuan luas) di (𝑥. 𝑦) disimbolkan dengan 𝛿(𝑥, 𝑦). Daerah S dipartisi menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil 𝑅1 , 𝑅2 , … , 𝑅𝑘 seperti ditunjukkan pada gambar. Ambil sebuah titik (𝑥̅𝑘 , 𝑦̅𝑘 ) pada 𝑅𝑘 .

Maka massa 𝑅𝑘 secara hampiran adalah 𝛿(𝑥̅𝑘 , 𝑦̅𝑘 )𝐴(𝑅𝑘 ), dan massa total lamina tersebut secara hampiran adalah 𝑛

̅𝑘 , 𝑦 ̅ 𝑘 )𝐴(𝑅𝑘 ) 𝑚 ≈ ∑ 𝛿(𝑥 𝑘=1

Massa sebenarnya, m diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas sebagai norma partisi mendekati nol, yang tentu saja merupakan sebuah integral lipat dua

𝑚 = ∬ 𝛿 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑆

Contoh Soal: 3

Sebuah lamina dengan kerapatan 𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 dibatasi oleh sumbu-x, garis x = 8, dan kurva 𝑦 = 2 𝑥 ⁄3 . Carilah massa totalnya. Penyelesaian:

𝑚 = ∬ 𝛿 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑆 8 𝑥 2⁄3

𝑚= ∫ ∫ 0

0 8

𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 2⁄3

𝑥𝑦 2 𝑚= ∫ [ ] 𝑑𝑥 2 0 0 8 1 𝑚 = ∫ 𝑥 7⁄3 𝑑𝑥 2 0 1 3 10⁄3 8 𝑚= [ 𝑥 ] 2 10 0 765 𝑚= 5 𝑚 = 153,6

4

2. Penerapan Integral di Bidang Industri Integral merupakan kebalikan dari turunan atau biasa juga disebut diferensial. Integral sendiri dalam aplikasinya sering digunakan dalam berbagai bidang keilmuan. Selain itu, integral juga di aplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam hal ekonomi dan industri misalnya, integral ini biasa di gunakan untuk mencari fungsi dalam suatu kasus. Misalnya sebagai berikut: •

Investasi dan Pembetukan Modal Proses dari penjumlahan persediaan modal atau stok modal biasa disebut juga sebagai pembentukan modal ini dapat di tentukan dengan menggunakan integral. Dengan menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu, sehingga persediaan modal bisa dinyatakan sebagai fungsi waktu, K(t) dan menggunakan dK/dt untuk menunjukkan tingkat pembentukan modal. Tetapi tingkat pembentukan modal pada waktu t adalah identic dengan tingkat arus net investment pada waktu t, yang ditunjukkan dengan I(t). Jadi persediaan modal K dan net investment I dihubungkan dengan dua persamaan berikut: 𝑑𝐾 𝑑𝑡

= 𝐼(𝑡)

dan 𝑑𝐾 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝐾 𝑑𝑡

𝐾(𝑡) = ∫ 𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫

Selain bidang ekonomi, integral bisanya juga digunakan dalam industri di dalam bidang mekanis atau keteknikan. Misalnya sebagai berikut : •

Luas Daerah Bidang Rata Dalam suatu industri sering dibutuhkan aplikasi integral dalam menentukan luas dari suatu bidang yang rata atau datar. Selain industri dalam bidang keteknikan juga biasanya digunakan seperti untuk mengukur luas tanah bagi arsitek yang akan membangun suatu bangunan. Untuk mengihitung kasus yang seperti ini kita menggunakan denfinisi dari integral tentu dengan persamaan sebagai berikut: 𝑏

𝐴(𝑅) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

5

•

Jarak dan Perpindahan Jarak biasanya salah satu faktor penting yang harus diperhatikan oleh pelaku industri untuk memperhitungkan distribusi produknya sedangkan dalam bidang keteknikan di dalam beberapa aspek atau kasus yang membutuhkan faktor jarak dalam memperhitungkan perubahan fisikanya. Jarak dan perpindahan ini pun juga bisa di selesesaikan dengan aplikasi integral dengan persamaan yang digunakan: 𝑏

∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑠(𝑏) − 𝑠(𝑎) 𝑎

Keterangan:

s(a) = tempat berangka s(b) = tempat akhir

•

Volume Benda Putar Di dalam Industri, produk yang di hasilkan agar memiliki nilai tambah dan bernilai jual dibutuhkan salah satunya kemasan yang menarik. Untuk mengemas sendiri orang desain produk yang membuat desain kemasan membutuhkan hasil dari volume yang dibutuhkan agar ukuran kemasan sesuai dengan yang diinginkan. Adapun untuk menghitung volume benda putar dapan dicari dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: a. Diputar terhadap sumbu x maka, 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦2 𝑑𝑥 𝑎

b. Diputar terhadap sumbu y maka, 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 𝑎

6

BAB III PENUTUP

1. Kesimpulan Integral lipat-dua (double integrals) merupakan bentuk integral biasa/tunggal yang hasil pengintegralan pertama harus diintegralkan kembali. Jika terdapat nilai batas atas dan batas bawah, maka integral tersebut dikatakan sebagai integral lipat-dua tertentu (difinite double integrals).

Integral lipat-dua juga memiliki beberapa penerapan. Penerapan yang paling jelas adalah dalam perhitungan volume benda pejal. Namun, bukan hanya dalam perhitungan volume benda pejal sja. Akan tetapi, integral lipat-dua juga memiliki penerapan-penerapan lain khususnya dibidang Fisika yang meliputi massa, pusat massa, momen inersia dan jejari garis.

2. Saran Agar pembaca lebih mengetahui bagaimana langkah-langkah dalam menyelesaikan integral lipat-dua (double integrals) beserta penerapan-penerapan yang menggunakan prinsip integral lipat-dua tersebut.

7

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, E. J. & D. Vanberg. 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta: Erlangga.

Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

8