calculo integral

Tarea 2 – Aplicaciones de las Integrales

Presentado por: Grupo:100411_ 526

Hilda Fanny Pineda Londoño Christian Arley Cometa Rubén Darío Tamayo Leonel Antonio Ramírez Yuri Solanlly Vargas

Presentado a: Juan Pablo Obando

Universidad nacional abierta y a distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Ingeniería en Telecomunicaciones Calculo integral Medellín, Abril 2021

INTRODUCCION tarea 3 estudia el uso o aplicación de las integrales en el análisis de gráficas, revolución de sólidos, integrales en la aplicación de las ciencias y la aplicación de las mimas en forma generalizada. El estudiante debe aplicar el concepto de integral definida y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, para dar soluciones a situaciones de su actuar profesional.

EJERCICIO 1 Punto a. Calcular el área de la región situada entre las gráficas de f ( x )=x 3 – 2 x 2+ x +1 , y ,

g( x )=−x 2+ 3 x +1. Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. b

A=∫ [ f ( x )−g(x ) ] dx a

encontrar puntos de interseccion x 3 – 2 x 2 + x+ 1=−x 2 +3 x +1 igualo a 0=¿ x3 – 2 x 2+ x +1+ x 2−3 x−1=0 simplificamos=¿ x 3 – x2 −2 x=0 factorizamos=¿ x ( x 2 – x−2 )=0=¿ x ( x−2 )( x +1 )=0 x 1=0=0 y x 2=2 y x3 =−1 2

aplica mos la formula A=∫ |( x 3 – 2 x2 + x +1 )−( −x 2+3 x +1 )|dx −1

0

elimina mos absolutos A=∫ x 3 – 2 x 2 + x +1+ x2 −3 x −1dx −1

2

simplificamos A=∫ x 3+ x 2−2 x dx 0

0

0 3

0 2

aplica mos regla de la suma A=∫ x dx +¿ ∫ x dx −∫ 2 xdx ¿ −1

−1

−1

0

0 3

0 2

sacamoslas contantres A=∫ x dx +¿ ∫ x dx−2 ∫ xdx ¿ −1

x3 +1 integramos 3+1

0

x 2+ 1 + 2+1 −1

−1

0

x 1+1 −2 1+1 −1

−1

0

x4 =¿ 4 −1

0

x3 −3 3 −1

0

x2 −2 2 −1

0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

4 x 4 04 x 4 (−1) 1 1 calcular loslimites lim = =0 y lim = = =¿ 0− 4 4 4 4 x→ 0 4 x→−1 4

3

x3 03 x 3 (−1) −1 −1 calcular loslimites lim = =0 y lim = = =¿ 0− 3 3 3 3 x→ 0 3 x→−1 3

calcular loslimites lim

x→ 0

2 x 2 012 x 2 (−1) 1 2∗1 = =0 y lim = = = =1=¿ 0−1 2 2 2 2 2 x →−1 2

−1 1 −3−4 +12 5 − +1 sumamos = 4 3 12 12 A=

5 12

( )

−1

EJERCICIO 2 Ejercicio a. Calcular el volumen generado al girar la región limitada por

y=

1 , y=0 , x=0 , x=3Alrededor del eje x. Representar en Geogebra las regiones a rotar y √ x+ 1

anexar un pantallazo b

V =∫ R x 2 dx a

3

V =∫ π 0

3

V =∫ 0

1 2 2 −0 dx √ x +1

|( ) |

π dx |x +1| 3

sacamosla constante V =π ∫ 0

3

eliminar absolutos V =π ∫ 0

1 dx |x +1|

1 dx x+1

aplicar integracion por sustitucion u=x+1 d d d ( x+ 1 ) aplicar regla de la suma ( x ) + ( 1 ) dx dx dx derivar=¿1+ 0=0

1

∫ u du cambiar lo limites de laintegral u=x+1 x=0=¿ u=1 y x=3=¿ u=4 4

∫ 1u duintegrar =¿ π [ ln ⁡(u) ]1 4

1

calcular loslimites lim ln ⁡(u)=ln ⁡(1)=0 y lim ln ( u )=ln ⁡(4)=2 ln(2) u→ 1

u→4

π 2 ln (2)

EJERCICIO 3 Ejercicio a. La población de una especie de pollos en una finca crece con una tasa de

1000 e 0.5 t−

459 unidades por año (donde 𝑡 es el número de años). La población inicial de pollos t+ 1

es de 2000 unidades.

459

∫ 1000 e 0.5t − t +1

aplicamos regla de la suma∫ 1000 e0.5t dt−¿∫

459 dt ¿ t+ 1

sacamosla constante=¿ 1000∫ e 0.5 t dt −¿ 459 ∫

1 dt ¿ t +1

aplicamos integracion por sustitucion u=0.5 t 1000∫ e u

1 du=¿ simplificamos=¿ 1000∗2∫ e u du 0.5 integramos=¿2000 eu−∫

459 dt t+ 1

aplicamos integracion por sustitucion u=t+1 1 459 ∫ du u integramos=¿ 459 ln ⁡(t +1) 2000 e 0.5 t−459 ln ( t+1 ) + c

i.

¿Cuánto creció la población de pollos aproximadamente, entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 5?

f ( 0 )=2000 e 0.5∗0−459 ln ( 0+1 ) f ( 0 )=2000∗1−459∗0 f ( 0 )=2000 f ( 5 )=2000 e 0.5∗5−459 ln (5+ 1 )

f ( 5 )=2000∗12.18−459∗1.79 f ( 5 )=24360−821,61 f ( 5 )=23538,4 23538,4−2000=21538.4 la poblacion crecio aproximadamente 21538 pollos ii.

¿Cuál es la población de pollos en la finca después de 𝑡 = 5 años?

despues de 5 años la poblacion es mayor a 23538,4 pollos

EJERCICIO 4 Ejercicio a. Un estudiante de natación deja caer por accidente una camilla rectangular que se encontraba al lado de la piscina donde estaba practicando. La camilla se sumerge hasta el fondo y queda recargada verticalmente en un costado dentro de la piscina. Si la profundidad de la piscina es de 8𝑚, la camilla mide verticalmente 2𝑚 y 0,7𝑚 en su base.

Determine la fuerza ejercida por el agua contra la camilla para mantenerla en la posición mencionada. Tenga en cuenta que la fuerza de un fluido contra un lado de una placa vertical plana es: b

F=γ ∫ yL ( y ) dy Donde 𝛾 es el peso específico del líquido (para el agua es 9,8 kN /m3 ), 𝑦 la a

profundidad bajo el líquido de una franja de altura dy y L( y) es la función de la longitud de la franja a la altura 𝑦 (ancho de la camilla). 8

F=9,8 ∫ y∗( 2 y 2 +0.7 y 2 ) dy 6

8

simplificamos=¿ F=9,8∫ y∗( 2.7 y 2) dy 6

8

8 3

¿> F=9,8∫ 2.7 y dy=¿ 9.8∗2.7 ∫ y 3 dy 6

6

8

[ | |]

y 3 +1 48 integramos 26.46 =26.46|0.25 y |6 3+1 6 calcular limites lim 0.25 y 4 =0.25 ¿ 64 =324 y y→ 6

lim 0.25 y 4=0.258 4= y →8

4096 =1024 4

26.46 ( 1024−324 ) =18522

Ejercicio de sustentación

Ejercicio 2: Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por la curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 y las rectas 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝜋, al girar en torno al eje 𝑥. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar el sólido resultante.

π

V =∫ πsen 2( x ) dx 0

π

sacamosla constante V =π ∫ sen2 (x )dx 0

π

reescribi mos usando identidades trigonometricasV =π ∫ 0

1−2 cos (x) dx 2

π

1 sacamosla constante V = π ∫ 1−2 cos (x) dx 2 0 1 aplica mos regla de la suma V = π 2

π

(∫ 0

π

1 dx−∫ 1−2 cos (x) dx 0

)

aplica mos integracion por sustitucion u=2 x d d ( 2 x ) sacamos la constante 2 (x) dx dx deriva mos=¿ 2∗1=2

∫ cos

u∗1 du 2

cambiar lo limites de la integral u=2 x x=0=¿u=0 y x=π=¿ u=2 π 2π

2π

1 du sacar la cosntante ∫ cos u du ∫ cos u∗1 2 20 0 ntegrar=¿

2π 1 [ sen ⁡(u) ] 0 2

calcula mos loslimites lim sen ⁡(u)=sen(0)=0 y lim sen ( u )=sen (2 π )=0 u→0

1 0−0=0=¿ ∗0=0 2 1 π2 π ( π−0)=¿ 2 2 V=

π2 2

u →2 π