Calculo Integral_Tarea 1_ Grupo 100411_354

Tarea 1 – El Concepto de Integral

Presentado Por: Leivy Janneth Tabares Ferreira Código 1.108.833.417 Ricardo Guzmán Código 1018429294 Leidy Johanna Lara Katerin Nino

Calculo Integral Grupo 100411_354

Tutor Elkin Barreiro

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables, Económicas y de Negocios – ECACEN Administración de Empresas 2021

Introducción El presente trabajo consta de una serie de ejercicios relacionados con integrales inmediatas, sumas de Riemann, teorema de integración e integrales definidas, dichos ejercicios se desarrollaron de acuerdo a las indicaciones de la guía de actividades, además de los ejercicios este trabajo contiene enlaces de videos en los cuales se sustentaron diferentes ejercicios desarrollados previamente por cada estudiante

DESARROLLO DE EJERCICIOS Actividades a desarrollar A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad. TIPO DE EJERCICIOS 1 - INTEGRALES INMEDIATAS Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. Recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe su respuesta derivando el resultado.

Ejercicio a: Leivy Tabares Ferreira x 2−4 ∫ x−2 dx Factorización de la expresión ( x 2−4 ) dividido en x-2 (x−2)(x +2) (x−2) Se reduce o simplifica: (x−2)(x +2) (x−2) Quedando: x+2 Por lo tanto, tenemos la integral

∫ x +2dx

∫ xdx +∫ 2 dx Usando:∫ xdx=

x2 2

x2 +∫ 2 dx 2 x2 +2x+C 2 Ahora derivamos para comprobar: ⅆ x2 +2 × ⅆx 2

[

]

1 d 2 d = * [ x ]+2* [x] 2 dx dx 2x +2*1 2 =x+2 Integramos:

∫ ( x +2 ) dx =∫ xdx +2∫ 1 dx

∫ xdx Se aplica la regla de la potencia: n+1

x , con n=1 ∫ x ndx= n+1 =

x2 2

Resolviendo ahora:

∫ 1 dx Se aplica la regla de la constante =x Se reemplazan las integrales resueltas: =∫ xdx +2∫ 1 dx x2 = +2x 2 Le agregamos la constante:

=

x2 +2x+C 2

Ejercicio b. Leidy Johanna Lara  ∫

( 3x +3 senx ) dx

∫

3 dx + ∫ 3 sen x dx x

3∫

1 dx+ 3 ∫ sen x dx=ln x−3 cosx + c x

Prueba d =ln x−3 cosx dx 1 3 ⋅ ⋅ x +3 senx x 3 +3 senx x

Ejercicio c: Ricardo Guzman

∫

(

2

3 x 2 +6 √ x5 dx 2 x√x

)

Respuesta Primero que todo para iniciar el desarrollo de este ejercicio se saca la constante apoyándome con la ecuación ∫ a∙ f ( x ) dx=a ∙∫ f ( x ) dx donde me da:

2

1 3 x 2+6 √ x 5 ∙∫ dx 2 x√x 5

Ahora despejo la raíz √ x 5=x 2 asumiendo que x ≥ 0 , entonces tendría como respuesta: 5 2

2

1 3 x +6 x ∙ dx 2 ∫ x√x 2

5 2

Luego expando 3 x +6 x =3 √ x +6 x , dándome como resultado combinando lo anterior con x √x esta: 1 ∙ 3 √ x+ 6 xdx 2 ∫ Ahora aplico la regla de la suma que consta de ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx , quedando: igualmente se resuelve los paréntesis donde queda: 1 ( 3 √ x dx +∫ 6 xdx ) 2∫ 3

(

3 2

1 2 x +3 x 2 2

3 x2

2 x2

)

Continuamos con la simplificación

(

3

)

3

1 3 2 x 2 +3 x 2 =x 2 + x2 2 2 Por último, se agrega una constante a la solución si 3

dF ( x ) =f ( x ) dx=F ( x ) +C dx

3 Respuesta: x 2 + x2 +C 2

Ejercicio d

3 x Ejercicio e: katerin Nino ∫ (2 sen x ¿−4 x +5 e ) dx ¿

∫ (2 sen x ¿−4 x3 +5 e x ) dx ¿

(Aplicamos la regla de la suma

(∫ f ( x ) ±∫ g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx)

∫ 2 sen( x)dx−∫ 4 x 3 dx+∫ 5 e x dx 2 ×∫ sen(x) dx−∫ 4 x 3 dx+∫ 5 e x dx 2(−cos ( x))−∫ 4 x 3 dx+∫ 5 e x dx −2 cos(x )−∫ 4 x 3 dx +∫ 5 e x dx

(Después sacamos la constante ¿

(Aplicamos la regla de integración

∫ Sen ( x ) dx=¿−cos ⁡(x )¿

(Resolvemos y simplificamos)

(Después sacamos la constante ¿

−2 cos(x )−4 ×∫ x 3 dx+∫ 5 e x dx

a

∫ x dx=

(Aplicamos la regla de la potencia (

x a+1 ,mientras a≠−1 ¿¿ a+1

−2 cos(x )−4 ×

−2 cos ( x )−

x 3+1 x +∫ 5 e dx 3+1

x4 × 4 x +∫ 5 e dx 4

−2 cos ( x )−x 4 +∫ 5 e x dx

(Multiplicamos fraccionesa ×

b a×b = ) c c

(Eliminamos los términos comunes (4))

(Después sacamos la constante ¿

−2 cos ( x )−x 4 +5 ×∫ e x dx

(Aplicamos la regla de integración

−2 cos ( x )−x 4 +5 e x

∫ e x dx=¿ e x ¿

(Agregáramos una constante a la solución)

−2 cos ( x )−x 4 +5 e x +C comprobación del resultado: −2 cos ( x )−x 4 +5 e x +C

−2 cos ( x )−x 4 +5 e x +C

(aplicamos la regla de la suma/diferencia ( ( f ± g ) ¿¿ '=f

−d d d d (2cos ( x ) )− ( x ¿¿ 4)+ (5 e x )+ (C)¿ dx dx dx dx

'

' ± g' )¿

(sacamos la constante (( a∗f ) =a∗f

' ¿)

−2∗d d d d (cos ( x ) )− (x ¿¿ 4 )+ (5 e x )+ (C)¿ dx dx dx dx

(

d ( cos ( x ) ) =−sen ( x)) dx

−2∗(−sen ( x ))−

2 sen ( x )−

(

(aplicamos la regla de derivación

d d d (x¿ ¿ 4)+ (5 e x )+ (C) ¿ dx dx dx

d d d ( x¿¿ 4)+ (5 e x )+ (C) ¿ dx dx dx

(Hacemos la operación sin olvidar la ley de signos)

(Aplicamos la regla de la potencia

d a ( x )=a∗x a −1 ) dx

2 sen ( x )−4∗x 4−1 +

d d (5 e x )+ (C) dx dx

2 sen ( x )−4 x 3+

d d (5 e x )+ (C) ¿ dx dx

2 sen ( x )−4 x 3+

5∗d x d (e )+ (C) ¿ dx dx

2 sen ( x )−4 x 3+ 5∗( e x ) +

2 sen ( x )−4 x 3+ 5 e x +

d (C ) dx

2 sen ( x )−4 x 3+ 5 e x + 0 2 sen ( x )−4 x 3+ 5 e x

d (C) dx

(Realizamos la operación)

(sacamos la constante (( a∗f

)' =a∗f ' ¿)

(aplicamos la regla de derivación ¿)

(Realizamos la operación)

(Aplicamos la regla de derivación ( Si f ( x ) =C entonces f

'

( x ) =0)

(Eliminamos el cero ya que el cero en las suma y restas no tiene valor)

TIPO DE EJERCICIOS 2 – SUMAS DE RIEMANN Ejercicio a. 

Aproxime la integral definida ∫ ( 𝑥 2 2 + 𝑙𝑛𝑥) 4 2 𝑑𝑥, mediante la suma de Riemann del punto derecho, con n=5.



Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=5, n=14 y compara con el resultado de la integral definida.



Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. • ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

4

∫ ¿ ¿+lnx)dx 2

Fijamos los valores de los limites: a=2, b=4, n=5 Hallamos: Δx Δx=

b−a n

Δx=

4−2 5

Δx=

2 5

Δx=0.4 Luego de calcular el valor de Δx, es decir la base de los triángulos, hallamos la altura X1=2+0.4=2.04 X2=2.04+0.4=2.8 X3=2.8+0.4=3.2 X4=3.2+0.4=3.6

X5=3.6+0.4=4.0 Reemplazamos x2 f(2,4)= +lnx 2 f (2,4)=

(2,4)2 +ln(2,4) 2

f(2,4)=

5.76 +0.87 2

f(2,4)=288+0.87 f(2,4)=3.75 f(2,8)=

x2 +lnx 2

f (2,8)=

(2,8)2 +ln(2,8) 2

f(2,8)=

7.84 +1.02 2

f(2,8)=3.92+1.02 f(2,8)=4.94 f(3,2)=

x2 +lnx 2

(3,2)2 f (3,2)= +ln(3,2) 2 10,24 +1,16 2

f(3,2)=

f(3,2)=5,12+1,16 f(3,2)=6,28 f(3.6)=

x2 +lnx 2

f (3.6)=

(3.6)2 +ln(3.6) 2

f(3.6)=

12.96 +1.3 2

f(3.6)=6.48+1.3 f(3.6)=7.78 x2 f(4)= +lnx 2 f (4)=

(4)2 +ln(4) 2

f(4)=

16 +1.4 2

f(4)=8+1.4 f(4)=9.4 5

∑ f ( xi )∗¿ ¿ Δx i=1

[ 3.75+4.94 +6.28+7.78+9.4 ] *0.4 [ 32.15 ] *0.4=12,86 Integral definida 4

∫ ¿ ¿+lnx) dx 2

Se aplica linearidad 1 2 = ∫ x dx +∫ ln ⁡( x) dx 2 Resolviendo ahora: ∫ln(x)dx =x ln(x)-x Resolviendo ahora ∫ x 2dx Se aplica la regla de la potencia: n+1

x , con n=2 ∫ x ndx= n+1

=

x3 3

Se Reemplaza las integrales ya resueltas:

=

1 x 2 dx +∫ ln ⁡( x) dx ∫ 2

=

x3 -x +xln(x) 6

= xln(x)+

x3 -x+c 6

=

12 ln (4)−6 ln(2)+22 3

¿

18 ln (2)+ 22 3

=11.49

Para n=5

Para n=14

Al comparar con el resultado de la integral definida vemos que se ajusta más para n=14 CIPAS TAREA 1 EJERCICIO 2 https://drive.google.com/file/d/1SeH-sEmTOj6PLkpBuNToUMrYo-2u_-J2/view? usp=sharing Ejercicio b. 5



Aproxime la integral definida ∫ 2

  

(

√x

x2 +2 ⅆ x , mediante la suma de Riemann del 4

)

punto izquierdo, con n=6. Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=6, n=14 y compara con el resultado de la integral definida. Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

Solución: 5



Aproxime la integral definida ∫ 2

punto izquierdo, con n=6. IZQUIERDA 5

2

∫ √ x+ x4 +2 2

(

) ⅆx

n=6 a=2 b=5 ahora el ancho del rectángulo:

(

x2 √ x+ +2 ⅆ x , mediante la suma de Riemann del 4

)

Δx=

b−a 5−2 3 1 = = = =0.5 n 6 6 2

Tomamos la primera: x 0=a=2 f ( 2 ) =√2+

( 22 ) 4

+2=4.41

La segunda: x 1=2+0.5=2,5 f ( 2.5 )=√ 2.5+

(2.52 ) +2=5.14 4

La tercera: x 2=2.5+0.5=3 f ( 3 )=√ 3+

(32 ) +2=5.98 4

La cuarta: x 3=3+0,5=3,5 (3.52) f ( 3.5 )=√ 3.5+ +2=6,93 4 La quinta: x 4 =3.5+0,5=4 f ( 4 ) =√ 4+

( 4 2) + 2=8 4

Y la sexta: x 5=4+0,5=4,5 f ( 4.5 )= √ 4.5+

(4.52 ) +2=9,18 4

Retomamos la fórmula para el área: A=∑ f ( x)∆ x A=( 4,41+5,14+5,98+ 6,93+8+9,18 )∗0,5

A=( 39,64 )∗0,5 A=19,82 Grafica en geogebra:



Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=6, n=14 y compara con el resultado de la integral definida.

Para n=6, el área es 19,82 y para n=14, el área es 20,67

 

Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

Podemos concluir que entre mas rectángulos hallemos más exacto será el resultado del espacio que estamos calculando

Ejercicio C Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann: 4



2 Aproxime la integral definida ∫ ( x −3 x +2 ) dx , mediante la suma de Riemann del 2

punto derecho, con n=6. 4

∫ ( x 2−3 x +2 ) dx 2

Respuesta Primero que todo para iniciar el desarrollo de este ejercicio usare las esquinas superiores b

derechas del subintervalo ∫ f ( x ) dx ≈ ∆ x ( f ( x 1 ) +f ( x 2 ) +⋯+ f ( x n ) ), donde ∆ x= a

conociendo que a=2, b=4 y n=6 Se aplica la fórmula de Riemann ∆ x=

4−2 1 = 6 3

Ahora dividimos 2 ≤ x ≤ 4 en n=6 con subintervalos de longitud ∆ x= 7 8 10 11 x 0=2 , x1 = , x2 = , x3 =3 , x 4 = , x5 = , x6 =4 3 3 3 3 ∆ x=

1 f ( x ) + f ( x 2 ) + f ( x3 ) + f ( x 4 ) + f ( x5 ) + f ( x 6 ) ) 3( 1

Voy a empezar a calcular cada uno de los subintervalos f ( x 1 ) =f

7 7 2 7 = −3 ∙ +2 3 3 3

()()

7 2 7 4 −3∙ + 2= 3 3 9

()

1 3

b−α , n

7 2 7 −3∙ + 2 3 3

() ( 73 )

2

Se aplica las leyes de los exponentes ¿

a c ac = c b b

()

72 32

3∙

7 3

b a∙ b Se multiplica las fracciones a ∙ = c c ¿

7∙ 3 3

Ahora se elimina los términos comunes: 3 ¿7 Respuesta 7 3 ∙ =7 3 ¿

72 −7+2 32

Se continua con sumar/restar lo siguiente: -7+2=-5 ¿

72 −5 32

Voy a resolver las fracciones 72 32 72 =49 32=9

72 49 = 32 9 ¿

49 −5 9

Convertimos ahora en fracción: 5= ¿−

5∙9 9

5 ∙ 9 49 + 9 9

Como los denominadores son iguales, se combina las fracciones ¿

−5∙ 9+ 49 4 = 9 9

Para sintetizar la actividad se realiza con todos los subintervalos has el f ( x 6 ), realizando la misma forma uno por uno esto nos da: f ( x1 )=

4 9

f ( x2)=

10 9

f ( x 3 ) =2 f ( x 4 )=

28 9

f ( x5 )=

40 9

f ( x 6 ) =6 Por ultimo tomamos todos los valores ¿

1 4 10 28 40 + +2+ + +6 =5.70370 3 9 9 9 9

(

)

Voy a continuar comprobando mediante la integral 4

∫ ( x 2−3 x +2 ) dx 2

Se aplica la regla de la potencia 4

4

x 2+1 14 ∫ ( x −3 x +2 ) dx= 2+1 = 3 =4.666 2 2 2

[ ]

Nota: Profesor resumí la respuesta si solicita realizo también la integral paso a paso para mostrarle de donde salió el 4.6666 

Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=6, n=12 y compara con el resultado de la integral definida.

n=6

n=12



¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

Se puede concluir que en el mismo espacio de área inferior 2 y superior 4 se puede reducen los rectángulos del área cuando se pasa de n=6 n=12, pero incrementan los rectángulos en el mismo espacio. Ejercicio d Ejercicio e.

1

 Aproxime la integral definida ∫ −1

1 dx mediante la suma de Riemann del 1+ x 2

Riemann del punto izquierdo, con n=8. Paso 1: Escribimos la función en sumatoria para poder calcular la aproximación del área n

(Remplazamos el

A ≈ ∑ f ( xi ) ∆ x i=1

valor de n) 8

A ≈ ∑ f ( xi ) ∆ x i=1

Paso 2: Hallamos el ∆ x con la siguiente formula ∆ x= ∆ x=

b−a n

b−a n

(Remplazamos el

valor de a, b y n) ∆ x=

1−(−1) 2 = =0,25 8 8

Paso 3: Verificamos si es punto izquierdo o derecho, para poder saber por dónde empezar Punto izquierdo = a Punto derecho=a+ ∆ x Paso 4: Hallamos los x con la siguiente formula x=a+ i∆ x x 0=−1 x 1=−1+1 ( 0,25 )=−0,75 x 2=−1+2 ( 0,25 )=−0,5 x 3=−1+3 ( 0,25 ) =−0,25

x 4 =−1+ 4 ( 0,25 )=0 x 5=−1+5 ( 0,25 ) =0,25 x 6=−1+6 ( 0,25 )=0,5 x 7=−1+7 ( 0,25 )=0,75 Paso 5: Hallamos los f ( x i ) f ( x )=

1 1+ x 2

f (−1 ) =

1 =0,5 2 1+(−1)

f (−0,75 )=

f (−0,5 )=

1 =0,64 1+(−0,75)2

1 =0,8 2 1+(−0,5)

f (−0,25 )=

f ( 0 )=

(Remplazamos el valor de x)

1 =0,94 1+(−0,25)2

1 =1 2 1+(0)

f ( 0,25 )=

f ( 0,5 )=

1 =0,94 1+(0,25)2

1 =0,8 2 1+(0,5)

f ( 0,75 )=

1 =0,64 1+(0,75)2

f ( x i ) =0,5+0,64+ 0,8+0,94+ 1+ 0,94+0,8+ 0,64=6,26

(Sumamos los resulta

Paso 6 Hallamos la aproximación del área usan la ecuación del paso 1 1

1

−1

−1

∫ 1+1x 2 dx ≈ ∑ f ( x i)×∆ x

(Sacamos la constante)

1

1

∫ 1+1x 2 dx ≈ ∆ x × ∑ f ( x i) −1 −1

(remplazamos los valores y resolvemos la operación)

1

∫ 1+1x 2 dx ≈ 0,25 ×6,26 ≈ 1,565 u2 −1

 Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=8, n=18 y compara con el resultado de la integral definida.  Adjuntar las graficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.

 ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

 Al aumentar el numero de particiones o de rectángulos podemos darnos cuenta que entre mas particiones o rectángulos es mayor la exactitud del área, esto se debe a que al haber mayor número de rectángulos, los rectángulos son menos anchos y así se pueden adaptar mejor a la grafica de la función.

TIPO DE EJERCICIOS 3 – TEOREMAS DE INTEGRACIÓN. Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G'(x) de las siguientes funciones. Aplicar el siguiente Teorema de integración en cada ejercicio:

Ejercicio a. 3 x +2

∫ x

1 dx t +1 2

d f´(x)= dx f´(x)=

u (x)

[∫ ]

f (t ) dt =f(u)*

v (x)

du dv -f(v)* dx dx

d d [ f ( x) ]= ¿ dx dx

f´(x)=f(3x+2)*

d [ 3 x +2 ] -f(x)* d [ x ] dx dx

f´(x)= ¿1¿ *(3)- ¿1¿ *1 f´(x)=

1 1 *(3)- 2 *1 9 x +12 x+ 4 x +1

f´(x)=

3 1 - 2 9 x +12 x+ 4 x +1

2

2

3 ( x 2+1 ) −1(9 x 2+ 12 x +4 ) f´(x)= (9 x ¿¿ 2+12 x +4 )∗(x2 +1)¿ 3 x 2 +3−9 x 2−12 x−4 f´(x)= 4 9 x +12 x 3 +4 x2 +9 x 2 +12 x +4

f´(x)=

−6 x 2−12 x−1 9 x 4 +12 x 3 +13 x2 +12 x+ 4

Ejercicio b

3 x+6

F (x)=

∫

x−2

a=

x −2 ¿¿

b=

t t +1

t ⅆt t +1 2

2

3 x +6 ¿¿

Teorema fundamental del calculo

3 x−6 x−2 f ( x )= .3 − .1 2 x (x−2 x−4 ) 9 x −36 x+ 35

[(

)][

❑

]

Ejercicio C d dx

b (x )

(∫ )

f ( t ) dx =f ( b ( x ) ) ∙ ( b ' ( x ) )−f ( a ( x )) ∙ ( a ' ( x ) )

a (x )

Ejercicio c 3

x −2 x

F(x)

∫ cosx

2

2 t−3 dx t+1

Respuesta

Primero que todo para iniciar resolviendo la función en el cual colocare a t como x para que sea más fácil resolver el ejercicio así: 3

2

x −2 x

∫ cosx

2 x−3 dx=2 x 3−4 x 2−2 cos ( x )−5 ln |x 3−2 x2 +1|+5 ln|cos ( x )+1| x +1

Ahora continuó con la expansión a esta fracción 2 x−3 x+1 Se aplica las propiedades de fracción:

a ±b a b = ± donde queda c b c

2 x−3 2 x 3 = − x+1 x +1 x +1 Ahora se aplica la regla de la suma 3

2

x −2 x

∫ cos ( x )

2x dx x+ 1

Se saca la constante 3

2

x −2 x

¿2∙

∫ cos ( x )

2x dx x +1

Se aplica la integración por sustitución: u=x+1 Se sustituye u=x+1 d ( x+ 1 ) dx Aplico la regla de la suma/diferencia me da ¿

d d du ( x )+ ( 1 )= =1 dx dx dx

d ( x )=1 dx d ( 1 )=0 dx Se hace la operación de los dos resultados de x y de 1 quedando =1+0 donde se simplifica y queda 1. De aquí en adelante hare el paso a paso para que sea más entendible para el lector: ⇒ du=1 dx

⇒ dx =1 dx x ¿ ∫ ∙ 1 du u x ¿ ∫ du u x +1=u Se resta 1 en ambos lados x +1−1=u−1 Simplificar x=u−1 u=x+1 ⇒ x=u−1 u−1 du u

¿∫

Ahora cambiar los límites de la integral u=x+1 Sustituir x=cos(x) =cos(x)+1 x=cos ( x ) ⇒ u=cos ( x )+1 U=x+1 Ahora sustituyo ¿ x 3−2 x2 +1 x=x 3−2 x 2 ⇒ u=x 3−2 x2 +1 3

2

x −2 x + 1

u ―1 du u

∫

¿

cos ( x ) +1 3

2

x −2 x +1

¿2∙

∫ cos ( x ) +1

u―1 du u

u― 1 u Aplicar las propiedades de la fracción: u−1 u 1 = − u u u

u 1 ¿ − u u a Se aplica la regla de =1 a u =1 u 1 u

¿ 1−

Seguimos con el otro dato 3

2

x −2 x +1

¿2∙

∫ cos ( x ) +1

1 1− du u

Aplicamos la regla de la suma ¿2

(

x3 −2 x2 +1

x3 −2 x2 +1

1 du−

∫ cos ( x ) +1

∫ cos ( x ) +1

1 du u

)

Resolveré paso a paso la primera integral y luego la otra 3

2

x −2 x +1

1du

∫ cos ( x ) +1

Integral de una constante 3

2

x −2 x +1

¿ [ 1∙ u ] cos ( x )+1

Se simplifica 3

2

x −2 x +1

¿ [ u ] cos (x )+1

Calcular los límites: x 3−2 x 2−cos ( x ) lim → x 3 ― 2 x 2 +1−( u ) u

Sustituir variables ¿ x 3 ― 2 x 2 +1 ¿ x 3 ― 2 x 2 +1 ― ( cos ( x ) +1 ) Simplificar ¿ x 3 2 x 2+1 ― cos ( x ) ¿ x 3 ― 2 x 2 +1 ― cos ( x )

lim → x 3−2 x 2+1−( u )=x 3 2 x 2 +1 u

Continuo con la otra variable 3

2

x −2 x +1

∫ cos ( x ) +1

1 du u

Se aplica la regla de integración 3

2

x −2 x +1

¿ [ ln |u|] cos( x )+1 3

2

x −2 x +1

∫ cos ( x ) +1

1 du=ln |x 3−2 x 2 +1| ― ln|cos ( x )+1| u

Ahora se calcula los limites n|x 3−2 x 2+1|−ln|cos ( x ) +1| lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|) u

Sustituir la variable ¿ ln|( cos ( x ) +1 )| Se simplifica ¿ ln|cos ( x ) +1| lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|)=ln|cos ( x )+ 1| u

Otra variable lim → x 3−2 x 2+1−( ln |u|) u

Sustituir variables ¿ ln |( x 3−2 x 2+ 1 )| Simplificar ¿ ln|x 3−2 x 2+1| ¿ ln|x 3−2 x 2+1|−ln|cos ( x ) +1| ¿ 2 ( x 3−2 x 2−cos ( x )−( ln |x 3−2 x2 +1|−ln |cos ( x ) +1|) )

Simplificar ¿ 2 ( x 3−2 x2 −cos ( x )−n|x 3−2 x 2+1|+ ln |cos ( x ) +1|) lim → x 3−2 x 2+1−( ln |u|)=ln|x 3−2 x 2+ 1| u

3

2

x −2 x

3 dx x+ 1

∫ cos ( x )

Sacar la constante 3

x −2 x

¿3∙

2

∫ cos( x )

1 dx x +1

Aplicación integración por sustitución 3

2

x −2 x +1

¿3∙

∫ cos( x ) +1

1 du u

Aplica la regla de integración 3

2

x −2 x +1

¿ 3 [ ln |u|]cos ( x ) +1

Ahora se calculan los limites ln |x 3−2 x 2+ 1|−ln|cos ( x )+1| lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|) u

Sustituir la variable ¿ ln|( cos ( x ) +1 )| Simplificar ¿ ln|( cos ( x ) +1 )| lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|)=ln|cos ( x )+ 1| u

¿ lim → ln |x 3−2 x 2+ 1|−ln|cos ( x )+1| u

¿ 3 ( ln|x 3−2 x 2 +1|−ln|cos ( x )+ 1|) ¿ 2 ( x 3−2 x2 −cos ( x )−ln|x 3−2 x 2+ 1|+ln |cos ( x ) +1|) −3 ( ln|x 3 −2 x 2 +1|−ln|cos ( x )+ 1|)

lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|)=ln|cos ( x )+ 1| u

Simplificar: 2 ( x 3−2 x 2−cos ( x )−ln|x 3−2 x 2 +1|+ln|cos ( x ) +1|) ― 3 ( ln |x 3−2 x 2+1|−ln|cos ( x ) +1|) ¿ 2 x3 −4 x 2−2 cos ( x ) ― 5 ln |x 3−2 x2 +1|+5 ln|cos ( x )+1| 5 ( 3 x2 −4 x ) 5 sin ( x ) d 3 2 3 2 2 | | ¿ ( 2 x −4 x −5 ln x −2 x +1 +5 ln |cos ( x ) +1|) =6 x −8 x−(−2sin ( x ) )− 3 − dx x −2 x 2+ 1 cos ( x )+ 1 ¿ 6 x 2−8 x−(−2 sin ( x ) )−

5 ( 3 x 2−4 x ) 5 sin ( x ) − x 3−2 x 2+ 1 cos ( x )+ 1

Simplificar: 6 x 2−8 x−(−2 sin ( x ) )−

5 ( 3 x2 −4 x ) 5 sin ( x ) 6 x 5 cos ( x )+ 6 x5 −20 x 4 cos ( x ) −20 x 4−3 x 3 sin ( x ) +16 x3 cos ( x ) − : x 3−2 x 2+ 1 cos ( x )+ 1

Respuesta d dx

x 3−2 x 2

6 x 5 cos ( x ) +6 x 5−20 x 4 cos ( x )−20 x 4−3 x 3 sin ( x ) +16 x 3 cos ( x )+16 x 3 +2 x3 sin ( x ) cos ( x )−9 2x dx = x +1 ( x−1 ) ( cos ( x ) +1 ) ( x 2−

(∫

)

cos ( x )

Ejercicio C d dx

b (x )

(∫ )

f ( t ) dx =f ( b ( x ) ) ∙ ( b ' ( x ) )−f ( a ( x )) ∙ ( a ' ( x ) )

a (x )

Ejercicio c 3

x −2 x

F(x)

∫ cosx

2

2 t−3 dx t+1

Respuesta Primero que todo para iniciar resolviendo la función en el cual colocare a t como x para que sea más fácil resolver el ejercicio así:

3

2

x −2 x

∫ cosx

2 x−3 dx=2 x 3−4 x 2−2 cos ( x )−5 ln |x 3−2 x2 +1|+5 ln|cos ( x )+1| x +1

Ahora continuó con la expansión a esta fracción 2 x−3 x+1 Se aplica las propiedades de fracción:

a ±b a b = ± donde queda c b c

2 x−3 2 x 3 = − x+1 x +1 x +1 Ahora se aplica la regla de la suma 3

2

x −2 x

∫ cos ( x )

2x dx x+ 1

Se saca la constante 3

2

x −2 x

¿2∙

∫ cos ( x )

2x dx x +1

Se aplica la integración por sustitución: u=x+1 Se sustituye u=x+1 d ( x+ 1 ) dx Aplico la regla de la suma/diferencia me da ¿

d d du ( x )+ ( 1 )= =1 dx dx dx

d ( x )=1 dx d ( 1 )=0 dx Se hace la operación de los dos resultados de x y de 1 quedando =1+0 donde se simplifica y queda 1. De aquí en adelante hare el paso a paso para que sea más entendible para el lector: ⇒ du=1 dx ⇒ dx =1 dx

x ¿ ∫ ∙ 1 du u x ¿ ∫ du u x +1=u Se resta 1 en ambos lados x +1−1=u−1 Simplificar x=u−1 u=x+1 ⇒ x=u−1 u−1 du u

¿∫

Ahora cambiar los límites de la integral u=x+1 Sustituir x=cos(x) =cos(x)+1 x=cos ( x ) ⇒ u=cos ( x )+1 U=x+1 Ahora sustituyo ¿ x 3−2 x2 +1 x=x 3−2 x 2 ⇒ u=x 3−2 x2 +1 3

2

x −2 x + 1

u ―1 du u

∫

¿

cos ( x ) +1 3

2

x −2 x +1

¿2∙

∫ cos ( x ) +1

u―1 du u

u― 1 u Aplicar las propiedades de la fracción: u−1 u 1 = − u u u u 1 ¿ − u u

a Se aplica la regla de =1 a u =1 u 1 u

¿ 1−

Seguimos con el otro dato 3

2

x −2 x +1

¿2∙

∫ cos ( x ) +1

1 1− du u

Aplicamos la regla de la suma ¿2

(

x3 −2 x2 +1

x3 −2 x2 +1

1 du−

∫ cos ( x ) +1

∫ cos ( x ) +1

1 du u

)

Resolveré paso a paso la primera integral y luego la otra 3

2

x −2 x +1

1du

∫ cos ( x ) +1

Integral de una constante 3

2

x −2 x +1

¿ [ 1∙ u ] cos ( x )+1

Se simplifica 3

2

x −2 x +1

¿ [ u ] cos (x )+1

Calcular los límites: x 3−2 x 2−cos ( x ) lim → x 3 ― 2 x 2 +1−( u ) u

Sustituir variables ¿ x 3 ― 2 x 2 +1 ¿ x 3 ― 2 x 2 +1 ― ( cos ( x ) +1 ) Simplificar ¿ x 3 2 x 2+1 ― cos ( x ) ¿ x 3 ― 2 x 2 +1 ― cos ( x )

lim → x 3−2 x 2+1−( u )=x 3 2 x 2 +1 u

Continuo con la otra variable 3

2

x −2 x +1

∫ cos ( x ) +1

1 du u

Se aplica la regla de integración 3

2

x −2 x +1

¿ [ ln |u|] cos( x )+1 3

2

x −2 x +1

∫ cos ( x ) +1

1 du=ln |x 3−2 x 2 +1| ― ln|cos ( x )+1| u

Ahora se calcula los limites n|x 3−2 x 2+1|−ln|cos ( x ) +1| lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|) u

Sustituir la variable ¿ ln |( cos ( x ) +1 )| Se simplifica ¿ ln|cos ( x ) +1| lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|)=ln|cos ( x )+ 1| u

Otra variable lim → x 3−2 x 2+1−( ln |u|) u

Sustituir variables ¿ ln |( x 3−2 x 2+ 1 )| Simplificar ¿ ln|x 3−2 x 2+1| ¿ ln|x 3−2 x 2+1|−ln|cos ( x ) +1| ¿ 2 ( x 3−2 x 2−cos ( x )−( ln |x 3−2 x2 +1|−ln |cos ( x ) +1|) ) Simplificar ¿ 2 ( x 3−2 x2 −cos ( x )−n|x 3−2 x 2+1|+ ln |cos ( x ) +1|)

lim → x 3−2 x 2+1−( ln |u|)=ln|x 3−2 x 2+ 1| u

3

2

x −2 x

3 dx x+ 1

∫ cos ( x )

Sacar la constante 3

x −2 x

¿3∙

2

∫ cos( x )

1 dx x +1

Aplicación integración por sustitución 3

2

x −2 x +1

¿3∙

∫ cos( x ) +1

1 du u

Aplica la regla de integración 3

2

x −2 x +1

¿ 3 [ ln |u|]cos ( x ) +1

Ahora se calculan los limites ln |x 3−2 x 2+ 1|−ln|cos ( x )+1| lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|) u

Sustituir la variable ¿ ln |( cos ( x ) +1 )| Simplificar ¿ ln |( cos ( x ) +1 )| lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|)=ln|cos ( x )+ 1| u

¿ lim → ln |x 3−2 x 2+ 1|−ln|cos ( x )+1| u

¿ 3 ( ln|x 3−2 x 2 +1|−ln|cos ( x )+ 1|) ¿ 2 ( x 3−2 x2 −cos ( x )−ln|x 3−2 x 2+ 1|+ln |cos ( x ) +1|) −3 ( ln|x 3 −2 x 2 +1|−ln|cos ( x )+ 1|) lim →cos ( x ) +1+ ( ln|u|)=ln|cos ( x )+ 1| u

Simplificar: 2 ( x 3−2 x 2−cos ( x )−ln|x 3−2 x 2 +1|+ln|cos ( x ) +1|) ― 3 ( ln |x 3−2 x 2+1|−ln|cos ( x ) +1|) ¿ 2 x3 −4 x 2−2 cos ( x ) ― 5 ln |x 3−2 x2 +1|+5 ln|cos ( x )+1| ¿

5 ( 3 x2 −4 x ) 5 sin ( x ) d 2 x 3−4 x2−5 ln| x3 −2 x 2 +1|+5 ln |cos ( x ) +1|) =6 x 2−8 x−(−2sin ( x ) )− 3 − ( dx x −2 x 2+ 1 cos ( x )+ 1

¿ 6 x 2−8 x−(−2 sin ( x ) )−

5 ( 3 x 2−4 x ) 5 sin ( x ) − x 3−2 x 2+ 1 cos ( x )+ 1

Simplificar: 6 x 2−8 x−(−2 sin ( x ) )−

5 ( 3 x2 −4 x ) 5 sin ( x ) 6 x 5 cos ( x )+ 6 x5 −20 x 4 cos ( x ) −20 x 4−3 x 3 sin ( x ) +16 x3 cos ( x ) − : 3 2 x −2 x + 1 cos ( x )+ 1

Respuesta d dx

x 3−2 x 2

(∫

cos ( x )

6 x 5 cos ( x ) +6 x 5−20 x 4 cos ( x )−20 x 4−3 x 3 sin ( x ) +16 x 3 cos ( x )+16 x 3 +2 x3 sin ( x ) cos ( x )−9 2x dx = x +1 ( x−1 ) ( cos ( x ) +1 ) ( x 2−

)

Ejercicio d

Ejercicio e d dx

b (x )

(∫ )

f ( t ) dt =f ( b ( x ) )∗( b' ( x )) −f ( a ( x ) )∗(a ' ( x ) )

a (x )

Ejercicio e.

2

x

∫ √t−2 dt x−1

Paso 1 Derivar los limites Límite inferior(a): x-1 d ( x−1) dx

'

(Aplicamos la regla de la suma/diferencia (( f ± g ) =f

'

±g'

)

=

d d ( x )− (1) dx dx

¿ 1−

d (1) dx

(Aplicamos la regla de derivación (

d ( x )=1) dx

(Aplicamos la regla de derivada de una constante (

¿ 1−0=1 Límite superior(b): x2 d 2 (x ) dx

(Aplicamos la regla de la potencia (

d ( x ¿¿ a)=a∗x a−1 ¿) dx ¿ 2 x2−1=2 x Paso 2 Aplicar el teorema d dx

d dx

b (x )

(∫ )

f ( t ) dt =f ( b ( x ) )∗( b' ( x )) −f ( a ( x ) )∗(a ' ( x ) )

(Remplazamos los datos)

a (x )

x2

(∫ √ ) √

t−2dt = x 2−2∗( x 2) '− √ x−1−2∗( x−1) '

x−1

(Remplazamos las derivadas)

d ( C ) =0) dx

d dx

x2

(∫ √ ) √

t−2dt = x 2−2∗2 x−√ x−1−2∗1

x−1

Paso 3 Operar y simplificar d dx

d dx

d dx

x2

(∫ √ ) √

t−2dt = x 2−2∗2 x−√ x−1−2∗1

(Realizamos la resta)

x−1

x2

(∫ √ ) √

t−2dt = x 2−2∗2 x−√ x−3∗1

(Realizamos la multiplicación)

x−1

x2

(∫ √ ) √

t−2dt = x 2−2∗2 x−√ x−3

x−1

TIPO DE EJERCICIOS 4 – INTEGRAL DEFINIDA. Desarrollar el ejercicio que ha elegido por medio del segundo teorema fundamental del cálculo, utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas, recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.) Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida: Segundo teorema del calculo b

∫ f ( x ) dx=f ( b )−f ( a) a

2

∫ ( x 3−2 x+ 3 ) dx −2

Paso1: resolución de la integral

Se separa cada una de las expresiones, se resuelve cada integral y se simplifica

∫ x 3dx - ∫ 2 xdx + ∫ 3dx

=

x3 +1 x1 +1 +3 x -2 3+1 1+ 1

=

x4 x2 -2 +3x 4 2

=

x4 - x 2+3x 4

Paso 2: identificar los valores extremos de integración 2

4 ∫ ( x −2 x+ 3 ) dx= x4 −x 2 +3 x −2

[

3

2

]

−2

Paso 3: solución de la integral. Se sustituye los limites de la integral y se obtiene la solución del ejercicio b

∫ f ( x ) dx=f ( b )−f ( a) a

[

x4 −x 2 +3 x 4

2

(2)4 (−2)4 2 2 = −( 2 ) +3(2) − (−2 ) +3 (−2) 4 4 −2

] (

)(

)

( 164 −4+6) - ( 164 −4−6) =4 – 4 + 6 – 4 + 4 + 6 =6 + 6 = 12 Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos: 

Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa Geogebra.



Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.

Ejercicios b

Calcular la siguiente integral definida: 2

(x 2−9) ∫ ( x−3) ⅆx −2 Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos: • Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa Geogebra. • Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. 2

(x 2−9) ⅆx −2 (x−3)

F (x)=∫

x2 −9 x 2 9 − x−3 x−3 x−3 2

∫ −2

2

x2 9 ⅆx −∫ ⅆx x−3 −2 x −3

2

∫ −2

x2 ⅆx =−9∈ ( 5 ) +12 x−3

2

9 ⅆx =−9∈( 5 ) ∫ x−3 −2

¿−9∈ ( 5 ) +12−(−9∈ (5 ) ) ¿ 12

Grafica en geogebra

Ejercicio C Calcular la siguiente integral definida: 4

∫ ( x−4 )2 dx 1

Respuesta

Primero que todo se aplica la fórmula del binomio al cuadrado ¿ x 2−2 x ∙ 4+ 4 2 Simplificar: x 2−2 x ∙ 4+ 4 2 : x 2−8 x +16 ¿ x 2−8 x+ 16 4

∫ x 2−8 x +16 dx 1

Ahora aplico la regla de la suma 4

∫x 1

4 2

4

dx−∫ 8 xdx+∫ 16 dx 1

1

4 2 Voy a resolver una por una de las integrales iniciando con ∫ x dx 1

1. Se aplica la regla de la potencia 4

x 2+1 ¿ 2+1 1 2. Se simplifica

[ ] 4

x3 ¿ 3 1 3. Se calcula los límites para ello se usa la regla

[ ]

b

→ b−( F ( x ) ) −lim → a+ ( F ( x ) ) ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F ( a )=lim x x a

x3 3 x 4. Ahora se sustituye la variable

( )

lim →1+

13 ¿ 3 5. Se simplifica 1 3 6. Ahora lo realizo con el 4 ¿

x3 3 x 7. Se sustituye la variable lim → 4 ―

( )

43 ¿ 3 8. Se simplifica ¿

64 3

9. Se unen los dos resultados de las fracciones

64 1 ― 3 3

10. Ya que los denominadores son iguales, se combinan las fracciones 64−1 3 11. Se resta 64-1=63 63 3 12. Por último, se divide dándonos como resultado 21 ¿

¿

63 =21 3

Ahora bien, que hice el ejercicio paso a paso se repite de la misma forma con las otras integrales los mismos pasos donde la respuesta de cada una queda así: 4

1.

∫ x 2 dx=21 1 4

2.

∫ 8 xdx=60 1

4

3.

∫ 16 dx=48 1

Ya por ultimo para terminar con esta actividad se realiza la operación matemática con los resultados que nos dio 21−60+ 48=9

Ejercicio d Ejercicio e. Calcular la siguiente integral definida: 0

∫ (x ¿¿ 3+2)3 dx ¿ −2

Paso 1 Integramos la función 0

∫ (x ¿¿ 3+2)3 dx ¿

(Expandimos el binomio (

−2

( x ± y )3=x 3 ± 3 x 2 y ± 3 xy 2 ± y 3) 0

∫ (x ¿¿ 3)3 +(3 x 3)2∗2+3 x 3∗22+ 23 dx ¿

(Aplicamos la siguiente propiedad de los exponentes:

−2

(a¿ ¿ b)c =ab∗c ¿, asumiendo que a ≥ 0) 0

∫ x 3∗3 +3 x3∗2∗2+3 x 3∗4 +8 dx −2

(Realizamos todas las multiplicaciones)

0

∫ x 9 +6 x 6+ 12 x 3 +8 dx

(Aplicamos la regla de la suma: (

−2

∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=¿ ∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx ¿) 0

0

∫x

9

0

0

6

3

dx+ ¿ ∫ 6 x dx +∫ 12 x dx +∫ 8 dx ¿

−2

−2

−2

a+1

(Aplicamos la regla de la potencia:

−2

x mientras a ∫ x a dx= a+1

≠ -1 0

0

0

0

x 9+1 + ∫ 6 x 6 dx +∫ 12 x 3 dx+ ∫ 8 dx ∫ 9+1 −2 −2 −2 −2 0

∫ −2

0

0

(Sacamos la constante (

∫ a∗f ( x ) dx=¿ a∗∫ f ( x ) dx ¿)

0

x10 + 6∗∫ x 6 dx +12∗∫ x 3 dx +∫ 8 dx 10 −2 −2 −2

a+1

(Aplicamos la regla de la potencia:

x ∫ x a dx= a+1

mientras a ≠ -1 0

∫ −2

0

∫ −2

0

∫ −2

0

0

0

x10 6 x7 12 x 4 +∫ +∫ +∫ 8 dx 10 −2 7 −2 4 −2 0

0

0

4 (3 x 4) x10 6 x7 +∫ +∫ +∫ 8 dx 10 −2 7 −2 4 −2 0

(Factorizamos y simplificamos)

0

(Integral de una constante: (

∫ (a) dx=ax ))

0

x10 6 x7 +∫ +∫ 3 x 4 +∫ 8 x 10 −2 7 −2 −2 Paso 2 Evaluamos en términos de a (-2) y b (0)

F ( a )=

a10 6 a7 4 + +3 a + 8(a) 10 7

(Remplazamos los valores)

7

−210 6(−2) F ( a )= + +3 (−2)4 +8 (−2 ) 10 7 F ( a )=

−1024 6 (−128 ) + +3(−24 )+ 8 (−2 ) 10 7

(Resolvemos los exponentes)

(Simplificamos)

F ( a )=

512 768 − +48−16 5 7

(Hacemos la división de las fracciones)

F ( a )=102,4−109,714+ 48−16=24,68

F ( b )=

b10 6 b7 4 + +3 b + 8(b) 10 7

F ( b )=

010 6( 0) + +3(0)4 + 8 ( 0 )=0 10 7

(Remplazamos los valores)

7

Paso 3 Remplazamos y resolvemos b

∫ f ( x ) dx=F ( b )−F ( a ) a

0

∫ (x ¿¿ 3+2)3 dx=0−24,68 ¿ −2

0

∫ (x ¿¿ 3+2)3 dx=−24,68 u2 ¿ −2

Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos:  Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa GeoGebra.  Adjuntar las graficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.

Nombre del

Ejercicio

Link video explicativo

estudiante

sustentado

Leivy

4

https://youtu.be/KcMGr7qWfik

Tabares Ricardo

4

https://youtu.be/Vj1yDCYSqbI

Guzmán Leidy

2

https://www.youtube.com/watch?v=GfZHv-1_iHg

Johanna Lara Katerin Nino 1

https://www.youtube.com/watch?v=iDRcBVERGmI 

 

Bibliografía 

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral. Grupo editorial patria. (pp. 36 - 42).



Recuperado de Video tutorial https://youtu.be/kBo8XKo_thU



Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 27 – 38).



Recuperado de Video tutorial https://www.youtube.com/watch?v=beJ9owHY3a4