calculo tarea 2

Tarea 2 – Métodos De Integración

Presentado por: Grupo:100411_ 526

Hilda Fanny Pineda Londoño Christian Arley Cometa Rubén Darío Tamayo Leonel Antonio Ramírez Yuri Solanlly Vargas

Presentado a: Juan Pablo Obando

Universidad nacional abierta y a distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Ingeniería en Telecomunicaciones Calculo integral Medellín, Abril 2021

INTRODUCCION El trabajo permitirá que el estudiante, comprende, interprete y desarrolle las integrales mediante algunos de los diversos métodos de integración existentes, usando las propiedades, reglas y leyes que se necesiten en el proceso de su solución, los métodos usados en el taller serán los de sustitución, integración por partes, impropias y por fracciones o parciales

EJERCICIO 1 3x

∫ 9+e e3 x dx Aplicamos metodo de sustitución u=9+e 3 x d ( 9+e 3 x ) dx aplicamos regla de suma

d d ( 9) + (e3 x ) dx dx

aplicamos regla de la cadena a

d d u dy (9)+ ( e ) ( 3 x) dx du dx

(

d 3x ( e ) f =eu u=3 x dx

)

Derivamo s 0+¿ e u∗3=3 e u sustituimosu 3 e3 x e3 x ∗1 1 u 3x du=3 e dx y dx= 3 x dx=¿ ∫ du 3e 3 e3 x multiplicamos 3x

e ∗1 du ∫ u∗3 e3 x eliminamos iguales=¿∫

1 du 3u

sacamosla contante=¿

1 1 du 3∫ u

1 integramos=¿ ln (u ) 3 sustituimos enla ecuacion=¿

1 ln ( 9+ e3 x ) +c 3

 Grafica GeoGebra

Imagen 1. Grafica integral en GeoGebra

EJERCICOS 2 7

∫ x 3 ln ( x ) dx 7

Aplicar integración por partes u=ln ( x ) v' = x 3

7 +1 3

7 3

v=∫ x dx=

u' =

3

x 3 = x 10 +C 7 10 +1 3

dy 1 ( ln ( x ) ) derivamos u' = dx x

ln ( x )

3 10

3 x −∫ 10

1 ∗3 3 x x 10 dx 10

3

simplificamos=¿

7

3 10 3 x ln ( x )−∫ x 3 dx 10 10

3

sacamosla constante=¿

3

7

3 10 3 x ln ( x )− ∫ x 3 dx 10 10 7

+1

( ) ()

3 3 x3 integramos=¿ x 10 ln ( x )− 10 10 7 +1 3 3

10

3

10

( )

3 3 x3 3 3 3x 3 simplificamos x 10 ln ( x )− =¿ x 10 ln ( x )− 10 10 10 10 10 10 3

3

solucion=¿



10

3 10 9 3 x ln ( x )− x +c 10 100

Grafica en GeoGebra

Imagen 2. Grafica integral en GeoGebra

EJERCCICIO 3 2

3 x −2 dx ∫ x 3−2 x2 −24 x

aplicamos propiedades de fracciones ∫

3 x2 2 − 3 dx 3 2 x −2 x −24 x x −2 x2 −24 x

3 x2 2 aplicamos regla de la suma∫ 3 dx−∫ 3 dx 2 2 x −2 x −24 x x −2 x −24 x

sacamosla constante 3 ∫

x2 1 dx−2∫ 3 dx 3 2 x −2 x −24 x x −2 x 2−24 x

tomamos lafraccion parcial

3 x2 x 3−2 x 2−24 x

x2 factorizamos usando factor comun x ( x 2−2 x−24 )

factorizamos usando trinomio

x2 x ( x−6 )( x +4 )

creamos un modelo para la fraccion parcial

x x x x2 = 0+ 1 + 2 x ( x−6 )( x +4 ) x x−6 x +4

resolevos la suma x ( x−6 ) ( x+ 4 )+ x 1 x ( x +4 ) + x2 x ( x−6 ) x2 = 0 x ( x−6 )( x +4 ) x ( x−6 ) ( x + 4 ) eliminamos los denominadores x 2=x 0 ( x−6 ) ( x + 4 ) + x 1 x ( x+ 4 )+ x 2 x ( x−6 ) remplazamos para x=0 02 =x0 ( 0−6 ) ( 0+4 ) + x 1∗0 ( 0+ 4 ) + x 2∗0 ( x−6 ) 0=−24 x 0 despejar x 0

¿> x 0=0

remplazamos para x=−4 −42=x 0 (−4−6 )(−4+ 4 )+ x 1∗−4 (−4+ 4 ) + x 2∗−4 (−4−6 ) 16=x 0 (−10 ) ( 0 ) + x 1∗−4 ( 0 ) + x 2∗−4 (−10 ) 16=40 x 2 despejar x2

¿> x 2=

16 2 =¿ x 2= 40 5

remplazamos para x=6

62 =x0 ( 6−6 ) ( 6+ 4 ) + x 1∗6 ( 6+ 4 )+ x2∗6 ( 6−6 ) 36=x 0 ( 0 )( 10 ) + x 1∗6 ( 10 ) + x 2∗6 ( 0 ) 36=60 x1

despejamos x1

¿> x 1=

36 3 =¿ x 1= 60 5

3 2 0 5 5 sutituimoslas soluciones=¿ + + x x−6 x + 4 simplificamos=¿

3 2 + 5 ( x−6 ) 5 ( x+ 4 )

tomamos lafraccion parcial=¿

1 x −2 x2 −24 x 3

factorizamos usando factor comu n=¿

factorizamos usando trinomio=¿

1 x ( x −2 x−24 ) 2

1 x ( x−6 ) ( x+ 4 )

creamos un modelo para la fraccion parcial x x x 1 = 0+ 1 + 2 x ( x−6 )( x +4 ) x x−6 x +4 resolevos la suma

x ( x−6 ) ( x+ 4 )+ x 1 x ( x +4 ) + x2 x ( x−6 ) 1 = 0 x ( x−6 )( x +4 ) x ( x−6 ) ( x + 4 ) eliminamos los denominadores=¿ 1=x 0 ( x−6 ) ( x+ 4 )+ x1 x ( x +4 ) + x 2 x ( x−6 )

remplazamos para x=0 1=x 0 ( 0−6 ) ( 0+4 ) + x 1∗0 ( 0+ 4 ) + x 2∗0 ( x−6 ) 1=−24 x 0 despejar x 0=¿

x 0=

−1 24

remplazamos para x=−4 1=x 0 (−4−6 )(−4+ 4 )+ x 1∗−4 (−4+ 4 ) + x 2∗−4 (−4−6 ) 1=x 0 (−10 ) ( 0 ) + x 1∗−4 ( 0 ) + x 2∗−4 (−10 ) 1=40 x2 despejamos x2 =¿ x2 =

1 40

remplazamos para x=6 1=x 0 ( 6−6 ) ( 6+4 ) + x 1∗6 ( 6+ 4 ) + x 2∗6 ( 6−6 ) 1=x 0 ( 0 ) ( 10 ) + x1∗6 ( 10 ) + x 2∗6 ( 0 ) 1=60 x 1

despejamos x1 =¿ x 1=

1 60

−1 1 1 24 40 60 sutituimoslas soluciones=¿ + + x x−6 x +4 simplificamos=¿−

3

(

3

2

1 1 1 + + 24 40 ( x +4 ) 60 ( x−6 )

∫ 5 ( x−6 ) + 5 ( x +4 )

)

dx−2∫

(

−1 1 1 + + dx 24 40 ( x + 4 ) 60 ( x−6 )

)

Aplicarmosregla de lasuma 3

3

3 2 −1 1 1 dx+∫ dx−2∫ dx +∫ dx+∫ dx (∫ 5 ( x−6 ) ( 24 ) 5 ( x+ 4 ) 40 ( x+ 4 ) 60 ( x−6 ) )

(

3 1 2 1 −1 1 1 1 1 dx + ∫ dx −2 dx + ∫ dx + ∫ dx ∫ ∫ 5 ( x−6 ) 5 5 ( x +4 ) 24 40 ( x +4 ) 60 ( x −6 )

) (

integrar 3

( 35 ln ( x −6 ) + 25 ln ⁡( x+ 4))−2 ( −124 ln ⁡( x)+ 401 ln ( x+ 4 )+ 601 ln ⁡( x −6))

multiplicamos 9 6 1 1 1 ln ( x−6 ) + ln ( x +4 ) + ln ( x ) − ln ( x+ 4 )− ln ⁡(x−6) 5 5 12 20 30

)

Simplificamos 1 53 23 ln ( x )+ ln ( x −6 ) + ln ( x +4 ) +c 12 30 20

 Grafica GeoGebra

Imagen 3. Grafica integral en GeoGebra

EJERCICIO 4 ∞

2

∫ √ 4 xx +3 dx 1

aplicar integracion por susutitucion u=x2

√ 4 u+3 ∗1

∞

x 2x

∫ 1

du

∞

∞

4 u+3 4 u+3 simplificamos=¿ ∫ √ 2 du=¿ ∫ √ du 1

2x

1

2u

∞

1 4 u+3 sacamosla constante=¿ ∫ √ du 21 u

aplicamos integracion por susutitucion v=√ 4 u+3

∞

1 ∫ 21

v ∗v u du 2 ∞

simplificamos=¿

1 v2 ∫ du 2 1 2u

2

v=√ 4 u+3=¿ v =4 u+ 3 despejar u=¿ u=

v 2−3 4

∞

1 v2 dv ∫ 2 1 2∗v 2−3 4 ∞

∞

∞

1 v2 1 4 v2 1 2 v2 simplificamos=¿ ∫ dv=¿ ∫ dv=¿ ∫ 2 dv 2 1 2 ( v 2−3 ) 2 1 2 ( v 2−3 ) 2 1 ( v −3 ) 4 ∞

∞

1 2 v2 2 v2 sacamosla constante=¿ ∗2∫ dv =¿−∫ dv 2 2 2 1 −(−v + 3 ) 1 (−v +3 )

aplicar integracion por sustitucion v=√ 3 w 2

( √3 w ) −∫ √ 3 dw 2 −( √ 3 w ) +3 −∫

3 w2 3 w2 w2√3 3 dw=¿− 3 dw=¿− dw √ √ ∫ ∫ −3 w2 +3 −w2 +1 3 (−w2 +1 )

w2 + (−w2 +1 ) w2 sacamosla constante=¿−√ 3∫ dw=¿− √3 ∫ −1 dw −w 2+ 1 −w2 +1 simplificamos=¿−√3 ∫

1 −1 dw −w 2+1

aplicar regla de la suma=¿−√ 3

integrar=¿−√ 3

(∫ −w1+ 1 dw−∫ 1 dw)

1) ln ( w−1 ) − −w ) ( ln ⁡(w+ 2 2

sustitucion haciaatras sutituir w=

−√ 3

(

ln ⁡(

2

v √3

v v −1 +1) ln v √3 − √3 − 2 2 √3

(

)

)

sustiruir en la ecuacion v=√ 4 u+ 3

−√ 3

(

ln ⁡( √

4 u+3 + 1) ln √3 − 2

( √ 4√u+3 3 −1) − √ 4 u+ 3

sustiruir en la ecuacionu=x 2

2

√3

)

−√ 3

(

ln ⁡( √

2

4 x +3 +1) ln √3 − 2

(

√ 4 x 2+3 −1 √3 2

)

−

√ 4 x 2+ 3 √3

)

simplificamos

−√ 3

( |√ 1 ln 2

| |√

4 x 2 +3 1 +1 − 3 2

|√

4 x 2 +3 1 −1 − ( 4 x 2 +3 ) +c 3 3

)

es divergente  Grafica Geogebra

Imagen 4.Grafica integral en Geogebra

BIBLIOGRAFIA

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Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral: La Integral Indefinida y Métodos de Integración. Editorial Unimagdalena. (pp. 80 – 83).



Rivera, A. (2014). Cálculo y sus Fundamentos para Ingeniería y Ciencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 541 - 546). Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 27 – 38).}



Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 135 – 141; 176 - 181).



Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 181 - 184).