Tarea 3

Nombre: Aleman Corral Fabiola Jazive Título: Tarea 3

Expediente: 219202112 Hora de clase: 14:00 - 15:00 horas

1. ¿Cuál es la longitud de un cable de cobre al disminuir la temperatura a 14°C, si con una temperatura de 42°C mide 416 m? Datos: • 𝑇𝑖 = 42°𝐶 • 𝑇𝑓 = 14°𝐶 • 𝛼𝐶𝑢 = 16.7𝑥10−6 °𝐶 −1 • 𝐿𝑖 = 416 𝑚

Ecuación: 𝛿 = 𝐿𝑖 ∙ 𝛼𝐶𝑢 ∙ ∆𝑇 Sustituyendo: 𝛿 = (416 𝑚) ∙ (16.7𝑥10−6 °𝐶 −1) ∙ (14°𝐶 − 42°𝐶 ) 𝛿 = (416 𝑚) ∙ (16.7𝑥10−6 °𝐶 −1 ) ∙ (−28 °𝐶 ) 𝛿 = −0.1945216 𝑚

Para obtener la longitud total del cable de cobre al cambiar su temperatura a 14°C: 𝛿𝑡 = 416 𝑚 − 0.1945216 𝑚 = 415.8054784 𝑚 Es decir, la longitud del cable de cobre a 14°C es de 415.8054784 metros 2. Determine la fuerza de compresión y el valor de la elongación en la barra mostrada después de una elevación en la temperatura de 180°F. Datos: • •

∆𝑇 = 180°𝐹 = 100 °𝐶 𝐿𝑖 = 250 𝑚𝑚

Ecuaciones: 𝛿 = 𝐿𝑖 ∙ 𝛼𝐴 ∙ ∆𝑇 𝛿𝐸 =

𝐿𝐴 ∙𝐹 𝐸𝐴 ∙ 𝐴𝐴

Primero obtendremos el valor de expansión térmica de la barra de aluminio: 𝛿 = 𝐿𝑖 ∙ 𝛼𝐴 ∙ ∆𝑇 Sustituyendo obtenemos: 𝛿 = (0.25 𝑚) ∙ (12.9𝑥10−6 °𝐶 −1 ) ∙ (100 °𝐶 ) = 3.225𝑥10−4 𝑚 La deformación elástica será: 𝛿𝐸 = 𝛿𝐴 − 𝑑 = 3.225𝑥10−4 𝑚 − 0.0002 𝑚 = 1.2225𝑥10−4 𝑚

Sabemos que: 𝛿𝐸 =

𝐿𝐴 ∙𝐹 𝐸𝐴 ∙ 𝐴𝐴

Sustituyendo valores obtenemos: 1.2225𝑥10−4 𝑚 =

0.25 𝑚 ∙𝐹 𝑁 (15𝑥109 2 ) ∙ (2.8𝑥10−6 𝑚2 ) 𝑚

6.5166596𝑥10−5 𝑚 = 5.95238𝑥10−6

𝑚 ∙𝐹 𝑁

Despejando F que es la fuerza de compresión obtenemos: 𝐹=

1.2225𝑥10−4 𝑚 𝑚 = 20.538 𝑁 5.95238𝑥10−6 𝑁

Ahora, para obtener la elongación después del aumento de temperatura: 𝛿𝑇 = 𝛿 − 𝛿𝐸 = 𝐿𝑖 ∙ 𝛼𝐴 ∙ ∆𝑇 −

𝐹 ∙ 𝐿𝐴 𝐸𝐴 ∙ 𝐴𝐴

Sustituyendo valores: 𝛿𝑇 = (0.25 𝑚) ∙ (12.9𝑥10−6 °𝐶 −1 ) ∙ (100 °𝐶 ) −

(20.538 𝑁) ∙ (0.25 𝑚) 𝑁 (15𝑥109 2 ) ∙ (2.8𝑥10−6 𝑚2 ) 𝑚

𝛿𝑇 = 3.225𝑥10−4 𝑚 − 1.2225𝑥10−4 𝑚 = 2.0025𝑥10−4 𝑚

3. Si se sabe que existe una separación de 0.8 mm cuando la temperatura es de 75°F. Determine: a. La temperatura en que el esfuerzo de la barra de aluminio será igual a 10 KPa

b. La longitud exacta correspondiente de la barra de aluminio. Datos: • • • • •

𝐿𝐴 = 180 𝑚𝑚 = 0.18 𝑚 𝐿𝐵 = 140 𝑚𝑚 = 0.14 𝑚 𝑑 = 0.8𝑚𝑚 = 0.0008𝑚 𝑇 = 75° 𝐹 = 23.8889 °𝐶 𝜎𝐴 = 10𝐾𝑃𝑎 = 10000 𝑃𝑎

Ecuaciones: 𝜎=

𝛿𝐸 =

Despejando la fuerza de la ecuación: 𝜎=

𝐹 𝐴

𝐹∙𝐿 𝐸∙𝐴

𝐹 𝐴

Obtenemos que: 𝐹 =𝜎∙𝐴 Sustituyendo: 𝐹 = 10000

𝑁 ∙ (2.8𝑥10−6 𝑚2 ) = 0.028 𝑁 𝑚2

Ahora encontraremos la fuerza de compresión de las barras 𝛿𝐸 =

𝐹 ∙ 𝐿𝐴 𝐹 ∙ 𝐿𝐵 + 𝐸𝐴 ∙ 𝐴𝐴 𝐸𝐵 ∙ 𝐴𝐵

Remplazando valores: 𝛿𝐸 =

(0.028 𝑁) ∙ (0.18𝑚) (0.028 𝑁) ∙ (0.14𝑚) + = 2.7408𝑥10−7 𝑚 𝑁 𝑁 (15𝑥109 2 ) ∙ (2.8𝑥10−6 𝑚2 ) (10.6𝑥109 2 ) ∙ (2.4𝑥10−6 𝑚2 ) 𝑚 𝑚

La deformación por temperatura será: 𝑆𝑡 = 𝑑 + 𝛿𝐸 = 0.0008𝑚 + 2.7408𝑥10−7 𝑚 = 8.00027𝑥10−4 𝑚 La dilatación por temperatura se representa de la siguiente forma: 𝑆𝑡 = 𝛿𝐴 + 𝛿𝐵 𝑆𝑡 = 𝐿𝑖 ∙ 𝛼𝐴 ∙ ∆𝑇 + 𝐿𝑖 ∙ 𝛼𝐵 ∙ ∆𝑇 Sustituyendo valores:

8.00027𝑥10−4 𝑚 = (0.18 𝑚) ∙ (12.9𝑥10−6 °𝐶 −1 ) ∙ ∆𝑇 + (0.14 𝑚) ∙ (12𝑥10−6 °𝐶 −1 ) ∙ ∆𝑇 8.00027𝑥10−4 𝑚 = (4.002𝑥10−6 ∆𝑇 =

𝑚 ) ∙ ∆𝑇 °𝐶

8.00027𝑥10−4 𝑚 𝑚 = 199.9067 °𝐶 (4.002𝑥10−6 ) °𝐶

Ya que sabemos el cambio de temperatura, pasaremos a despejar la temperatura en el que el esfuerzo de la barra de aluminio será igual a 10 KPa, es decir:

∆𝑇 = 𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 𝑇𝑓 = ∆𝑇 + 𝑇𝑖 Sustituyendo valores obtenemos: 𝑇𝑓 = 199.9067 °𝐶 + 23.8889 °𝐶 = 223.7956 °𝐶 Ahora para encontrar la longitud exacta de la barra de aluminio encontraremos la deformación: 𝛿𝑇 = 𝛿 − 𝛿𝐸 = 𝐿𝑖 ∙ 𝛼𝐴 ∙ ∆𝑇 −

𝐹 ∙ 𝐿𝐴 𝐸𝐴 ∙ 𝐴𝐴

Sustituyendo valores: 𝛿𝑇 = (0.18 𝑚) ∙ (12.9𝑥10−6 °𝐶 −1 ) ∙ (199.9067 °𝐶) −

(0.028 𝑁) ∙ (0.18 𝑚) 𝑁 (15𝑥109 2 ) ∙ (2.8𝑥10−6 𝑚2 ) 𝑚

Obtenemos que el resultado es: 𝛿𝑇 = 4.6418𝑥10−4 𝑚 − 1.2𝑥10−7 𝑚 = 4.6406𝑥10−4 𝑚

La longitud final será: 𝐿𝑓 = 𝐿𝑖 + 𝛿𝑇 𝐿𝑓 = 0.18 𝑚 + 4.6406𝑥10−4 𝑚 = 0.18046406 𝑚