Tarea 3 Regla de La Cadena (1)

Tarea 3. Regla de la cadena. Dr. Samuel Domínguez Hernández. Telemática UPIITA-IPN Calculo Multivariable. 16 de agosto de 2016

10. Si z = f (x − y), demuestre que

En los ejercicios 1-2, escriba la regla de la cadena para el caso dado, suponiendo que todas las funciones son diferenciables.

∂z ∂x

+

∂z ∂y

= 0.

11. si f (x, y), donde x = s + t y y = s − t, demuestre que

1. u = f (x, y), donde x = x(r, s, t), y = y(r, s, t).



2. w = f (r, s, t), donde r = r(x, y), s = s(x, y), t = t(x, y).

∂z ∂x

2

 −

∂z ∂y

2

 =

∂z ∂s



∂z ∂t



En los ejercicios 3-5, use la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales que se piden

En los ejercicios 12-16, suponga que todas las funciones dadas tienen derivadas parciales de se∂z ∂z 3. z = x2 + xy 3 , x = uv 2 + w3 , y = u + vew ; ∂u , ∂v , gundo orden continuas. ∂z ∂w cuando u = 2, v = 1, w = 0. Solución: 85, 12. Demuestre que cualquier función de onda 178, 54.
4. R = ln u2 + v 2 + w2 , u = x + 2y, v = 2x − y, ∂R w = 2xy; ∂R ∂x , ∂y , cuando x = y = 1. Solución: 9 9 7, 7.

z = f (x + at) + g (x − at) es una solución de la ecuación de onda 2 ∂2z 2∂ z = a . ∂t2 ∂x2

5. u = x2 + yz, x = pr cos θ, y = pr sen θz, z = p + r; ∂u, ∂u, ∂u, ∂P , ∂r , ∂θ cuando p = 2, r = 3, θ = 0. Solución: 36, 24, 30. En los ejercicios 6-7, encuentre 6.

x2

+

y2

+

z2

= 3xyz. Solución:

∂z ∂x

y

∂z ∂y

Sugerencia: sea u = x + at, v = x − at.

si

13. Si u = f (x, y) donde x = es cos t y y = es sen t, demuestre  2  ∂2u ∂2u ∂2u −2s ∂ u + 2 =e + 2 . ∂x2 ∂y ∂s2 ∂t

3xz−2x 3xz−2y 2z−3xy , 2z−3xy .

7. x − z = arctan (yz). Solución: z − 1+y+y 2 z2 .

1+y2 z2 , 1+y+y2 z2

8. Si z = f (x, y), donde x = r cos θ y y = r sin θ, a) Determine

∂z ∂r

y

14. Si z = f (x, y), donde x = r2 + s2 , ∂2z y y = 2rs, determine ∂r∂s . Solución: ∂2z ∂2z ∂2z ∂z 2 2 4rs ∂x2 + (4r + 4s ) ∂x∂y + 4rs ∂y2 + 2 ∂y .

∂z ∂θ .

b) Demuestre que  2  2  2   ∂z ∂z ∂z 1 ∂z 2 + = + 2 . ∂x ∂y ∂r r ∂θ

15. Si z = f (x, y), donde x = r cos θ, y = r sen θ, demuestre que ∂2z ∂2z ∂2z 1 ∂ 2 z 1 ∂z + = + + . ∂x2 ∂y 2 ∂r2 r2 ∂θ2 r ∂x

9. Si u = f (x, y), donde x = es cos t y y = es sen t, demuestre que "   2  2  2 # 2 ∂u ∂u ∂u ∂u + = e−2s + . ∂x ∂y ∂s ∂t

16. Suponga que z = f (x, y), donde x = g(s, t) y y = h(s, t). 1

a) Demuestre que ∂2z ∂t2

 ∂x 2 ∂ 2 z ∂x ∂y = +2 ∂t ∂x∂y ∂t ∂t  2 2 ∂z ∂ 2 x ∂z ∂ 2 y ∂ z ∂y + + + 2 ∂y ∂t ∂x ∂t2 ∂y ∂t2 ∂2z ∂x2



b) Encuentre una fórmula similar para

∂2z ∂s∂t .

17. Una función f se llama homogénea de grado n si cumple con la ecuación f (tx, ty) = tn f (x, y) para toda t. donde n es un entero positivo y f tiene derivadas continuas de segundo orden. a) Compruebe que f (x, y) = x2 y + 2xy 2 + 5y 3 es homogénea de grado 3. b) Demuestre que si f es homogénea de grado n, entonces x

∂f ∂f +y = nf (x, y) ∂x ∂y

Sugerencia: aplique la regla de la cadena para derivar f (tx, ty) con respecto a t. 18. Si f es homogénea de grado n demuestre que x2

2 ∂2f ∂2f 2∂ f + 2xy + y = n(n − 1)f (x, y). ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

19. Si f es homogénea de grado n demuestre que fx (tx, ty) = tn−1 fx (x, y). 20. Suponga que la función F (x, y, z) = 0 define en forma implícita cada una de las tres variables, x, y y z como funciones de otras dos; z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z). si F es diferenciable y Fx , Fy y Fz son diferentes de cero, demuestre que ∂z ∂x ∂y = −1 ∂x ∂y ∂z

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