Tarea 8

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079

Ecuaciones paramétricas de algunas curvas Planas y su representación gráfica. Ecuaciones Parametricas Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general: x = F (z) y = F (z) Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos. Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas. En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones paramétricas. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación grafica. CIRCUNFERENCIA Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM.

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079 Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia: 𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃 CICLOIDE Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija. Tomese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva. En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir: 𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 − 𝑀𝑁 = r 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 ; 𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 − 𝑁𝐶 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥 = 𝑟 ( 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃); 𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃 ; que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide. HIPOCICLOIDE Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079 Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia. En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido el arco AB; o sea: arco AB=2πb. Por la figura se tiene, designado por φ el Angulo O’MN: x = OP = OQ + NM = OO’cos 𝜃 + O’M cos φ; (1) y = PM = QO’ – NO’ = OO’sen 𝜃 - O’M sen φ; (2) Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente. ASTROIDE Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada. En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide.

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079 Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y después reduciendo queda: 𝑥 = 𝑎 cos3 𝜃 ; 𝑦 = 𝑎 sen3 𝜃 Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide.

Derivada de una curva en forma Paramétrica. Si una curva suave C está dada por la ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la pendiente de C en (x,y) es Esto

se da ya que cumple con el teorema que

proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica: 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑓 𝑦 𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑡1 ,𝑡2 . 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓´ 𝑡 ≠ 0, 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐹 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠

𝐷𝑥𝑦 = 𝑔 ′ (𝑡) /𝑓´(𝑡) = 𝐷𝑡𝑦 /𝐷𝑡

Derivadas de orden superior para una función dad en forma parametrica 𝑆𝑖 𝑥 𝑦 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷𝑥 2𝑦 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒:

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079 En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:

Tangentes a una curva. La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación. El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podrán encontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en problemas más complejos. La recta y=m*x+b es tangente a la curva f(x) si cumple los siguientes requisitos: 1. Pasa por el punto de tangencia: (a,f(a)) 2. Tiene el mismo pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia: m=f´(a)

Entonces, se puede escribir la ecuación de la recta tangente de la siguiente forma:

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079 y-f(a)=f´(a)*(x-a) Además, la recta tangente puede tener interesantes aplicaciones geométricas. La siguiente gráfica posición-tiempo muestra la evolución de un atleta desde que empieza a correr. Se puede ver que el eje vertical representa la distancia recorrida, mientras que el horizontal representa el tiempo en segundos. Teniendo en cuenta que la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, la pendiente de la parábola azul representa la velocidad instantánea. Se puede ver que el corredor empieza con velocidad nula (parado) y va acelerando. La recta roja de la gráfica representa otro corredor que va a una velocidad constante y, en el instante marcado por el punto de tangencia, tiene la misma velocidad y se encuentra en el mismo punto. El segundo corredor va más rápido que el primero hasta que es adelantado, y luego es el primero el que, gracias a que está acelerando, termina por delante.

Área y longitud de arco. Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta es una estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079 aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente. Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cerrado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación,

La primera derivada de la función será, Tenemos la longitud del arco de la función como, Aquí tenemos x = q(t), y = r(t) y z = s(t). Sin embargo, tenemos, Esto puede ser escrito como, La ecuación anterior puede ser aproximadamediante la suma de Riemann para confirmar que es la longitud del arco de una función vectorial, Aquí tenemos, ti = a + i t y, t = (b – a)/ n Por lo tanto, se puede concluir que, Esto implica que tenemos,

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079 La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de recta entre los vértices p (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta. La longitud del arco también está representada por la ecuación, En la ecuación anterior s(t) representa la longitud de la curva desde p(a) hasta p(t). Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, se puede establecer que, Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente. Considere que t(s) es la función inversa representada por la ecuación anterior. En esta situación tenemos que, p2(s) = p (t(s)) será un parámetro de la curva de entrada en términos de la longitud del arco. Al hacer uso de la regla de la cadena, podemos establecer que, p’2 (s) = dp(t(s))/ ds p2 (s) = p’(t(s))/ ds Esto significa que, | p2 (s) | = | p’(t) |/ (ds/ dt) Después de haber visto un montón de fórmulas,pasemos ahora a un ejemplo para entender mejor los conceptos aprendidos anteriormente. Determine la longitud del arco de una hélice representada por la ecuación, p (t) = cos (t) + sin (t) + t 0 <= t <= 2 p’(t) = -sin (t) + cos (t) + | p’(t) | = = L = | p’(t) | dt = dt = 2

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079 Esta es sólo una de las parametrizaciones de la curva de entrada, existen muchas otras también

Curvas planas y graficación en coordenadas polares. Coordenadas polares. Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares. Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, Gráficas de ecuaciones polares Una manera de trazar la grafica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas rectangulares.

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079

Cálculo en Coordenadas Polares Longitud de arco para gráficas polares Si es la ecuación de una curva C en coordenadas polares, entonces las ecuaciones paramétricas de C son Si f tiene una derivada continua, entonces es directo derivar una fórmula para la longitud de arco en coordenadas polares. Puesto que

Construcción de una Integral, Lo primero que se debe hacer en la construcción de cualquier integral es hacer las particiones que tu deses, recuerda que entre mas particiones hagas en tu gráfica es mucho mas exacto el resultado que hallaras. Debemos tener también un cierto intervalo en el que será hecho el cálculo. Dejando eso atrás;

TAREA 8 Ybarra Icedo Jesus Ignacio 19210079

esto es lo que hacemos en la gráfica