EJE 1 MAT FINANCIERA-CONCEPTU.pdf

MATEMÁTICA FINANCIERAS Maruluz Rubio

EJE 1 Conceptualicemos

Fuente: Shutterstock/661985980

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Conceptos claves de la matemática financiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Índice de Precios al Productor (IPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Índice de Precios al Consumidor (IPC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Interés simple e interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Anualidades y amortizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Amortizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Títulos valores y evaluación de proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Títulos valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ÍNDICE

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Introducción El eje 1 del módulo de Matemática financiera, pretende contextualizar a los estudiantes respecto de todas aquellas herramientas, conceptos y fórmulas utilizadas en el desarrollo de las finanzas, las cuales son idóneas y necesarias para poder entender y a su vez poder ejecutar esta materia.

INTRODUCCIÓN

Es así, como la pregunta que orientará las reflexiones en torno a la temática propuesta en este primer eje es, ¿Cuáles son los conceptos fundamentales respecto a la matemática financiera que deben conocer los profesionales de diferentes áreas en pro de liderar los procesos tendientes a la toma de decisiones? En este sentido, los contenidos que se desarrollarán en el presente espacio académico, explican de manera clara y precisa la terminología y los conceptos que son utilizados en la asignatura, de forma tal que el estudiante entienda el porqué de aquellas teorías y pueda lograr por sí solo desarrollar emprendimientos de empresas reales, permitiendo mejorar las habilidades para vislumbrar claramente el futuro de las organizaciones. Por lo tanto, se expondrán temas como: tasas de interés simple y compuesto, valor del dinero en el tiempo, flujos de efectivo, anualidades, amortizaciones, títulos valores y por último la evaluación de proyectos.

Conceptos claves de la matemática financiera

A nivel global, es más frecuente que las empresas afronten retos que impone el entorno, los cuales son cada vez más violentos y en algunos casos inmanejables, debido a la falta de conocimiento y de contextualización sobre las situaciones cotidianas, ya que estas parecen ser nuevas para las empresas. Es necesario entender ciertos conceptos que son básicos e importantes en el desarrollo de la matemática financiera en general y los cuales serán constantemente utilizados y aplicados debido a la importancia de las finanzas en las empresas. Para algunos la matemática financiera es algo tan sencillo como la aplicación de fórmulas, para otros, no solo se trata de aplicar fórmulas sino además lograr entender de manera puntual cómo los resultados hallados afectan de manera positiva o negativa la actuación de las empresas y por ende el futuro en el entorno que se desarrolle. Lo anterior se resume en un concepto general de la matemática financiera, con base en desarrollos de fórmulas provenientes de la matemática, esto debido a que muchas de las formulaciones que se deben desarrollar pueden ser de índole algebraica, derivadas de un planteamiento y posterior análisis. En términos generales, es aquella que se encarga de realizar estudios que permitirán identificar el valor del dinero teniendo en cuenta el tiempo, es decir, una rama de las finanzas que permite entender el comportamiento de los flujos de caja. Ese valor del dinero en el tiempo, conocido como time value of money en inglés, tiene relación con el concepto económico que indica el poder adquisitivo de una unidad de dinero ubicada hoy versus la unidad de dinero ubicada en el futuro. Visitar página

Se sugiere revisar la lectura Time value of money de Shauna Carther, para ampliar el concepto de valor de dinero en el tiempo, el cual se abordará a lo largo del presente espacio académico. Understanding the time value of money Shauna Carther

Algunos otros conceptos de la matemática financiera de autores reconocidos son, por ejemplo: Se entiende como una herramienta que puede ser utilizada para realizar cualquier cantidad de análisis de índole financiera, entre los que se pueden mencionar: precio y costo de cualquier inversión, establecer la mejor alternativa para financiarse y mejor rentabilidad (Cabeza y Castrillón, 2013).

• Está en el campo de la matemática aplicada, dado a que realiza análisis, aplica valoración y realiza cálculos con asignaturas que se encuentran estrechamente relacionadas con el campo de los mercados financieros (Enciclopedia financiera, s. f.). Figura 1. Fuente: Shutterstock / 374585728

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Instrucción Observe atentamente el organizador gráfico que encuentra en los recursos del eje, el cual aporta algunos consejos para la obtención de resultados adecuados mediante la matemática financiera.

La importancia que cobra esta herramienta en el mundo empresarial es incalculable, ya que muchas de las decisiones son tomadas después de realizar diversas operaciones que tienen que ver con la compañía, entre las que se encuentran: temas de inversión, financiamiento, cobertura, valoración de empresas y alianzas entre otros innumerables temas de índole financiero. El analista o tomador de decisiones podrá tener otro tipo de ventajas, como saber anticipadamente el valor y costo de una operación, establecer una política de descuentos en las compañías, tener poder sobre la decisión de diferentes alternativas sin importar si son a largo o corto plazo y poder evaluar un proyecto de inversión entre otros. En general, son varios los temas en los que la matemática financiera aporta conocimiento ya que, de los resultados, los analistas a nivel global toman muchas de las más importantes decisiones en términos financieros y, además, da el soporte para realizar el análisis de muchos de los proyectos de inversión que se plantean antes de ser ejecutados. Otro de los términos comúnmente utilizados dentro de esta gran asignatura, tiene que ver con la inflación, esta es entendida como el crecimiento que se evidencia de manera generalizada y constante de los precios de cada uno de los bienes y servicios que hacen parte o están presente en la economía de un país.

Es importante resaltar que cada país es autónomo de plantear los indicadores necesarios para realizar la medición de la inflación, entre los más comunes se destacan en Colombia: Índice de Precios al Productor (IPP) Se trata de un indicador que determina la evaluación de los precios de venta teniendo en cuenta el productor. Visitar página

Para mayor comprensión del IPP se recomienda revisar la página web del Banco de la República. Índice de Precios del Productor (IPP) Banco de la República

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Índice de Precios al Consumidor (IPC) Se trata del indicador encargado de medir la evolución respecto al costo promedio de la canasta familiar compuesta por bienes y servicios de los hogares en una economía. Visitar página

Para mayor comprensión del IPC se recomienda revisar la página web del Banco de la República. Índice de Precios al Consumidor (IPC) Banco de la República

En Colombia, la entidad oficial que se encarga de realizar la medición de la inflación y otras cifras importantes para el sector económico del país es el Departamento Administrativo Nacional de Estadística DANE. Visitar página

Para conocer las actividades que esta entidad del Gobierno colombiano desarrolla, visite la página web del DANE.

En las economías debido al fenómeno de la inflación, el dinero pierde valor a medida que el tiempo avanza, entonces no será lo mismo pagar el día de hoy $1.000.000 que pagar esta misma cuantía dentro de un año, este ejercicio se puede entender en el diario vivir, ya que cada vez que las personas van a realizar compras se dan cuenta que el dinero ya no alcanza para comprar lo mismo que siempre se ha comprado. Una situación contraria a la inflación se presenta en las economías cuando se evidencia una caída generalizada en los precios, que, a su vez, es constante tanto en los precios de los bienes como de los servicios en la economía de un país, este fenómeno se conoce como deflación. Visitar página

Se sugiere revisar la página web del Banco de la República para familiarizarse con el término deflación. ¿Qué es la deflación? Banco de la República

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Riesgo Ahora bien, se hace relevante indagar sobre la definición Rentabilidad de riesgo y los tipos de riesgo presentes en las finanzas. El La rentabilidad es la obtención de beneficios o ganancias provenientes de término riesgo tiene una relación directa con la rentabilidad, una inversión o actividad económica. de aquí nace la afirmación que si en una inversión, el riesgo es Se suele calcular como: (todos los - todas las pérdidas) - capital mayor, entonces la operación financiera dará como resultado ingresos invertido. una mayor rentabilidad como se puede observar en la figura.

A mayor riesgo, mayor rentabilidad.

A menor riesgo, menor rentabilidad.

Figura 2. Riesgo y rentabilidad Fuente: propia

Se puede entonces, definir el riesgo como la probabilidad de ocurrencia de un evento negativo y que implica la toma de decisión, puesto que en finanzas se manifiesta como posibles pérdidas ocasionadas por inversiones mal realizadas o por falta de conocimiento. Es así que el riesgo es aquella incertidumbre que se produce en el proceso de realización de inversiones en portafolios financieros ya que se pueden presentar cambios, situaciones que no permiten hacer devolución de capital y por último la inestabilidad de la economía en particular (BBVA, 2015).

Existen diferentes tipos de riesgo asociados a las finanzas, los más comunes son: 1. Riesgo de liquidez: una de las partes que se encuentran en la negociación cuenta con activos, pero no tiene dinero en su momento para poder cubrir las obligaciones que tenga, en esta situación se presenta el riesgo de liquidez. 2. Riesgo de mercado: este tipo de riesgo se encuentra presente en todas las obligaciones que tengan relación con los mercados financieros. Allí se destacan los riesgos de cambio, los riesgos asociados con las tasas de interés y el riesgo de mercado.

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3. Riesgo de crédito: en un contrato establecido, este riesgo se da cuando una de las partes no puede cumplir con las obligaciones adquiridas. Se afirma que la mejor forma de prevenir riesgos mayores es que tanto empresas como personas revisen diversas opciones para invertir el dinero y no coloquen todo su capital en una sola opción.

Lectura recomendada

Para ampliar el tema le invito a realizar la lectura sugerida a continuación, posteriormente desarrolle la actividad de aprendizaje: control de lectura. Administración de riesgos, conocer los riesgos para tomar decisiones Price Waterhouse Cooper

PaLos conceptos anteriores abren paso a un nuevo término bastante utilizado y el cual permite la variación del dinero dependiendo de las situaciones que se estudien o se tomen en cuenta, es así que el interés se enciende como aquella utilidad o ganancia después de prestar un dinero y hacer uso del mismo, ese dinero a su vez es entregado y pactando en ciertas condiciones como: tiempo y fecha de devolución. De allí surge la primera fórmula básica de interés, la cual se denominada de la siguiente manera: I = Pin Donde: I = es igual al interés. P = principal o inversión inicial. i = tasa de interés, la cual debe ser pactada al inicio de la operación. n = el número de periodos o el tiempo que durará la operación, también definido al inicio de la transacción. De acuerdo con la forma de capitalización de los intereses, se pueden establecer entonces dos tipos de interés.

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Tipos de interés

Interés simple

Interés compuesto

No permite capitalización de intereses.

También conocido bajo el concepto de capitalización. Figura 3. Tipos de interés en matemática financiera Fuente: propia

Antes de contextualizar al lector respecto a los dos tipos de interés, es pertinente entonces mencionar que la matemática financiera, facilita que los analistas teniendo dos cifras diferentes, y las cuales están en distintos momentos o tiempos, puedan tener una equivalencia. Ejemplo $100 el día de hoy podría llegar a ser equivalentes en términos de 12 meses a $110, solo si existiera una tasa de interés determinada del 10%, esto afirma que dicha tasa de interés es la que permite que estas dos cantidades en valor y en tiempos diferentes puedan llevar a ser iguales o equivalentes en poder adquisitivo, como se muestra en la figura. i = 10% $110

0

12 meses

$100

Figura 4. Equivalencia de tasas Fuente: propia

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En el mundo de las finanzas, existen diferentes tipos de decisiones que tanto personas naturales como jurídicas deben en cierto momento analizar y elegir, entonces se evidencian algunos tipos de decisiones que deben ser tomadas: • Decisiones de administración del riesgo: este tipo de decisiones se toman pensando en la manera más adecuada e idónea de administrar diversos riesgos y en la forma de evitar que lleguen a suceder, además de permitir analizar posibles oportunidades y crear ventajas. • Decisiones de consumo y ahorro: este tipo de decisiones son tomadas en el núcleo de las familias y de acuerdo con el tipo de decisión, estas pueden llegar a fortalecer o desestabilizar el entorno y bienestar, un ejemplo sería que una familia optará por consumir en grandes cantidades hoy, como resultado de esta decisión los niveles de ahorro serían menores y por ende menos posibilidades de inversión. • Decisiones relacionadas con el presupuesto de capital: este tipo de decisiones son principalmente tomadas por las empresas y el éxito o fracaso dependen de ellas, los resultados de las mismas son duraderas y trascienden en el tiempo, el tener presente una preparación adecuada de los presupuestos supone el contar con fondos suficientes para realizar expansión de activos empresariales. Debido a que hay un sinnúmero de decisiones por tomar diariamente, se hace necesario que los administradores tengan una visión holística del panorama y no solo se dediquen a realizar aplicación de fórmulas, sin tener en cuenta lo que las decisiones pueden traer consigo, es relevante, entender la lógica de los problemas que se presentan en la matemática financiera y en este sentido, entender que las fórmulas algebraicas se encuentran al servicio de las finanzas. Es importante resaltar, que dependiendo el tipo de literatura o del autor que se esté consultando, así mismo la nomenclatura de cada una de las partes que conforman las fórmulas pueden variar, a continuación, se señalará la nomenclatura que se utilizará en este espacio académico: • La tasa de interés identificada en la fórmula como (i), hace alusión a la rentabilidad que se genera o se paga por el uso del dinero en determinado periodo de tiempo. Esta tasa de interés se da en porcentaje, el cual también es denominado valor porcentual o valor relativo una vez se da el resultado de la operación, cabe aclarar que cuando se incorpora la tasa de interés en el desarrollo del problema esta debe ser dividida en 100 para poder trabajarla en términos de valor absoluto.

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Valor relativo

30 %

30/100

0.30

Valor absoluto

Figura 5. Cifra relativa y cifra absoluta Fuente: propia

• La letra I hace alusión al interés (I): es en términos monetarios, una suma de dinero que se cobra o se paga por el uso o por disfrutar un monto de dinero. • El valor presente que en este espacio académico será conocido como (P): Es el dinero o el capital que inicialmente se invierte al momento de comenzar una operación financiera. Según el autor puede ser también encontrado en libros como: (VP) = Valor Presente, (VT) = Valor de la Transacción, (C) = inversión inicial, entre otros. • El valor futuro conocido con la nomenclatura (VF): hace referencia al valor o dinero que está acumulado gracias a la tasa de interés (i), puede encontrarse a su vez como, (S) = capital final, (M) = Monto, (F) = Final o valor acumulado. • El número de periodos relacionados con el tiempo se establece cuando se pacta la operación financiera y está dado por (n), según el autor consultado también puede encontrarse en los libros como la letra (t). En este punto, es entonces importante identificar los diagramas de flujo e importancia en la matemática financiera, ya que los diagramas son los que permiten plasmar de manera más clara las operaciones o problemas financieros, determinando la posición en el tiempo, una vez desarrollado el diagrama, se procede a construir la ecuación financiera que permitirá dar solución al problema en cuestión.

Lectura recomendada

Para comprender cómo se realiza la representación gráfica realice la lectura del numeral 1.3 del capítulo 1 de: Matemáticas financieras Leonor Cabeza de Vergara y Jaime Castrillón Cifuentes

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Es necesario que el analista o quien esté desarrollando los problemas financieros, revise claramente los periodos e identifique las cantidades planteadas en dichos problemas, cuales representan ingresos y cuales son egresos. En todas las operaciones financieras siempre interactúan dos agentes: el primero que puede ser el que presta el dinero denominado también como prestamista, y un segundo quien es el que recibe el dinero y pagará por el uso del mismo, también conocido como el deudor. Dependiendo el caso que se analice, así mismo la gráfica tendrá una variación, esto se puede observar en la figura.

Gráfica para el banco o entidad financiera (quien presta el dinero) I=5%

VF = ? Ingresos

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

Meses

Egresos P = $ 20.000.000 Figura 6. Diagrama de flujos para el prestamista Fuente: propia

La gráfica se realizó para la entidad prestamista del dinero, allí el P $ 20.000.000 resulta ser un egreso para la entidad, ya que esta es quien está desembolsando el dinero o sacándolo de sus arcas, al finalizar los 12 meses, esta entidad recibirá un VF = X cantidad, cuyo valor será en su momento para el banco un ingreso, ya que regresa el dinero a su cuenta, este VF aplicando la tasa de interés del 5 %. (Es importante recordar que P también se conoce como VP o Valor Presente). Caso contrario sucede si se realizará el diagrama de flujo para el deudor o persona que solicitó el dinero prestado, en este caso el P de $ 20.000.000 será un ingreso en el momento 0, ya que lo está recibiendo a una tasa de interés del 5 % al cabo de los 12 meses, el deudor tendrá que devolver un VF de X cantidad, el cual será al final de los 12 meses un egreso para el deudor, como se muestra a continuación en la figura.

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Gráfica para el deudor (quien solicita el dinero prestado)v P = $ 20.000.000

I=5% Ingresos

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

Meses

Egresos VF = ? Figura 7. Diagrama de flujos para el deudor Fuente: propia

Revisando las dos situaciones, se puede determinar la diferencia que existe analizando el mismo problema desde dos puntos de vista diferentes y, como se debe elaborar de manera adecuada la gráfica al momento de desarrollar el problema financiero. Las operaciones financieras como se mencionó previamente, tienen una variable denominada (n) o periodos, el cual, hace referencia al tiempo, ya que una vez pactada dicha operación transcurre X tiempo entre la fecha inicial y la fecha en la que se debe pagar o hacer devolución del dinero, estos periodos entonces se pueden dar en el problema en términos de días, semanas, meses y años entre otros. Entonces se procede a realizar una equivalencia para el tiempo según la unidad en la que se vaya a trabajar como se ilustra en la figura.

1 año 360 días 48 semanas 24 quincenas 12 meses 6 bimestres 4 trimestres 3 cuatrimestres 2 semestres Figura 8. Equivalencia en tiempo dependiendo de la unidad a trabajar Fuente: propia

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Otro término trascendente en la matemática financiera es la fecha focal, dado a que uno de los objetivos es medir el impacto que trae consigo la toma de las decisiones de índole financiera para una empresa o para las familias, entonces dicha fecha focal o (ff) permite establecer dos cantidades o flujos a un mismo punto o periodo para que el resultado sea un mismo poder de adquisición como se evidencia en la figura.

P = $100

0

I = 10%

1

2

3

4

ff

5

6

7

Ingresos

8

9

10 11

12

Meses

Egresos VF = $110 Figura 9. Equivalencia en tiempo dependiendo de la unidad a trabajar Fuente: propia

En la figura se pueden observar dos cantidades en diferentes puntos o periodos, y siendo una cantidad los ingresos y la otra los egresos, son llevadas o igualadas en el mes 7 o n = 7, este sería entonces el punto para poder analizar las dos cantidades de la operación financiera o fecha focal del ejercicio. En este punto se puede llegar a la conclusión de que el ejercicio de la matemática financiera trata de realizar movimientos de cifras o flujos a un punto en común denominado ff, para poder realizar el análisis y respectiva toma de decisión.

Interés simple e interés compuesto

Interés simple El concepto que enmarca el interés simple, hace mención al tipo de interés que no deja realizar capitalización de los intereses que genera la operación financiera (Joemixx, 2010). El interés simple entonces se puede identificar por una serie de características que a continuación, se mencionan:

Capitalización

El concepto que enmarca el interés simple, hace mención a el tipo de interés que no deja realizar capitalización de los intereses que genera la operación financiera.

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• Únicamente a el capital invertido se le realiza la aplicación de la tasa de interés. • Los intereses generados en la operación financiera no son variables, esto quiere decir que permanecen constantes en cada uno de los periodos pactados. • A lo largo de la duración de la transacción financiera, el capital que se invierte, no sufre ningún tipo de variación. • El capital o monto invertido es pagado al final de la operación. Con base en lo anterior, entonces se puede decir que, de la fórmula básica del interés ya mencionado, surgen nuevas fórmulas para ser aplicadas: I = Pin Esta fórmula se utiliza para calcular el principal o la inversión.

Esta fórmula se utiliza para calcular la tasa de interés del ejercicio. Esta fórmula se aplica para realizar el cálculo del número de periodos del ejercicio. Ahora bien, es necesario determinar la fórmula básica del interés simple, ya que de ella surgen nuevas fórmulas para aplicar, a continuación, se plasman dichas formulaciones: F = P (1 + in) La anterior, es la fórmula básica del interés simple, de esta aparecen cuatro nuevas fórmulas que sirven para determinar: a. El valor presente del ejercicio en el interés simple, la cual será:

b. El número de periodos en la transacción financiera en el interés simple:

c. La tasa de interés que se cobra en el ejercicio:

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El valor que se encuentra entre paréntesis en finanzas es denominado el factor de interés, este paréntesis es el que permite en los ejercicios de índole financiera realizar la equivalencia de dos cifras en diferentes localizaciones de tiempo. Los ejercicios, aplicando las fórmulas anteriores serán desarrollados en el siguiente espacio académico. Siguiendo con el interés simple, es importante también mencionar que la equivalencia o conversión de las tasas de interés se define como un proceso aplicado mediante el cual una tasa de interés que está en diferentes condiciones puede llegar a dar como resultado un mismo F o valor final. Esta operación consiste en dividir o multiplicar la tasa de interés, dependiendo la equivalencia o conversión que se requiera.

Ejemplo La tasa del 30 % simple anual, es equivalente al 2,5 % simple mensual, con el simple hecho de dividir 30 entre 12 meses. O si se tiene una tasa del 2.5 % mensual y se quiere representar la tasa en términos anuales se multiplica 2.5 % por 12 dando como resultado 30 % simple anual.

Lectura recomendada

Se sugiere para mayor comprensión de la temática, realizar la lectura de las páginas 13 a la 15 del capítulo 2 Tipos de interés y leyes financieras. Fundamentos de matemática financiera Amaia Apraiz Larragán

Interés compuesto Este tipo de interés puede definirse como aquel que permite realizar capitalización de los intereses causados, es Causado decir, reinversión de intereses. Algunas de las características En contabilidad, el término causar hace referencia a aquellos hechos que se pueden mencionar son: económicos los cuales deben ser • Los intereses presentan capitalización, es decir se pueden reinvertir.

reconocidos en el momento en el que se realicen y no cuando estos sean recibidos o pagos, se reciba o se haga el pago.

• La tasa de interés pactada en la operación financiera, se puede aplicar tanto al capital invertido como a los intereses que se han generado.

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• El tipo de tasa que va a permitir realizar la capitalización o reinversión de los intereses se denomina tasa Tasa efectiva Es la tasa equivalente de una tasa efectiva. • Es importante además entender el concepto de tasa periódica, el cual hace referencia a la tasa que es devengada en un determinado periodo de conversión el cual también puede ser de pago de intereses.

periódica en la que el período se hace igual a un año y la causación siempre se da al vencimiento.

Se procede entonces a realizar el planteamiento algebraico, el cual permite analizar y desarrollar las operaciones o ejercicios en el interés compuesto:

De la anterior fórmula básica del interés, en el interés compuesto, surgen cuatro nuevas fórmulas que despejando cada variable de la principal permiten hallar: a. El principal o la inversión inicial en las operaciones financieras, la cual está dada por:

b. Se puede hallar la tasa de interés que está cobrando la transacción.

c. Finalmente, se puede calcular el número de periodos respectivos para la operación financiera:

Cuando se desarrollan problemas usando el interés compuesto en determinado tiempo, se hace referencia a las tasas de interés que de una u otra manera entra a afectar dicha operación, se procede a determinar ¿Cuánto cuesta el dinero en el ejercicio? Dicha tasa denominada efectiva, mencionada anteriormente es la que se deben tener en cuenta en los ejercicios financieros. Es esencial tener presente que surge una nueva fórmula, la cual se denomina fórmula básica del interés compuesto, la cual será: F = P (1 + i)n

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Esta fórmula, puede ser utilizada por el estudiante para que de ser necesario pueda hallar periodos, tasa de interés o el principal se despeje utilizando procedimientos matemáticos que permiten dar solución a los problemas financieros. Retomando, la tasa efectiva se entiende entonces como una tasa verdadera por incurrir en una deuda o por prestar un dinero. Para mayor claridad sobre las tasas nominales, revisar la figura. Ingresos

30%

Tasa.

Anual

Capitalizable

Plazo.

Mes

Periodo de capitalización.

Vencido

Momento de pago.

Figura 10. Tasa nominal Fuente: adaptado de (Ramírez y Martínez, 2010)

El proceso de conversión de tasas en el interés compuesto se puede realizar utilizando ciertas herramientas que permiten hacer el ejercicio de una manera más rápida y precisa, estas herramientas son: • A través de planteamientos matemáticos o formulación. • Mediante el uso de las hojas de cálculo en Microsoft Excel. • Utilizando calculadoras financieras. Lectura recomendada

Para mayor claridad sobre la conversión de tasas en el interés compuesto, se sugiere revisar el tema: uso de las calculadoras financieras en las páginas 102 a la 105. Matemáticas financieras Leonor Cabeza de Vergara y Jaime Castrillón Cifuentes

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Anualidades y amortizaciones

Anualidades Las anualidades en las operaciones de matemática financiera, son una serie de pagos que se deben realizar para poder cancelar una deuda adquirida o una inversión, dichos pagos que se esperan realizar, deben contar con algunas características como, ser equivalentes respecto al tiempo pactado al igual que tener una tasa de interés definida. Las anualidades en las operaciones de matemática financiera, son una serie de pagos que se deben realizar para poder cancelar una deuda adquirida o una inversión, dichos pagos que se esperan realizar, deben contar con algunas características como, ser equivalentes respecto al tiempo pactado al igual que tener una tasa de interés definida.

¡Impo rtante!

Es necesario dejar claro que los flujos de efectivo sin importar si estos son en determinado momento positivos o negativos, son equivalentes en un periodo de tiempo a la tasa de interés dada.

A continuación, se desarrolla un ejemplo que detalla de manera clara la aplicación de una anualidad: Andrea decide tomar un préstamo por un valor de $ 100, dicho crédito fue solicitado pactando un plazo de 2 meses, dichos pagos deberán ser iguales y de conformidad con las dos partes se determinó una tasa de interés igual al 3 %. Teniendo en cuenta que debemos adicionar los intereses para capitalizar planteamos: (1 + i)n. Se procede a plasmar el planteamiento del problema, el cual queda de la siguiente manera:

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Donde: 100 = valor del préstamo solicitado por Andrea. x = número de pagos pactados. Los exponentes corresponden al número de pagos o en este caso periodos pactados. En el presente ejercicio se pactaron dos pagos, por esta razón hay dos x, si hubiesen pactado tres pagos entonces aparecerían 3 x y así sucesivamente con el número de pagos establecidos entre el tomador del crédito y el banco. El resultado de cada uno de los pagos una vez se aplica la fórmula será de $ 52.261, entonces se entiende que Andrea deberá realizar dos pagos iguales cada uno por valor de $ 52.261 para cancelar los $ 100 pesos que tomo prestados de la entidad financiera. Es claro que, los datos necesarios para poder dar solución a las anualidades dependen de las condiciones con las que negocien tanto acreedor como deudor, ya que en dicha negociación se define la tasa de interés que se pagará por el uso del dinero, la cantidad de cuotas o el plazo en el que se pagara la deuda, y el monto que se desea solicitar prestado. Ahora bien, si se tienen más anualidades o cuotas por determinar, la fórmula para desarrollar el problema será:

¿Cuál es el valor presente de una anualidad mensual por valor de $ 500 durante un periodo de tiempo de 12 meses y cuya tasa de interés es de 5 %? La respuesta será P = 4431,626.

Del concepto de anualidad, se generan entonces unas clasificaciones las cuales se mencionan a continuación: 1. Anualidad ordinaria o anualidad vencida: este tipo de anualidades se caracteriza porque los pagos, comienzan a realizarse desde el periodo 1.

0

1 50

2 50

3

4

50

50

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2. Anualidad de tipo anticipado: en este caso los pagos comenzarán a realizarse inmediatamente desde el punto 0, periodo 0. 0

1

2 50

50

3 50

4 50

3. Anualidades diferidas: se pacta un periodo de gracia en el que se define que el primer pago, se realizará a partir del periodo dos en adelante. 0

1 50

2 50

3

4

50

50

Instrucción Realice la actividad de aprendizaje: pareo, y comprueba lo que has aprendido hasta el momento.

Amortizaciones Cuando se habla de amortizaciones, el término se refiere a un proceso de índole financiera en el cual se toma un valor que se desea pagar, en otras palabras, un dinero que se solicita prestado y que será cancelado en un periodo de tiempo determinado. Este ejercicio se ve con mayor claridad cuando una persona se acerca a una entidad financiera y solicita un crédito, dicho crédito debe ser cancelado teniendo en cuenta unos tiempos y una tasa de interés, así mismo se fijan unas cuotas mensuales las cuales reflejan el proceso de pago hasta saldar el valor del crédito. Dado que esta operación es un poco compleja a simple vista para los usuarios de créditos, los bancos realizan tablas de amortización las cuales permiten ver el paso a paso de cómo se pagará el dinero solicitado en el tiempo y con la tasa de interés pactado. En el caso de una amortización gradual, cada uno de los pagos que se realizará, deberán ser iguales y la frecuencia con la que se efectúan será exactamente la misma, se debe tener presente en este tipo de amortización los pagos siempre sean mayores a los intereses que se cancelaran en cada periodo para que la deuda se logre saldar en el tiempo establecido, de lo contrario se tendrá un efecto contrario y la deuda aumentará.

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Esto se puede visualizar mejor en la siguiente tabla: Mes/ periodo 0

Saldo de la deuda

Amortización

$

1.000

$

-

Interés (5%)

Cuota (pago)

1

$

750

$

250

$

50

$

300

2

$

500

$

250

$

38

$

288

3

$

250

$

250

$

25

$

275

4

$

-

$

250

$

13

$

266

$

1.000

$

125

$

1.128

Total

Tabla 1. Ejemplo de tabla de amortización Fuente: propia

Observe que el número de periodos pactados fue de 4 meses, el deudor solicitó un préstamo por $ 1000, los intereses causados mes a mes van desde 50 en el mes 1 hasta $ 12.5 en el mes 4 con una tasa de interés de 5 %, para lo cual se determinó una amortización para cada mes de $ 250. A medida que se realizan los pagos los cuales incluyen el interés y la amortización, se puede evidenciar la reducción en el saldo del crédito solicitado, logrando dejar la deuda en $ 0 pesos en el mes 4, periodo final pactado por el acreedor y el deudor.

Títulos valores y evaluación de proyectos

Títulos valores Cuando se menciona el término título valor se hace alusión a todos aquellos documentos de tipo mercantil en el cual se incorpora un derecho de índole privado y patrimonial, en otras palabras, es un tipo de documento que contiene condiciones crediticias y con base en la prestación que incorpora. Los títulos valores se clasifican en: a. Títulos valores de tipo crediticio: estos documentos incluyen a su vez todas aquellas letras de cambio, los cheques, facturas y los pagarés, entre otros. b. Títulos valores representativos de mercancías: en este grupo se encuentran los bonos y el Certificado de Depósito a Término (CDT). c. Títulos de participación: en este grupo se pueden categorizar las acciones de las empresas o las obligaciones negociables.

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d. Evaluación de proyectos: para poder efectuar con éxito la evaluación de proyectos, es necesario contar con ciertos índices, los cuales permitirán llevar a cabo dicho proceso. Los indicadores pueden ser: • Valor Presente Neto o VPN. • Tasa Interna de Retorno o TIR. • Relación Beneficio Costo o RBC. Entonces, el valor presente neto se entiende como la ganancia o la pérdida que es generada por el proyecto que se está evaluando y consiste en llevar tanto ingresos como egresos a pesos de hoy, y la finalidad de esta operación es determinar si el proyecto es viable o por el contrario se debe reformar. Es importante tener presente que para poder encontrar ese VPN se debe: • Determinar o identificar la vida útil del proyecto. • Identificar el flujo de caja, teniendo en cuenta tanto ingresos como egresos. • Analizar la tasa de oportunidad o tasa de descuento o la tasa mínima de rendimiento del inversionista. • Finalmente, sabe que si el resultado del VPN es mayor a la TIO, el proyecto será rentable, si el VPN es menor a la TIO, el proyecto no es rentable y si el valor del VPN es igual a la TIO se debe tener en cuenta el riesgo, aunque es indiferente el resultado.

TIO

La Tasa Interna de Oportunidad (TIO), se conoce como el rendimiento interno mínimo que toda inversión, se debe proporcionar para que el valor de mercado de las acciones de la empresa o proyecto se mantenga sin ningún cambio.

Instrucción Revise la galería que encuentra en los recursos del eje, para reforzar los conceptos básicos estudiados.

Respecto a la TIR o Tasa Interna de Retorno, es la que se encarga de realizar la igualación entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos o gastos y, es equivalente al rendimiento del proyecto en cuestión, es necesario realizar una igualación a 0 del valor presente de los ingresos restando el valor presente de los gastos de la siguiente forma: VPN = VPI - VPE = 0

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Para tomar la decisión se debe tener en cuenta que, si la TIR es mayor que la TIO entonces el proyecto será rentable, si la TIR es menor que la TIO, entonces el proyecto no será rentable y, por último, TIR = TIO este resultado es indiferente pero además el riesgo no se debe tener en cuenta. Finalmente, respecto a la Relación de Beneficio Costo o RBC: en este tipo de relación se analiza los ingresos contrastado los egresos, entonces si RBC es mayor a 1, el proyecto es rentable, RBC menor a 1, el proyecto no será rentable y RBC = 1 es indiferente pero tampoco se tiene en cuenta el riesgo.

Instrucción Para finalizar, observa atentamente la infografía que resume los conceptos claves del eje.

En síntesis, el estudio de la matemática financiera se hace necesario en las organizaciones, ya que es una herramienta que permitirá a los analistas entender el comportamiento del dinero y su valor en el tiempo, además de ser un proceso práctico que, mediante la ejecución adecuada del mismo, se pueden llegar a tomar decisiones pertinentes que guiarán la empresa a un éxito respecto a los competidores.

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