Laboratori 3 Mru (1)

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“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de Independencia”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIAS ESCUELA DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

LABORATORIO 3 – FISICA GENERAL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

REPRESENTANTES -

GARCIA GAMBOA ANGIE ESTRELLA

-

MENDOZA BAZAN CARLOS EDUARDO

-

VENEROS RODRIGUEZ JENIFER DAYANA.

DOCENTE TANTAQUISPE CASTILLO SANTOS MERARDO

TRUJILLO, PERÚ- 2021

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I.

OBJETIVOS

Objetivo general

 Aplicar y reconocer el método de ajuste cuadrático en el desarrollo de la práctica.

Objetivos específicos

 Representar los valores obtenidos mediante el experimento del carrito en MRU, en gráficos como en tablas.  Calcular el ajuste cuadrático a través de los datos obtenidos en el experimento.

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I.

MARCO TEÓRICO

M.R.U

El MRU es el movimiento más sencillo. La trayectoria, como lo indica su nombre, es una línea recta y la velocidad es constante (no hay aceleración). Un sistema móvil que se mueve en MRU avanza distancias idénticas en iguales tiempos, dado que la velocidad es constante. Esto quiere decir que por ejemplo, cada 4 segundos siempre estará avanzando la misma distancia. Un esquema de este tipo de movimiento podría ser:

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Dado que la velocidad es un valor constante, cuando un móvil se desplaza en MRU, el gráfico de la posición que tiene el móvil en función del tiempo es una línea recta cuya pendiente es la velocidad media. Recordemos de la Unidad 1 de Matemática, que la ecuación de una recta es y  m x  b, la variable independiente “x”, en este caso es el tiempo (t), la variable dependiente “y” es la posición (que usualmente en cinemática aparece como “xi”… a no confundirse…), la pendiente (m) es entonces:

AJUSTE DE MINIMOS CUADRATICOS

El método de mínimos cuadrados proporciona una forma de encontrar la mejor estimación, suponiendo que los errores (es decir, las diferencias con respecto al valor verdadero) sean aleatorias e imparciales.

Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos.

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Este método se utiliza comúnmente para analizar una serie de datos que se obtengan de algún estudio, con el fin de expresar su comportamiento de manera lineal y así minimizar los errores de la data tomada.

La creación del método de mínimos cuadrados generalmente se le acredita al matemático alemán Carl Friedrich Gauss, quien lo planteó en 1794 pero no lo publicó sino hasta 1809. El matemático francés Andrien-Marie Legendre fue el primero en publicarlo en 1805, este lo desarrolló de forma independiente.

1.1. DEFINICIÓN:

Su expresión general se basa en la ecuación de una recta y = mx + b. Donde m es la pendiente y b el punto de corte, y vienen expresadas de la siguiente manera:

Σ es el símbolo sumatoria de todos los términos, mientas (x, y) son los datos en estudio y n la cantidad de datos que existen. El método de mínimos cuadrados calcula a partir de los N pares de datos experimentales (x, y), los valores m y b que mejor ajustan los datos a una recta. Se entiende por el mejor ajuste aquella recta que hace mínimas las distancias d de los puntos medidos a la recta.

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Teniendo una serie de datos (x, y), mostrados en un gráfico o gráfica, si al conectar punto a punto no se describe una recta, debemos aplicar el método de mínimos cuadrados, basándonos en su expresión general:

Cuando se haga uso del método de mínimos cuadrados se debe buscar una línea de mejor ajuste que explique la posible relación entre una variable independiente y una variable dependiente. En el análisis de regresión, las variables dependientes se designan en el eje y vertical y las variables independientes se designan en el eje x horizontal. Estas designaciones formarán la ecuación para la línea de mejor ajuste, que se determina a partir del método de mínimos cuadrados.

1.2. EJEMPLO DEL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Para entender con claridad la aplicación del método veamos un ejemplo:

Encontrar la recta que mejor se ajusta a los siguientes datos:

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 Veamos el gráfico:

Necesitamos encontrar una recta y = mx + b. Debemos aplicar el método de mínimos cuadrados. Como ya sabemos entonces, primero centraremos el valor (x ∙ y):

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Segundo por las expresiones de m y b debemos encontrar el valor x²:

Sustituimos en cada una de las expresiones:

La recta obtenida con el método de los mínimos cuadrados es la siguiente:

Observemos el gráfico:

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Vemos que la recta corta al eje y en 11,48 y en el eje x en 13,57. Por lo tanto, si queremos saber dónde corta en el eje x igualamos la ecuación y = 0:

Despejamos x:

II.

METODOLOGÍA EXPERIMENTAL 2.1. MATERIALES, EQUIPOS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS

 Laptop que tenga el programa Excel

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 Usaremos esta herramienta de apoyo

2.2. METODOS Y TECNICAS

Para manejar la herramienta se tiene que tomar en cuenta lo siguiente:

Mediante las flechas selecciona las condiciones iniciales del movimiento, posición inicial, velocidad inicial y aceleración.

Pulsa el botón "INICIAR"

Ve pulsando el botón "ANOTAR" para anotar los datos en ese instante en la tabla. Procura que los datos que anotes abarquen todo el recorrido del móvil.

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FORMULAS ∑ x 2 ∑ y − ∑ x ∑ xy A= Δ B=

N ∑ xy − ∑ x ∑ y Δ

r=

∑(xi − x̅)(yi − y̅) √∑(xi − x̅)2 ∑(yi − y̅)2

𝛥 = 𝑁 ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)

2

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III.

N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 N=26

x(tiempo s) 0 0.22 0.36 0.5 0.74 0.88 1 1.12 1.24 1.38 1.5 1.68 1.82 1.94 2.06 2.18 2.34 2.46 2.64 2.8 3.02 3.18 3.32 3.46 3.6 3.94 49.38

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

y(distancia m) 0 0.66 1.08 1.5 2.22 2.64 3 3.36 3.72 4.14 4.5 5.04 5.46 5.82 6.18 6.54 7.02 7.38 7.92 8.4 9.06 9.54 9.96 10.38 10.8 11.82 148.14

𝑥2

𝑥

𝑥

̅

𝑥−𝑥

−̅

0 0.0484 0.1296 0.25 0.5476 0.7744 1 1.2544 1.5376 1.9044 2.25 2.8224 3.3124 3.7636 4.2436 4.7524 5.4756 6.0516 6.9696 7.84 9.1204 10.1124 11.0224 11.9716 12.96 15.5236 125.638

0 0.1452 0.3888 0.75 1.6428 2.3232 3 3.7632 4.6128 5.7132 6.75 8.4672 9.9372 11.2908 12.7308 14.2572 16.4268 18.1548 20.9088 23.52 27.3612 30.3372 33.0672 35.9148 38.88 46.5708 376.914

1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899 1.899

5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977 5.6977

-1.899 -1.679 -1.539 -1.399 -1.159 -1.019 -0.899 -0.779 -0.659 -0.519 -0.399 -0.219 -0.079 0.041 0.161 0.281 0.441 0.561 0.741 0.901 1.121 1.281 1.421 1.561 1.701 2.041 0.006

-5.6977 -5.0377 -4.6177 -4.1977 -3.4777 -3.0577 -2.6977 -2.3377 -1.9777 -1.5577 -1.1977 -0.6577 -0.2377 0.1223 0.4823 0.8423 1.3223 1.6823 2.2223 2.7023 3.3623 3.8423 4.2623 4.6823 5.1023 6.1223 -0.0002

I*J 10.8199323 8.4582983 7.1066403 5.8725823 4.0306543 3.1157963 2.4252323 1.8210683 1.3033043 0.8084463 0.4778823 0.1440363 0.0187783 0.0050143 0.0776503 0.2366863 0.5831343 0.9437703 1.6467243 2.4347723 3.7691383 4.9219863 6.0567283 7.3090703 8.6790123 12.4956143 95.5619538

𝑥 −𝑥

2

3.606201 2.819041 2.368521 1.957201 1.343281 1.038361 0.808201 0.606841 0.434281 0.269361 0.159201 0.047961 0.006241 0.001681 0.025921 0.078961 0.194481 0.314721 0.549081 0.811801 1.256641 1.640961 2.019241 2.436721 2.893401 4.165681 31.853986

−̅

2

32.4637853 25.3784213 21.3231533 17.6206853 12.0943973 9.34952929 7.27758529 5.46484129 3.91129729 2.42642929 1.43448529 0.43256929 0.05650129 0.01495729 0.23261329 0.70946929 1.74847729 2.83013329 4.93861729 7.30242529 11.3050613 14.7632693 18.1672013 21.9239333 26.0334653 37.4825573 286.685862

− − 𝑥 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13

Tiempo-Distancia 14 12

DISTANCIA (M)

10 8 6 4 2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

TIEMPO(S)

CALCULO DE CONSTANTES

=

+ 𝑥

𝛥 = 𝑁 ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)2 =26(125.638) – (49.38)2 =828.2

=

=

∑ 𝑥2 ∑ − ∑ 𝑥 ∑ 𝑥 125.638(148.14) − 49.38(376.914) = = 0𝑚 𝛥 828.2

𝑁∑𝑥 − ∑𝑥∑ 𝛥

=

26(376.8164) − 49.38(148.06) = 3𝑚/𝑠 828.2

∴ 𝑳𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂: 𝒚 = 𝟑𝒙

4

4.5

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COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL

𝑟=

∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )(

𝑖

− ̅)

√∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 ∑(

𝑖

− ̅)2

=1

INCERTIDUMBRE EN LA MEDICIÓN DE 𝒚

𝑁

1 𝜎𝑦 = √ ∑( 𝑁−2

𝑖

−

− 𝑥𝑖 )2 = 0

𝑖=1

LA INCERTIDUMBRE DE LAS CONSTANTES A Y B

∑ 𝑥2 𝜎𝐴 = 𝜎𝑦 √ =0 ∆

𝑁

𝜎𝐵 = 𝜎𝑦 √ ∆ =0

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IV.

CONCLUSIONES

 Se lograron los objetivos propuestos, ya que pudimos obtener los resultados esperados mediante los procesos teórico-prácticos, aplicando el ajuste cuadrático, pudiendo hallar las constantes y sus incertidumbres.  Se logró representar mediante un gráfico los resultados obtenidos en el simulador.

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V.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

P. (2020, 21 abril). Mínimos cuadrados. MiProfe.com. https://miprofe.com/minimos-cuadrados/

https://www.unse.edu.ar/archivos/Biofsica-Unidad%202%20Mecnica%20Clsicaversin%201.0.pdf