Material Guia II Tutoria 2021

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD PROGRAMA SEGURIDAD Y SALUD EN EL TRABAJO EVALUACION FINANCIERA Y SOCIAL DE PROYECTOS NOVENO SEMESTRE

TEMA SEGUNDA DE CLASE NOMBRE_______________________________ CODIGO___________________ TUTOR

HERNAN PINEDA LOAIZA

CREAD

MANIZALES __________________

Interés compuesto En el interés compuesto, los intereses que se van generando al final de cada periodo, se van añadiendo al capital, que sirve base para calcular los nuevos intereses generados con ese nuevo capital. Al finalizar cada periodo, el capital final será igual al capital inicial más los intereses:

Los intereses para cada periodo se calculan multiplicando el capital en ese periodo por el tipo de interés en tanto por uno, dividido entre 100:

Por tanto, el capital para el final de cada periodo se puede expresar como:

Que si sacamos factor común al capital inicial queda:

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Ahora imaginemos que queremos prestar o depositar $1.000.000 al 5% anual de interés compuesto. ¿Cuántos intereses se generarían en 2 años? Aplicamos la fórmula anterior para calcular el capital final, al término del primer año: Cf = 1.000.000(1+5/100) Cf = 1.050.000 Para el siguiente año, el capital inicial ya no son los $1.000.000 del principio, sino que hay que añadirle los intereses que se han generado durante el primer año. Por tanto, el capital inicial ahora son $1.050.000. El capital final es igual a: Cf = 1.050.000(1+5/100) Cf = 1.102.500

Para calcular los intereses generados al final de los dos años, restamos el capital final al término del segundo año el capital que teníamos al principio del todo: I = 1.102.500 – 1.000.000 I = 102.500 Si tuviéramos que calcular el capital final generado al cabo de 10 años, no es necesario repetir este proceso 10 veces. Esta vez lo he hecho así para que veas cómo funciona. Para obtener el capital final de cada año, lo que hacemos es multiplicar por (1+i/100) las mismas veces que el número de unidades de la cantidad de tiempo. Por tanto, para calcular el capital final con un interés compuesto, podemos utilizar la siguiente fórmula:

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Donde «Cf» es el capital final, «Ci» es el capital inicial, «i» son los intereses en tanto por uno y «t» es el tiempo que dura el préstamo o el depósito. En este caso no estamos calculando los intereses generados directamente, como en el cálculo del interés simple, sino que estamos calculando el capital final. Para calcular los intereses generados hay que restar el capital inicial al capital final:

Al igual que con el interés simple, en el interés compuesto el tipo o tasa de interés y el periodo de tiempo, deben expresarse en la misma unidad de tiempo. Por ejemplo: Calcular los intereses generados en un plazo fijo de $15.000.000 al 3% anual de interés compuesto al cabo de 5 años. Aplicamos la fórmula que acabamos de ver para el interés compuesto y sustituimos todos los datos que conocemos:

Y finalmente operamos:

Hemos calculado el capital final al cabo de 5 años, los intereses generados son:

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También podemos calcular cualquiera de las variables si conocemos las demás, con solo sustituir en la fórmula de interés compuesto y despejar la variable que falte. La más compleja de sustituir en este caso es el tiempo, ya que es el exponente de una potencia y para despejarla, hay que aplicar las propiedades de los logaritmos. Te recomiendo echar un vistazo al Curso de Logaritmos si no los dominas. Por ejemplo: ¿Cuántos años debe estar un depósito  de $8.000.000, a un interés compuesto del  5% anual, para que se convierta en $10.000.000 ? En este caso el capital inicial son $8.000.000 y el capital final son $10.000.000. Sustituimos todos los datos en la fórmula de interés compuesto, y nos queda por despejar el tiempo:

Ahora dejamos la potencia sola en el segundo miembro, pasando el $8.000.000 dividiendo al primer miembro:

Operamos en ambos miembros para simplificar cálculos:

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La «t» queda en el exponente. Para despejarla, utilizaremos las propiedades de los logaritmos. Aplicamos logaritmos en ambos miembros:

La «t» pasa multiplicando al logaritmo:

Y ahora despejamos la «t», ya que ambos logaritmos son números que pueden obtenerse con la calculadora:

Ejercicios resueltos sobre interés compuesto Ejercicio 1 Se ha pedido un préstamo a devolver durante 6 años a una tasa de interés compuesto trimestral del 3% y la cantidad que se ha pagado al final de los 6 años ha sido de $13.500.000. ¿De cuánto se ha pedido el préstamo? Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula del interés compuesto:

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En este caso, hay que pasar los años a trimestres multiplicando por 4, ya que el tipo de interés es trimestral. Operamos para simplificar la expresión:

Despejamos el capital y lo calculamos:

Ejercicio 2 Calcula la tasa de interés compuesto que se aplica a un capital inicial de $13.000.000 para que después de 3 años se tengan $14.500.000. Sustituimos los datos conocidos en la fórmula:

Vamos a despejar el tipo de interés, que está dentro de la potencia. Para ello, en primer lugar pasamos el 13.000 dividiendo el primer miembro:

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Ahora pasamos el cubo como raíz cúbica:

Pasamos el 1 restando:

Por último pasamos el 100 multiplicando a todo el primer miembro y operamos:

Ejercicio 3 Se realiza un plazo fijo de $15.000.000 al tipo de interés compuesto anual del 3% y se pretende retirarlos al llegar a $18.000.000 ¿Cuántos años debe estar el plazo fijo como mínimo? Sustituimos los datos conocidos en la fórmula del capital final con interés compuesto:

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Tenemos que despejar la t mediante logaritmos igual que en el ejemplo de más arriba. Pasamos el $15.000.000 dividiendo al primer miembro:

Operamos para simplificar la expresión:

Aplicamos logaritmos:

Pasamos la t multiplicando al logaritmo en el segundo miembro:

Despejamos la t y operamos:

Ejercicios Propuestos

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1- Un capital de $20.000.000 ha estado invertido un cierto tiempo a un tipo de interés del 1% anual y ha generado unos intereses de $4.000.000. ¿Cuánto tiempo estuvo invertido?

2- Juan duda entre pedir un préstamo de $10.000.000 a devolver en 8 años en el banco, a un tipo de interés del 8% anual, a una entidad financiera, que le ofrece un 1,9% trimestral o a un usurero que presta dinero al 1% mensual. Analiza cuánto dinero pagaría de intereses en cada caso y qué opción le conviene más.

3- ¿A qué tipo de interés compuesto se debe colocar un capital de $10.000.000 para que se duplique al final de 12 años?

4- Halla durante cuántos años se ha colocado un capital de $2.800.000 a un interés simple del 5% para obtener al final del periodo un capital de $3.920.000 ¿Y si se deposita a un interés compuesto del 5%?

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