Material 3

Cálculo vectorial FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL Competencia de la unidad: Reconocer una función vectorial en distintos contextos y manejarla como un vector. Así como analizar gráficas de curvas de funciones vectoriales en el espacio y determinar los parámetros que definen una curva en el espacio. Competencias específicas:  Definir las funciones vectoriales de variable real y determinar su dominio.  Calcular los límites y determinar la continuidad de funciones vectoriales de variable real.  Resolver problemas sobre derivadas de funciones vectoriales e interpretar las soluciones.  Analizar y resolver problemas sobre integración vectorial y longitud de arco e interpretar las soluciones.  Calcular el vector tangente unitario, el vector normal principal, la binormal y la curvatura para funciones de variable real y resolver problemas.

FUNCIONES VECTORIALES: Definición: Son vectores cuyas componentes son funciones. Es una correspondencia que asocia a cada número t en el dominio D un vector único r (t ) en V3. Determina la trayectoria de un móvil. Las gráficas de las funciones vectoriales son curvas, las cuales también pueden representarse por ecuaciones paramétricas. Las aplicaciones geométricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes y normales a una curva y curvatura. En las aplicaciones físicas se emplean los vectores para estudiar el movimiento de una partícula a lo largo de una curva.

 Una función vectorial se denota por: R(t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ Interpretación geométrica: El dominio D se puede representar por puntos en una recta real.

 Actividad 1: Sea r (t) = (t + 2) iˆ + (2t2 – 3) ˆj + t3 kˆ Determinar a) r(1) y r(2) y trazar sus vectores de posición. b) ¿Para qué valores de t el vector de posición r (t ) está en el plano XY, YZ? SOLUCIÓN

AMMG

1

Cálculo vectorial

DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL  Sea R una función vectorial cuyos valores de función están dados por:

 R(t )  f (t ) iˆ  g (t ) ˆj  h(t ) kˆ  Entonces el límite de R(t ) cuando t tiende a a está definido por:

       lim R(t )  lim f (t ) iˆ  lim g (t )  ˆj  lim h(t )  kˆ t a  t a   t a   t a  Si lim f (t ) , lim g (t ) y lim h(t ) existen. t a

t a

t a

Actividad 2: Obtenga el límite de las funciones vectoriales siguientes:

  a) lim R(t ) si R(t )  cos t iˆ  2e t ˆj  3 kˆ t 0

 lim R(t )  lim cos t  iˆ  2lim e t  ˆj  lim 3  kˆ  t 0   t 0   t 0  t 0

 lim R(t )  iˆ  2 ˆj  3kˆ t 0

  t 2 1 t 1 ˆj b) lim R(t ) si R(t )  iˆ  t 1 t 1 t  1

AMMG

2

Cálculo vectorial

  1  cos t c) lim R(t ) si R(t )  iˆ  e t ˆj  e t kˆ t t 0   1  cos t  ˆ  lim R(t )  lim i  lim e t  ˆj  lim e t  kˆ   t 0  t  0 t  t 0    t 0

Aplicando Regla de L’Hopital en el primer componente para quitar la indeterminación  lim R(t )  lim sent  iˆ  lim e t  ˆj  lim e t  t 0   t 0   t 0 t 0

 kˆ 

0 0

Realizando el proceso a límite

 lim R(t )  0 iˆ  ˆj  kˆ t 0

 lim R(t )  ˆj  kˆ t 0

  1  cos t 1  cos 2 t t2 ˆ ˆj  d) lim R(t ) si R(t )  iˆ  k 1  sent 1  cos t sent t 0   1  cos t lim R(t )  lim t 0 t 0 1  sent

2 t2  ˆ  ˆ  1  cos t  ˆ   j  lim  k ……. 1  i  tlim t 0 sent   0 1  cos t 

Aplicando Regla de L’Hopital en el segundo y tercer componente para quitar la indeterminación

0 0

Derivando simultáneamente el numerador y denominador del segundo componente se obtiene: Numerador

AMMG

d (1  cos 2 t ) d [1  (cos t ) 2 ] d cos t   2 cos t  2 cos t ( sent )  2 cos tsent dt dt dt

3

Cálculo vectorial Denominador

d (1  cos t )  sent dt

Derivando simultáneamente el numerador y denominador del tercer componente se obtiene: Numerador

dt 2  2t dt

Denominador

dsent  cos t dt

Sustituyendo en 1  1  cos t 2 cos tsent 2t ˆ ˆj  R(t )  iˆ  k 1  sent sent cos t  1  cos t 2t ˆ R(t )  iˆ  2 cos t ˆj  k 1  sent cos t

 t  1  cos t  ˆ   lim R(t )  lim i  2 lim cos t  ˆj  2 lim   t 0  t 0 1  sent  t 0 cos t t 0

ˆ  k

Realizando el proceso a límite

 lim R(t )  2 iˆ  2 ˆj t 0

  t  sent sent sen 2 t ˆ ˆ ˆ e) lim R(t ) si R(t )  i  2 j k t t3 t t 0 Solución:  t  sent  lim R(t )  lim t 0 t 0 t 3

 sent  sen 2 t  ˆ   ˆ ˆ i  lim j  lim  k  t 0 2  t    t 0 t 

Se observa indeterminación en todos los componentes de la función vectorial, para ello aplicamos L’Hopital en cada uno de ellos.

AMMG

4

Cálculo vectorial

  cos t tan t sen3t ˆ ˆj  f) lim R(t ) si R(t )  iˆ  k t sen2t sen5t t 0 Solución:

 cos t  lim R(t )  lim t 0 t 0 t

tan t  sen3t  ˆ ˆ  ˆj  lim k  i  tlim  0 sen2t  t 0 sen5t 

Se observa que al tomar límite en la componente 1 este no existe, y hay indeterminación en los componentes 2 y 3 de la función vectorial, peo como el límite de la componente 1 no está definido entonces, se dice:

 lim R(t ) no existe.

t 0

  TAREA 1: El cálculo de Louis Leithold, Página 870, problemas 17 y 19 y lim R(t ) si a) lim R(t ) si t 0

t 0

  t tan t sen 4t ˆ ˆj  a) lim R(t ) si R(t )  iˆ  k t 0 sent sen5t sen7t

  t  sent sen5t sen 2 t ˆ ˆ ˆj  i k b) lim R(t ) si R(t )  t 0 sen3t t t3 CONTINUIDAD DE FUNCIONES VECTORIALES

DEFINICIÓN: Se dice que la función vectorial es continua si cada una de las componentes es continua. En general debe cumplir:   Lim R(t ) = R(a) t a

 Actividad 3: indique en qué puntos la función r (t) no es continua. a)

 1 1 ˆj R(t ) = iˆ + t2 t

En t = 0

t = 2 no es continua  o bien

 b) R(t )  ln(t  1) ˆi 

t 1  0 t  1 AMMG

1 t 4 2

t  2

 R(t ) es continua (-  ,0) U (0,2) U (2,  )

ˆj

l -1

0

2



D: (1, ), t  2 5

Cálculo vectorial Por lo tanto, es continua en (1, ), t  2  c) R(t ) 

1 ˆi  ln(4  t ) ˆj 2t  5

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL   Se obtiene derivando cada componente de R(t ) si R(t ) = f(t) iˆ + g(t) ˆj + h(t) kˆ donde f, g y h son derivables entonces:  R ' (t ) = f ´(t) iˆ + g ´(t) ˆj + h ´(t) kˆ

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR  Si f, g y h tiene segundas derivadas entonces se deriva sucesivamente R(t ) .

 Actividad 4: Sea r (t) = ln(t ) ˆi + e 3t ˆj + t 2 kˆ Determinar:  i) El dominio de r (t) y los intervalos donde es continua    ii) r ´(t) , r ´´(t) y r IV (t) SOLUCIÓN i) ln 1 = 0 si ln (-1) = no existe

 el dominio D =

t0

0 bien de (0, )

ln (0) = no existe Es continua de (0,  ) 1  ii) r ´ (t) = iˆ – 3 e 3t ˆj + 2t kˆ t

 r ´ (t)

=

1 3 iˆ - 3t ˆj + 2t kˆ e t

 r ´´ (t) = - t 2 iˆ + 9e 3t ˆj + 2 kˆ AMMG

6

Cálculo vectorial 1 9  r ´´ (t) = 2 iˆ + 3t ˆj + 2 kˆ t e

 r ´´´(t) = 2t 3 iˆ – 27 e 3t ˆj + 2 kˆ  r

IV

 r

IV

(t) = - 6t 4 iˆ + 81e 3t ˆj 6 81 iˆ + 3t ˆj 4 e t

(t) =

Actividad 5: Dada la función vectorial determine en cada inciso:  i) Dominio de r (t)  ii) r ´(t) y su dominio. a)

 r (t) =

1 ˆ i + 2t 2 ˆj t 1

i) D: t  -1

D: (-  , -1) U (-1,  ) todos los números reales, excepto t=1

 1 2 ii) r (t) = (t + 1) iˆ + 2t ˆj r ' (t ) = - (t + 1) 2 iˆ + 4t ˆj i iˆ + 4t ˆj r ' (t ) = (t  1) 2

b)

 r (t) =

t 2  4 iˆ + 5t 3 ˆj

i) D: (-  ,- 2] U [2,  ) 1  ii) r (t) = (t 2 - 4) 2 iˆ + 5t 3 ˆj

r ' (t ) =

t t 4 2

iˆ + 15t 2 ˆj

D: (-  ,- 2) U (2,  ) c)

 r (t) = [cos (5t+1) ] iˆ + i)

AMMG

1 ˆj + (7t+1) 2 kˆ 4t e

D: R

7

Cálculo vectorial ii) r ' (t ) = - sen(5t+1) * 5 iˆ – 4e 4t ˆj + (2)(7t+1)*7 kˆ r ' (t ) = - 5sen(5t+1) iˆ – 4 e 4t

ˆj + 14 (7t+1) kˆ

D: R

TAREA 2: El Cálculo. Louis Leithold, 7ma. edición Página Problemas 880 1- 13 impares 910 1, 9, 15 PRÁCTICA 1: En equipo de tres personas, resuelva los ejercicios y entregue un trabajo al final de la clase. 1) Dadas las funciones vectoriales, indicar donde son continuas. 1 ˆ  a) r(t )  ln(t  2) ˆi  j  t 2 kˆ t4  b) r(t )  t  4 ˆi 

 c) r (t ) 

1 ˆj  e 2 t kˆ (t  3)(2t  5)

1 t 1 ˆj  kˆ iˆ  t4 t t2

2) Derive las funciones vectoriales, ¿para qué valores de t existe la derivada? 1  a) r(t )  e 3 t ˆi  t cos( 2t ) ˆj  2 kˆ t  b) r (t )  ln(t ) iˆ  (3t 2  5t ) ˆj  t 2 kˆ

DEFINICIÓN DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

 Si R(t )  f (t ) iˆ  g (t ) ˆj  h(t ) kˆ , donde f, g y h son continuas en [a, b], la integral indefinida (o primitiva)  de R(t ) es:



  R(t )dt   







     f (t )dt  iˆ   g (t )dt  ˆj   h(t )dt  kˆ …………. 1     

La solución de 1 se obtiene integrando cada componente:

 f (t)dt F (t)  C

1

Donde: AMMG

F’(t) = f(t)

 g(t)dt G(t)  C

2

G’(t) = g(t)

 h(t)dt H (t)  C

3

H’(t) = h(t) 8

Cálculo vectorial Las 3 constantes escalares de integración producen una constante vectorial de integración, sustituyendo en 1:

 

 R(t )dt  F (t )  C1  iˆ  G (t )  C2  ˆj  H (t )  C3  kˆ



 R(t )dt  r (t )  C

 R(t )dtt  F (t ) iˆ  G (t ) ˆj  H (t ) kˆ  C1 iˆ  C2 ˆj  C3 kˆ

Donde:

Antiderivada o primitiva

r’(t) = R(t)

La integral indefinida de una función vectorial representa a una familia de funciones vectoriales que difieren una de otras en algún vector constante. La integral definida sobre el intervalo a  t  b es: b

 a

b  b  b        R(t )dt  f (t )dt iˆ  g (t )dt ˆj  h(t )dt  kˆ        a  a   a  







Actividad 6: Obtenga las siguientes integrales: a)







t2 3     (t iˆ  3t ˆj )dt   tdt  iˆ  3 tdt  ˆj  iˆ  t 2 ˆj  C 2 2    

1



 1 ˆj si R(t )  3 t iˆ  t 1

 b) R (t )dt 0

1

 0

1

 0

1



1 1  1   1    3 R(t )dt  t dt iˆ  dt  ˆj    t 1   0   0 





u  t 1 Haciendo cambio de variable en la segunda integral du  dt

1 1  2   1    R(t )dt  t 3 dt iˆ  du  ˆj    u    0   1



4



1

 3t 3 R(t )dt  4

0

AMMG

iˆ  ln u

2 1

3 3 ˆj = 3 (1) 4  0 iˆ  ln 2  ln 1  ˆj  iˆ  ln 2 ˆj     4 4

0

9

Cálculo vectorial c)

d)



 R (t )dt

t  1 si R( t )  e 3 ˆi  cos( 5t ) ˆj  kˆ t



 R (t )dt

 si R(t )  (3t  2) iˆ 



1 5 ˆ ˆj  k cos 2t 4t  1

 e) R (t )dt

 si R(t )  cos 2 (3t) iˆ  ln t ˆj

TAREA 3:

  4t 2  3t  1 ˆ ˆ j R (t )dt SI R ( t )  arctan (t) i  t(2t  1) 2

AMMG



10

Cálculo vectorial CURVA EN EL ESPACIO Es el conjunto de ternas ordenadas de la forma: [f(t), g(t), h(t)], donde f, g, h son funciones continuas en un intervalo I. Ecuaciones paramétricas de una curva C. x = f(t), y = g(t), z = h(t)

 por lo que, R(t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ

Si una curva “C” tiene una parametrización regular x = f(t), y = g(t), z = h(t), en a  t  b y si “C” no se corta a si misma, excepto posiblemente en los extremos del intervalo [a, b], entonces la longitud (L) de “C” es: b

L=



 f ' (t ) 2  g ' (t ) 2  h' (t ) 2 dt

a

b

L=

 R ' (t) dt a

NOTA: Para obtener la longitud de una curva se determina la derivada de las componentes de la función vectorial Actividad 7: Determine la longitud de la curva parametrizada por: x = t2, y = t sen(t), z = t cos(t) en el intervalo de [0,1]. b

L=



f' (x) 2  g' (x) 2  h' (t)2 dt

a

f(t) = x = t 2 g(t) = y = t sen(t) h (t) = z = t cos(t) Sustituyendo en =

f ’(t) = 2 t g ’(t) = t cos(t) + sen(t) h’(t) = - t sen(t) + cos(t)

f' (x) 2  g' (x) 2  h' (t)2

2t 2  tcos(t)  sen(t)2   tsen(t)  cos(t)2

= 4t 2  t 2 cos 2 (t )  2tcos(t)  sen(t)  sen 2 (t )  t 2sen 2 (t)  2tsen(t)cos(t)  cos 2 (t) =

4t 2  t 2 [cos 2 (t )  sen2 (t )]  [sen 2 (t )  cos 2 (t)] =

4t 2  t 2  1 =

5t 2  1

Sustituyendo en L AMMG

11

Cálculo vectorial 1

L



5t 2  1 dt

0

Fórmula 24:

u2  5 t2 u

u a2  u2  a2  ln u  u 2  a 2   2 2 

a2 = 1

5t

du  5 dt du  dt 5 1

L 0

L



u 2  a 2 du 

a=1

1

1

 1 1 t 1 2 2 5t  1dt  u 2  a 2 du   2 5t  1  ln 5 t  5t  1  tomando límites para t  50 5 0 2





 1  1  1 5  1  0  ln 5  5  1  ln 1   5  2  2 

L = 1.57 Unidades de longitud

TAREA 4: El Cálculo. Louis Leithold, 7ma. edición Página Problemas 881 49, 51 911 25 CURVATURA DE LÍNEAS Se ha dicho que el vector v apunta en la dirección del movimiento. Cuando una partícula recorre una curva “c” puede cambiar su velocidad rápida o lentamente dependiendo de si “C“ se dobla brusca o gradualmente. Para medir la rapidez con que “C” se encorva o cambia de forma, se usa el concepto de curvatura.

  Si r (t) es una función vectorial y “C” está determinada por r (t) y es regular, entonces:  r ’(t) es un vector tangente a C VECTOR UNITARIO TANGENTE  Se denota por: T (t) y se define por:   r ' (t )  T (t) =  si r ’(t)  0 r ' (t )

  Si T es derivable entonces r ’(t) es ortogonal (perpendicular) a T (t). AMMG

12

Cálculo vectorial

  T. T’=0 VECTOR NORMAL PRINCIPAL UNITARIO  Es el vector unitario que tiene la misma dirección que T (t).

 Se denota por: N (t) Se define por:

  T ' (t ) N (t) =  T ' (t )

 si T (t)  0

  Las expresiones anteriores se pueden aplicar tanto a curvas planas, curvas espaciales, cuando T (t) y N (t) se representan geométricamente se toma en cuenta:  El punto inicial en el punto P de C correspondiente a t.

  El vector tangente r ’(t) apunta en la dirección en que el punto se mueve cuando “t” aumenta, también T (t) apunta en esa dirección.  T t 

f(t)

 r t 

 N t 

t

 Actividad 8: Se tiene la curva “ C “ plana determinada por: r (t) = t2 i + t j a) Encontrar el vector tangente unitario. b) Trazar C, T (1).

Solución: a) Vector tangente unitario

 T (t ) =

 r ' (t )  r ' (t )

 r ' (t )  2t iˆ  ˆj  r ' (t ) =

4t 2  1

 2t iˆ  ˆj 2t 1 ˆj T (t) =  iˆ  4t 2  1 4t 2  1 4t 2  1  b) Trazar C, T (1). AMMG

13

Cálculo vectorial Para t = 1 r(1)  iˆ  ˆj  (1, 1)  2i  j = T (1)  5

Para graficar: t -2  r t  (4, -2)

-1 (1, -1)

2 1 ˆj iˆ  5 5

0 (0, 0)

1 (1, 1)

Actividad 9: Hallar el vector r( t )  2 cos( t ) ˆi  2sen( t ) ˆj .

2 (4, 2)

normal

principal

unitario

para

el

círculo

dado

por:

Solución:

CURVATURA DE “C” EN EL PUNTO P( X, Y) Se denota por:

K

Se define:

K=

d ds

Sea C una curva plana que tiene parametrización x = f(t) , y = g(t), z = h(t) regular dada por: x = f(s), y = g(s), z = h(s) donde s = longitud de arco y   ángulo entre el vector unitario tangente e iˆ .

AMMG

14

Cálculo vectorial y

T s  s C

x

Si una curva regular “c” es la gráfica de y = f(x), entonces la curvatura K en P(x,y) es y ''

K=

1  y  

3 ' 2 2

Si una curva plana “C” está dada paramétricamente por: x = f(t), y = g(t) donde f’’ y g’’ existen, entonces la curvatura K en P(x,y) es

f ' t g '' t   g ' t  f '' t  K=

 f ' t 

2



3 2 2

 g' t 

Actividad 10: Demostrar que la curvatura en todos los puntos de una circunferencia de radio K es igual 1 a . La circunferencia de radio k con centro en el origen tienen las siguientes ecuaciones paramétricas. k x = kcos(t)

y = ksen(t)

f ' t g '' t   g ' t  f '' t  K=

 f ' t 

2



3 2 2

 g' t 

x = f(t)

y = g(t)

f’(t) = - k sen(t)

g’(t) = k cos(t)

f ’’(t) = - k cos(t)

g ’’(t) = - k sen(t)

K=

[ ksen( t )][ ksen( t )]  [ k cos( t )][ k cos t( t )]

AMMG

 k



3

2

sen 2 ( t )  k 2 cos 2 ( t ) 2 15



k 2 sen 2 ( t )  k 2 cos 2 ( t ) K=

k sen ( t )  cos ( t ) 2

k2 K=

k

3

2



k2 k

3 2

2

3



1 k

Cálculo vectorial



k 2 sen 2 ( t )  cos 2 ( t ) =

 

3 2 2 k

L. Q. Q. D.

Actividad 11: Determine la curvatura K en el punto P(0, 1) si y = 1 - x2. K=

y' '

y’ = - 2x, y ” = - 2

3 2 2

1   y '   K=

2



2

1   2x   3 2 2



3 1  4x 2 2



2

1  4 x 

2 3

Sustituyendo x del punto P(0,1)

K=2

APLICACIONES Se estudiará el movimiento de una partícula en el plano y la función de posición de un proyectil.

Movimiento de una partícula en el plano Cuando una partícula se mueve sobre una curva en el plano, las coordenadas (x, y) de su centro de masa son funciones del tiempo. En vez de utilizar f y g para ellas se usará : f = x(t) g = y(t)

 Por lo tanto, el vector de posición será: r (t )  x(t )iˆ  y(t ) ˆj que representa el movimiento de la partícula en el plano. El vector tangente r ' (t) se denomina por definición velocidad de la partícula al tiempo t. El vector r ' ' (t) representa la aceleración de la partícula.

AMMG

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Cálculo vectorial La velocidad y la aceleración se representan geométricamente por vectores con punto inicial P. En la mayoría de los casos r ' ' (t) apunta hacia el lado cóncavo de C. La rapidez de la velocidad no es más que la magnitud de la velocidad. f(t)

 r'

P

 r

 r '' t

Actividad 12: Una partícula se mueve a lo largo de una curva, donde x = 2t3, y = t2 – 4t, z = 3t – 5, siendo t el tiempo. Hallar: a) v (1) y a (1) .  b) Las componentes de velocidad y aceleración en la dirección de b = (1, -3, 2) cuando t = 1. Solución: La función vectorial es: r(t )  2t 3 iˆ  (t 2 - 4t) ˆj  (3t  5) kˆ  a (t )  r ' ' (t )  12t iˆ  2 ˆj a) v(t )  r ' (t )  6t 2 iˆ  (2t  4) ˆj  3 kˆ  a (1)  r ' ' (1)  12 iˆ  2 ˆj v(1)  r ' (1)  6(1) 2 iˆ  (2  4) ˆj  3 kˆ  6 iˆ  2 ˆj  3 kˆ b) Componente de lavelocidad v.b compb v   b

compb v (t )  compb v (t )

(6t 2 , 2t  4, 3).(1,  3, 2) 1 9  4

6t 2  (2t  4)(3)  6  14

compb v (t ) 

6t 2  6t  12  6 14

6t 2  6t  18 compb v (t )  14

AMMG

Componente de la aceleración  a.b   compb a   b compb a (t ) 

(12t , 2, 0).(1,  3, 2) 14

12t  6 compb a (t )  14 compb a (1) 

6 14

compb a  1.6

17

Cálculo vectorial 6  6  18 compb v (1)   4.8 14

Actividad 13: El vector de posición de una partícula que se mueve en el plano coordenado es: r(t )  (t 2  t) iˆ  t 3 ˆj para 0  t  2 a) Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula al tiempo t. b) Trazar la trayectoria C de la partícula y representar geométricamente v(1) y a(1) .

Actividad 14: El vector de posición de una partícula que se mueve en plano coordenado es: r(t )  2t iˆ  3t 2 ˆj  t 3 kˆ para 0  t  2 a) Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula al tiempo t. b) Trazar la trayectoria C de la partícula y representar geométricamente v(1) y a(1) .  a) v(t )  r ' (t )  2 iˆ  6t ˆj  3t 2 kˆ a (t )  r ' ' (t )  6 ˆj  6tkˆ f(x)     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v (1)  r ' (1)  2 i  6 j  3k a (1)  r ' ' (1)  6 j  6k Las ecuaciones paramétricas son: x = 2t

t x y z

y = 3t2

z = t3

Dando valores en el intervalo de t 0  t  2 0 1 2 0 2 4 0 3 12 0 1 8

C

a (1) v (1)

y

x Sustituyendo t =1 en la función vectorial para obtener el punto P(2, 3, 1).

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Cálculo vectorial Actividad 15: Una partícula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son: x = e-t y = 2 cos(3t) z = 2 sen(3t) Siendo t el tiempo. Hallar: a) La velocidad y aceleración al tiempo t. b) El modulo de la velocidad y la aceleración en el instante t = 0. Solución:

FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UN PROYECTIL Movimiento de proyectiles Es el movimiento bidimensional de una partícula disparada oblicuamente al aire, por ejemplo el movimiento ideal de una pelota de baseball, de una bola de golf, de una bala, etc. La trayectoria de un proyectil localizado desde una altura inicial “h” con una velocidad inicial V0 y un ángulo de elevación  se describe por la función vectorial: 1  r (t) = [Vo cos()t] iˆ + [h + [Vo sen()t - gt2 ] ˆj 2

Donde: g = Gravedad (constante gravitacional, 9.8 m/s2, 32 ft/s2) h = Altura V0 = Velocidad inicial t = Tiempo  = Ángulo de elevación Demostración: a (t )   gˆj dv (t )  a (t )  dt AMMG

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Cálculo vectorial



a (t )dt 

v (t ) 





dv (t )

 gˆjdt

v(t )   gt ˆj  C1 …… A dr (t )   v (t ) dt dr (t )  v (t )dt

 dr(t)   v(t)dt r (t )   gt ˆj  C dt  1

2

t ˆj  C1t  C 2 …… B r (t )   g 2

Para determinar las constantes de integración: t  0 v (0)  V0 t  0 r (0)  r 0

Sustituyendo en A

Sustituyendo en B

v(t )   gt ˆj  C1

t r (t )   g ˆj  C1t  C 2 2 r0  C2

V0  C1

2

Sustituyendo las constantes en la función vectorial:

t ˆj  V0 t  r0 r (t )   g 2

La altura máxima se obtiene cuando la derivada del componente vertical de la velocidad es 0. En muchos  . Frecuentemente se da la problemas de proyectiles no se da explícitamente los vectores constantes r 0 y v 0 altura inicial “h”, la rapidez inicial

v (0) = V0 = Rapidez inicial r (0) = h = Altura inicial Donde se tiene: h = r (0) =

v

0

y el ángulo de elevación .

f(t)

 v

0

C

 r

0

= h ˆj

hmax

 r

0

h Alcance

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t 20

Cálculo vectorial

 respecto de la 4 horizontal y con una velocidad de 100 ft/s. Determine la altura máxima que alcanzó la pelota. Actividad 16: Se golpea una pelota de baseball a 3ft del suelo con un

f(t)

Datos h = 3ft  = 45 

 v

ángulo de

0

C

ft v  100 s hmax = ?

hmax



3

t Alcance

Planteando la función vectorial 1  r (t) = [Vo cos()t] iˆ + [h + [Vo sen()t - gt2 ] ˆj 2

Sustituyendo 1  32 t2 ] ˆj r (t) = (100) (cos45)t iˆ + [3 + (100) (sen45) t 2  r (t) = 70.71t iˆ + [3 + 70.71t - 16t2] ˆj Ecuaciones paramétricas Componente en x x = 70.71t

Componente en y y = 3 + 70.71t + 16t2

Para encontrar el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima 0 = y’ = 70.71 - 32t 70.71 t= 32 t = 2.2 s Para encontrar la altura máxima se trabaja con la componente en Y hmax = y = 3 + 70.71(2.2) - 16(2.2)2 hmax = 81.12 ft. Actividad 17: Se lanza una pelota de baseball desde una altura de 3ft sobre el nivel del suelo con un ángulo de 45° y la captura a 300 ft de distancia. ¿Cuál fue la velocidad inicial de la pelota y que altura alcanzo si la captura se hizo a 3 ft sobre el nivel del suelo? AMMG

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Cálculo vectorial f(t)

Datos:  = 45° y = 3 ft x = alcance = 300 ft h = 3ft hmax = ? V0 = ?

 45°

y

3ft t

Alcance

Planteando la función vectorial 1  r (t) = [Vo cos()t] iˆ + [h + [Vo sen()t - gt2 ] ˆj 2 Sustituyendo  r (t) = (0.7071 Vo)t iˆ + [3 + (.7071 Vo) t - 16t2 ] ˆj Ecuaciones paramétricas x = 0.7071 Vo t

y = 3 + (0.7071 Vo) t - 16t2

300 = 0.7071 Vo t

Sustituyendo t

300 t 0.7071Vo

 300   300    - 16  3 = 3 + 0.7071 Vo  0 . 7071 V 0 . 7071 V o o  

 300   3 = 3 + (300) - 16   0.7071Vo 

2

2

2

 300   0 = 300- 16   0.7071Vo  Despejando velocidad inicial 0  300  16

(300) 2 (0.7071) 2 (V0 ) 2

 300 (V0 ) 2   16

(300) 2 (0.7071) 2

V0 = 9600.18 V0 = 97.98 ft/s. AMMG

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Cálculo vectorial b) La altura máxima se alcanza cuando el componente vertical de la velocidad es cero y = 3 + 0.7071V0 t - 16t2 0 = y’ = 0.7071 V0 - 32t t=

0.7071 0.7071(97.9) = = 2.16 s 32 32

y = hmax = 0.7071 V0 - 32t hmax = 3 + 0.7071 (97.9) (2.16) - 16(2.16)2 = 77.87 ft Actividad 18: Un proyectil es lanzado de un arma en un ángulo de elevación de 

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radianes. Su

velocidad inicial es 480 ft/s. ENCONTRAR: a) El vector de posición del proyectil en cualquier tiempo. b) El tiempo de recorrido (cuando el proyectil cae). c) El alcance del proyectil d) La altura máxima. e) El vector velocidad del proyectil en el impacto. f) La magnitud de la velocidad al impacto

TAREA 5 : El Cálculo. Louis Leithold, 7ma. edición Página Problemas 907 1, 3, 17, 21, 25, 27, 41, 45, 47 AMMG

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