Material 4

Cálculo Vectorial

UNIDAD 4 FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES Competencia de la unidad: Definirá e interpretará los conceptos del cálculo diferencial de funciones de varias variables y los aplicará en la solución de problemas de ingeniería. Las actividades de aprendizaje comprenden:  • • • • • • • •

Definir una función de varias variables. Elaborar la gráfica de una función de dos variables independientes utilizando software. Interpretar las curvas y superficies de nivel. Calcular las derivadas de una función de varias variables así como interpretarla geométricamente. Calcular las derivadas de orden superior para funciones de varias variables. Aplicar el concepto de incremento y de diferencial de funciones de varias variables. Aplicar el teorema de la regla de la cadena. Derivar funciones definidas implícitamente y resolver problemas sobre dichas funciones. Aplicar la derivada parcial a problemas de ingeniería.

Funciones de dos variables Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) uno y solo un número real z. Por ejemplo el área de un rectángulo depende de dos cantidades: ancho y longitud. Nota: Con el fin de observar las gráficas de las funciones se consideran las definiciones para funciones de dos variables, pero todo lo que se diga para éstas es válida para funciones de cualquier número de variables. Al conjunto que contiene las parejas ordenadas (x, y) se le llama Dominio de la Función. El conjunto de valores z que corresponde a los pares ordenados se llama imagen o contradominio. Usualmente estas funciones se denotan por: z = f (x, y) y

Eje W f(x, y)

(x, y)

f(a, b)

(a, b) x

0

1

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Gráficas de funciones de dos variables La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x, y, z) donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y) Estas gráficas son SUPERFICIES en el espacio tridimensional. Actividad 1: Sea g ( x, y, z)  x 2  5xy  yz 2 evalúe: a) g (1, 4,  2) = b) g (2a, - b,  3c) = (2a) 2  5(2a)(b)  (b)(3c) 2  4a 2  10ab  9c 2b

Actividad 2: Describa la región R en el plano cartesiano XY, que corresponde al dominio de f ( x, y)  4  x 2  y 2 . Encuentre el contradominio de f(x, y).

2

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Actividad 3: Sea f ( x, y) 

xy  5

. Encontrar el domino de f, esquematice D y represente

2 yx f(2, 5), f(1, 2) y f(-1, 2) sobre un eje W. 2

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y CURVAS DE NIVEL (SUPERFICIES CILÍNDRICAS, CUADRÁTICAS Y ESFÉRICAS) Si se tiene una función de dos variables “x” y “y” la gráfica de la función es z = f(x, y) en un sistema rectangular y en tres dimensiones suele ser una superficie de cierto tipo. Si representamos a D por una región en el plano xy, entonces la pareja (x, y) en D queda representada por el punto P(x, y, 0). El valor f(x, y) de la función es la distancia dirigida del punto P(x, y, 0) a S medida sobre la recta paralela al eje z, que pasa por este punto. z

S La gráfica de f es por definición la gráfica de la ecuación: z = f(x, y). (x, y, f(x, y))

(a, b, f(a, b)) y D (a, b, 0)

x

(x, y, 0)

3

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Actividad 4: Sea f la función f(x, y) = 9 – x2 – y2 con D = {(x, y)/x2+y2  9}. Trazar la gráfica de f e indicar las trazas en los planos z = 0, z = 2, z = 4, z = 6 y z = 8.

z  f ( x, y )

z  9  x 2  y 2 paraboloide z

0

2

4

6

8

r

3

2.6

2.2

1.7

1

z = 0,

x2  y2  9

z  9  x2  y2 x2  y2  9  z Otro método gráfico que es útil para describir una función f de dos variables consiste en trazar en el plano xy las gráficas de las ecuaciones f(x, y) = k para varios valores de k. Las gráficas que se obtienen de esta manera son llamadas curvas de nivel de la función f. Es importante observar que cuando un punto P(x, y) se mueve sobre una curva de nivel, los valores f(x, y) de la función no cambian. Las curvas de nivel se utilizan frecuentemente en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración. Para indicar la configuración del fondo de un lago se utilizan mapas hidrográficos, también mapas meteorológicos o climáticos, las isotermas, etc. La característica principal en una curva de nivel es que si un punto P(x, y, z) se mueve sobre una curva de nivel la f(x, y, z) no cambia. Actividad 5: Describa las curvas de nivel asociadas a las funciones siguientes: a) f(x, y) = 9 – x2 – y2 si k = 0, k = 1, k = 2, k = 3

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b) f(x, y) = x + 2y + 3z para k = 2 y k = 4. f(x, y) = k

c) f(x, y) = y – sen (x) para k = 0, k = 1 y k = - 1.

TAREA 1: Obtenga las curvas de nivel asociadas a f(x, y) = y – cos(x)

b) f (x, y)  25  x 2  y 2

LÍMITES La definición de límite de una función de dos variables va en total paralelismo con la definición de límite de una función de una sola variable. Para determinar si una función de una sola variable tiene límite en x0 es necesario observar lo que ocurre si nos aproximamos al punto x0 por dos trayectorias diferentes, por la izquierda y por la derecha. 5

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Si la función tiene el mismo límite podemos concluir que el límite existe. Para una función de dos variables, (x, y) (x0, y0) representa, que un punto cualesquiera (x, y) se aproxima al punto (xo, yo) en cualquier dirección. Para que el límite exista, es necesario que, el límite:

lim

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

f(x, y) sea el mismo, para todas

las posibles formas de aproximación, a éstas se les conoce como trayectorias. Actividad 6: Evalúe los límites indicados: a)

b)

c)

d)

lim

( x , y )  ( 2,  3 )

x 2  y2

lim

( x , y )  ( 3, 4 )

lim

( x , y )  ( 0, 0 )

lim

( x 3  4 xy 2  5 y  7 )  - 86

x 2  y2

x2  2  3  xy

( x , y )  ( 0, 0 )

x 2  y2 x 2  y2



REGLA DE LAS DOS TRAYECTORIAS Si dos trayectorias que llevan a un punto P(a, b) producen dos valores límites diferentes para f, entonces:

lim

( x , y)(a , b)

f (x, y)

NO EXISTE

Actividad 7: Demuestre que los límites indicados no existen. a)

lim

( x , y )  ( 0, 0 )

x 2  y2 x 2  y2

Trayectoria 1: Cualquier punto sobre el eje x, es decir, P(x, 0) o en el eje y P(0, y) En el eje x

x2  lim 11 ( x , y ) ( x , 0) x 2 ( x , y ) ( x , 0) lim

En el eje y

 y2  lim 1 1 ( x, y ) (0, y ) y 2 ( x, y ) (0, y ) lim

6

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Trayectoria 2: (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la recta y = 2x

x2  4x2  3x 2  lim  ( x, y ) (0, 2 x ) x 2  4 x 2 ( x, y ) (0, 2 x ) 5 x 2 lim

 3 3  ( x, y ) (0, 2 x ) 5 5 lim

Por lo tanto, por la regla de las dos trayectorias, el límite no existe b)

lim

x2 y

( x , y )  ( 0, 0 )

x4  y2

Trayectoria 1: Cualquier punto sobre el eje x, es decir, P(x, 0) o en el eje y (0, y) En el eje x

En el eje y

Trayectoria 2: El conjunto de todos los puntos (x, y)en cualquier recta que pasa por el origen y = mx

Trayectoria 3: El conjunto de todos los puntos (x, y) en la parábola y = x2

c)

lim

( x , y ) ( 0, 0)

x y x  y2 2

Trayectoria 1: Cualquier punto sobre el eje x, es decir, P(x, 0) o en el eje y P(0, y) En el eje x

0  lim 00 ( x , y ) ( x , 0 ) x 2 ( x , y ) ( x , 0) lim

En el eje y 0 lim  lim 0 0 ( x, y ) (0, y ) y 2 ( x, y ) (0, y )

Trayectoria 2: El conjunto de todos los puntos (x, y) en cualquier recta en el origen y = x

xx x2 1 1  lim  lim  2 2 2 ( x, y ) (0, x ) x  x ( x, y ) (0, x ) 2 x ( x, y ) (0, x ) 2 2 lim

Por lo tanto, por la regla de las dos trayectorias, el límite no existe 7

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TAREA 2. El cálculo de Louis Leithold, séptima edición. Página 940. Ejercicios 1, 3, 11, 13 y 15. DERIVADAS PARCIALES Esta sección muestra cómo se originan las derivadas parciales y como calcularlas aplicando las reglas para diferenciar funciones de una sola variable. Introducción En la aplicación de las funciones de varias variables se desea conocer, cómo se verá afectada la función, por la variación de sus variables independientes. Considerando la variación producida por una variable independiente a la vez mientras que las otras se mantienen constantes. Es decir, es la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente manteniendo constante las demás, este proceso, se conoce como Derivada Parcial y su resultado se refiere como la Derivada Parcial de f con respecto a la variable independiente elegida. Definición: Sea f una función de dos variables. Las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y son las funciones fx y fy definidas por:

f f ( x  h, y )  f ( x , y )  f x  lim h 0 x h

Si el límite existe

f f ( x, y  h )  f ( x, y)  f y  lim h 0 y h donde: x, y son fijas pero arbitrarias, h = variable Notación de derivadas. Primera derivada Segunda derivada

𝜕𝑤 𝜕𝑤

,

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕2 𝑤 𝜕𝑥 2

𝜕𝑥𝜕𝑦

, 𝑤𝑥𝑦𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧

, 𝑤𝑥𝑦

𝜕3 𝑤 𝜕𝑥 3

, 𝑤𝑥𝑥𝑥

Se lee derivada parcial de w con respecto a “x” Segunda derivada parcial de w con respecto a “x”

, 𝑤𝑥𝑥

𝜕2 𝑤

𝜕3 𝑤

, 𝑤𝑥 , 𝑤𝑦 , 𝑤1 , 𝑤2

Segunda derivada parcial de w con respecto a x y

𝜕3 𝑤 𝜕𝑦 3

, 𝑤𝑦𝑦𝑦

𝜕3 𝑤 𝜕𝑧 3

, 𝑤𝑧𝑧𝑧

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Actividad 8: Dada la función obtenga las primeras derivadas parciales. a) Z(x,y) = 𝒙𝟐 𝒚 − 𝟓𝒚𝟑 𝒙𝟒 − 𝟓𝒚 Derivando con respecto a x (manteniendo y constante): 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 4 ( ) =𝑦 − 5𝑦 3 = 2𝑦𝑥 − 5𝑦 3 ∙ 4𝑥 3 = 2𝑦𝑥 − 20𝑦 3 𝑥 3 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Derivando con respecto a y (manteniendo x constante): 𝜕𝑧

𝜕𝑦

(𝜕𝑦) = 𝑥 2 𝜕𝑦 − 5𝑥 4 𝑥

𝜕𝑦 3 𝜕𝑦

𝜕𝑦

− 5 𝜕𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 4 (3𝑦 2 ) − 5 = 𝑥 2 − 15𝑥 4 𝑦 2 − 5

b) 𝑾 = 𝑺𝒆𝒏(𝒙) + 𝟑𝒙𝒚𝟓 − 𝟓𝒛𝟒 𝒚𝟒 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚𝒛 Derivando con respecto a x (manteniendo y, z constante):

Derivando con respecto a y (manteniendo x, z constante):

Derivando con respecto a z (manteniendo x, y constante):

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c) 𝒇 = 𝒚𝟑 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) + 𝒆𝟐𝒙 𝒚 − 𝒚 𝐥𝐧(𝒙𝟑 ) − 𝟑𝒙𝒚 Derivando con respecto a x: 𝜕𝑓 𝜕𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝜕𝑒 2𝑥 𝜕 ln(𝑥 3 ) 𝜕𝑥 3𝑥 2 ( ) = 𝑦3 +𝑦 −𝑦 − 3𝑦 = 2 cos(2𝑥) 𝑦 3 + 2𝑒 2𝑥 𝑦 − 𝑦 3 − 3𝑦 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑓 3𝑦 ( ) = 2𝑦 3 cos(2𝑥) + 2𝑦𝑒 2𝑥 − − 3𝑦 𝜕𝑥 𝑦 𝑥 Derivando con respecto a y: 𝜕𝑓 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ( ) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑒 2𝑥 − ln(𝑥 3 ) − 3𝑥 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑓 ( ) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 3𝑦 2 + 𝑒 2𝑥 − ln(𝑥 3 ) − 3𝑥 = 3𝑦 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑒 2𝑥 − ln(𝑥 3 ) − 3𝑥 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑓 ( ) = 3𝑦 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑒 2𝑥 − ln(𝑥 3 ) − 3𝑥 𝜕𝑦 𝑥

d) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒕) = 𝒆−𝟑𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒚) Derivando con respecto a x:

Derivando con respecto a y:

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Derivando con respecto a t: 𝑓𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = cos(4𝑥)𝑠𝑒𝑛(6𝑦)

𝜕𝑒 −3𝑡 = cos(4𝑥) sen(6y). −3𝑒 −3𝑡 𝜕𝑡

𝑓𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = −3𝑒 −3𝑡 cos(4𝑥) sen(6y)

e) 𝒘(𝒙, 𝒚) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙 − 𝒚) − 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚) + 𝟐𝒙 Derivando con respecto a x: 𝜕𝑤 𝜕𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) 𝜕 cos(𝑥𝑦) 𝜕𝑥 𝜕(𝑥 − 𝑦) 𝜕𝑥𝑦 ( ) = −4 +2 = cos(𝑥 − 𝑦) − 4𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) +2 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑤 ( ) = cos(𝑥 − 𝑦) (1) − 4𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)(𝑦) + 2 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑤 ( ) = cos(𝑥 − 𝑦) − 4𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 2 𝜕𝑥 𝑦 Derivando con respecto a y:

TAREA 3. El cálculo de Louis Leithold, séptima edición. Página 952. Ejercicios impares del 1-9, 13-25. 11

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DERIVADAS PARCIALES DE ECUACIONES DE ESTADO Para un sistema en equilibrio termodinámico una ecuación de estado es aquella que relaciona las variables de estado presión (P), volumen (v) y temperatura (T) que lo describen. Las derivadas parciales típicas para determinar cambios en funciones de estado termodinámicas  v   P    P   v   .  y   ,   ,  son:    T v   v T   T  P   P T Actividad 9: Dada la ecuación de estado de Redlich-Kwong

 P  obtenga   y  T v

P

RT a  v  b v T (v  b)

P   .   v T

SOLUCIÓN: Es una ecuación explícita para P que depende de la temperatura y el volumen, a y b son constante. P

RT a  v  b v T (v  b)

Derivando con respecto a T: 

P R T a T    .  .   T  v v  b  T v (v  b )  T P R       T v v  b

1 2

R a 1   . T v  b v (v  b) 2



3 2

a 2 v (v  b ) T

3 2

P R a     2 v (v  b) T T   T v v  b Derivando con respecto a v: P     v T

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Derivadas de orden superior Actividad 11. Dada la función obtenga las segundas derivadas parciales. a)𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟑 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙 𝜕𝑓 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 ( ) = 𝑦2 − 2𝑦 +3 = 3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥𝑦 + 3 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 2𝑓 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 ( ) = 3𝑦 2 − 4𝑦 = 6𝑦 2 𝑥 − 4𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 2𝑓 ( ) = 6𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑓 ( ) = 2𝑥 3 𝑦 − 2𝑥 2 𝜕𝑦 𝑥 𝜕 2𝑓 ( ) = 2𝑥 3 𝜕𝑦𝜕𝑦 𝑥 𝜕 2𝑓 ( ) = 6𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 NOTA: Derivadas parciales cruzadas. 𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝟐 𝒇 = 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒚𝝏𝒙 b) 𝒘 = 𝒆𝒙𝒛 𝒔𝒆𝒏(𝒙) Derivando con respecto a z

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TAREA 5. Obtenga las derivadas parciales cruzadas. Louis Leithold la página 953, ejercicios 49, 51. a) 𝑊 = 𝑒 𝑧 𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑧)

𝑥 2 +4𝑦

𝑏) 𝑊 = 𝑙𝑛 (2𝑦−𝑥 3 )

c) 𝑊 = 𝑒 𝑧𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑧𝑦) y del Cálculo

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Regla de la cadena Sea w = f(x, y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x = f(t) e y = g(t), siendo f y g derivables de t, entonces w es una función derivable de t, y: 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = ∙ + ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝝏𝒚

Actividad 12. Sea 𝒚 = 𝟐𝒘𝒛 + 𝒛𝟐 𝒄𝒐𝒏 𝒘 = 𝒆𝒙 ; 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙). Obtenga 𝝏𝒙 aplicando la regla de la cadena. y = f(w, z) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = + 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 2𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = 2𝑤 + 2𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑤 = 𝑒𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 2𝑧𝑒 𝑥 − 2(𝑤 + 𝑧)[𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 2[𝑧𝑒 𝑥 − (𝑤 + 𝑧)(𝑠𝑒𝑛(𝑥))] 𝜕𝑥 Sustituyendo z y w: 𝜕𝑦 = 2[cos(𝑥)𝑒 𝑥 − [𝑒 𝑥 + cos(𝑥)]𝑠𝑒𝑛(𝑥)] 𝜕𝑥 Simplificando: 𝜕𝑦 = 2[cos(𝑥) 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)] 𝜕𝑥

Actividad 13. Sea 𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝒛 , 𝒙 = 𝒓𝒔𝒆𝒏(𝒕), 𝒚 = 𝒓𝒄𝒐𝒔(𝒕), 𝒛 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒕). Obtenga aplicando la regla de la cadena:

𝝏𝒖 𝝏𝒖

,

𝝏𝒓 𝝏𝒕

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Sea u = f(x, y, z) 𝜕𝑢 𝜕𝑟

𝜕𝑢 𝜕𝑡

=

=

𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑟

𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡

+

+

𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑟

𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑡

+

+

𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟

𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑡

……. A

……. B

Derivando parcialmente u: 𝜕𝑢 = 2𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑢 =𝑧 𝜕𝑦

𝜕𝑢 =𝑦 𝜕𝑧

Derivando x, y, z con respecto a r: 𝜕𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝜕𝑟

𝜕𝑦 = cos(𝑡) 𝜕𝑟

𝜕𝑧 = 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) 𝜕𝑟

Derivando x, y, z con respecto a t: 𝜕𝑥 𝜕𝑡

= 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)

𝜕𝑦 𝜕𝑡

= −𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝜕𝑧 𝜕𝑡

= 2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos(𝑡)

Sustituyendo las derivadas encontradas en A y en B: 𝜕𝑢 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑦𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) 𝜕𝑟 Sustituyendo x, y, z y simplificando: 𝜕𝑢 = 2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑟𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) 𝜕𝑟 = 2𝑟𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) + 𝑟𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) = 𝑟𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)[2 + cos(𝑡) + cos(𝑡)] = 𝑟𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)[2 + 2cos(𝑡)] = 2𝑟𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)[1 + cos(𝑡)] Sustituyendo x, y, z y simplificando: 𝜕𝑢 = 2𝑥𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 𝑧𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 2𝑦𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos(𝑡) 𝜕𝑡 𝜕𝑢 = 2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 𝑟𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 2𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos(𝑡) 𝜕𝑡 𝜕𝑢 = 2𝑟 2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛3 (𝑡) + 2𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝜕𝑡 16

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Actividad 14. Utilice la ley del gas ideal PV =RT con R = 0.8 atm-litro/K para obtener la tasa a la que la temperatura varía en el instante en que el volumen del gas es de 15 litros y el gas está bajo una presión de 12 atm, si el volumen se incrementa a una tasa de 0.1 litros/min y la presión disminuye con una tasa de 0.2 atm/min.

TAREA 6. Louis Leithold, séptima edición. Página 973. Ejercicios 7, 9, 13, 47 APLICACIONES Derivada Direccional Se ha visto como las derivadas parciales de una función caracterizan la tasa de variación de la función a lo largo de rectas paralelas a los ejes coordenados. Esto es, si f es una función en la dirección del eje x, y y la derivada parcial 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) describe la tasa de variación de f en la dirección del eje y. ⃗ = 𝑈1 𝑖̂ + 𝑈 2 𝑗̂ un vector unitario. La derivada direccional de f en Sea w = f(x, y) y sea ⃗U ⃗ , se denota por: 𝐷𝑈⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) P(x, y) en la dirección de 𝑈 Se define: 𝐷𝑈⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 𝑈1 + 𝑓𝑦 𝑈2 Actividad 15: Sea: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟑 𝒚𝟐 a) b)

⃗ = 𝟒𝒊̂ – 𝟑𝒋̂ Determinar la 𝐷𝑈⃗ 𝒇(𝒙, 𝒚)en 𝐏(−𝟏, 𝟐) en la dirección del vector 𝐚 Explicar el significado del inciso a suponiendo que 𝐟(𝐱, 𝐲)es la temperatura en (𝐱, 𝐲)

Obteniendo el vector unitario: 4𝑖̂−3𝑗̂ → 4𝑖̂ 3𝑗̂ ⃗U ⃗ = 𝑎 = = – || → || 5 5 √25 𝑎

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Obteniendo las derivadas parciales 𝑓𝑥 = 𝑦 2

𝜕𝑥 3 𝜕𝑥

= 3𝑥 2 𝑦 2

𝑥3

𝑓𝑦 =

𝜕𝑦 2 𝜕𝑦

4

= 2𝑦𝑥 3

3

𝐷𝑈⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 2 ∗ 5 + 2𝑦𝑥 3 ∗ (− 5) =

12 5

6

𝑥2𝑦 2 −

5

𝑦𝑥 3

12 6 48 12 60 (−1)2 (2)2 – (2)2 (−1)3 = + = = 12 5 5 5 5 5

𝐷𝑈⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) =

b) Significa que en el punto P la temperatura aumenta 12° por unidad de distancia.

Gradiente de 𝒇(𝒙, 𝒚) Definición: Sea 𝒇(𝒙, 𝒚) una función de dos variables. El gradiente de f es la función vectorial dada por: ∇ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) Donde:

∂

∂

∇= 𝑖̂ ∂x + 𝑗̂ ∂y

Derivada Direccional en términos del gradiente ⃗ Se define: 𝐷𝑈⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∇ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑈 Actividad 16. Sea: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 Encontrar el gradiente de f en 𝑷(𝟏, 𝟐)Determinar la derivada direccional de f en 𝑷(𝟏, 𝟐)en la dirección de 𝑷(𝟏, 𝟐)𝒂 𝑸(𝟐, 𝟓) ∇ 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑓𝑥 = 2𝑥 − 4𝑦

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 4𝑦)𝑖̂ − 4𝑥 𝑗̂

𝑓𝑦 = −4𝑥

∇𝑓(1,2) = [2(1) − 4(2)]𝑖̂ − 4(1)𝑗̂ = −6𝑖̂ − 4𝑗̂

𝑃𝑄 = 𝑎 = (1,3) ⃗ = 𝑈

→ 𝑎

||→|| 𝑎

=

(1,3) √10

=

1 √10

𝑖̂ +

3 √10

𝑗̂

⃗ 𝐷𝑈⃗ 𝑓(1,2) = ∇ 𝑓(1,2) ∗ 𝑈 𝐷𝑈⃗ 𝑓(1,2) = (−6𝑖̂ − 4𝑗̂). ( 𝐷𝑈⃗ 𝑓(1,2) =

−6 √10

−

12 √10

1 √10

=

𝑖̂ +

−18 √10

3 √10

𝑗̂)

= −5.7

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Valor Máximo y mínimo de la derivada direccional Sea f una función de 2 variables que es diferenciable en el punto P(x, y).  

El valor máximo de 𝐷𝑈⃗ f(x, y) en P(x, y) es ||∇ f(x, y)|| y el valor mínimo −||∇ f(x, y)||. La tasa de crecimiento máximo de f(x, y) en P(x, y) se alcanza en la dirección de ∇f(x, y)

Actividad 17: Sea 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚. Encontrar a) La dirección en la que 𝒇(𝒙, 𝒚) aumenta más rápidamente en el punto 𝑷(𝟏, 𝟐) b) La tasa máxima de crecimiento en 𝑷(𝟏, 𝟐) ∇𝑓(1,2) = −6𝑖̂ – 4𝑗̂ a) El valor máximo de crecimiento es ||∇ f(1,2)|| = √(−6)2 + 42 = √52 = 7.2 b) La tasa máxima de crecimiento es la dirección de ∇ 𝑓(1,2) = −6𝑖̂ – 4𝑗̂ Actividad 18. Suponga que la temperatura 𝑻(°𝑪) en el punto 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛) está dada por: 𝑻 = 𝟓𝟎 + 𝒙𝒚𝒛 a) Encontrar la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia en pies al punto ̂. ⃗ = 𝒊̂ + 𝟐𝒋̂ + 𝟐𝒌 𝑷(𝟑, 𝟒, 𝟏) en la dirección del vector 𝒂 b) La derivada direccional máxima en el punto 𝑷(𝟑, 𝟒, 𝟏)

TAREA 7. Louis Leithold, séptima edición. Página 983. Ejercicios 1, 3, 7, 15, 23. 19

Cálculo Vectorial

Divergencia y Rotacional ⃗ (x, y, z) = M(x, y, z) î + N(x, y, z) ĵ + P(x, y, z) k̂ Sea F ⃗ se denota por: Tal que M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región la divergencia de F ⃗ o dIVF

∇. ⃗F =

∂M ∂x

+

∂N ∂y

+

∂P ∂z

= Escalar

La divergencia proporciona información acerca del flujo o desplazamiento de la masa. Si 𝑑𝐼𝑉𝐹 < 0 en un punto P(x, y, z), entonces la masa fluye hacia el punto y se dice que hay un sumidero en P. Si 𝑑𝐼𝑉𝐹 > 0 , entonces la masa fluye desde el punto y se dice que hay una fuente en P. Si 𝑑𝐼𝑉𝐹 = 0, es característica de los fluidos incomprensibles (densidad constante). ⃗ es un campo de velocidades. En una fuente las líneas de velocidad divergen al emanar o salir Si F del punto, se dice que la divergencia es positiva. En un sumidero las líneas convergen al llegar del punto y por lo tanto la divergencia es negativa ̂ Actividad 19. Sea: ⃗𝑭 = 𝒙𝟐 𝒛 𝒊̂ – 𝟐𝒚𝟑 𝒛𝟐 𝒋̂ + 𝒙𝒚𝟐 𝒛 𝒌 Determinar: ⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) a) 𝜵𝑭 ⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒆𝒏 𝑷(𝟏, −𝟏, 𝟏) 𝒃) 𝜵𝑭 c) El punto P ¿es una fuente o un sumidero?

20

Cálculo Vectorial

Rotacional de F Sea 𝐹 = M(x, y, z) 𝑖̂ + N(x, y, z) 𝑗̂ + P(x, y, z) 𝑘̂ tal que M, N, P tienen derivadas parciales en alguna región. 𝑖̂ El rotacional de 𝐹 se denota por 𝑟𝑜𝑡𝐹 o ∇x𝐹 y se define por: 𝑟𝑜𝑡𝐹 = ∇x𝐹 = | ∂

𝑗̂

𝑘̂

∂

∂

∂x

∂y

∂z

M

N

P

|

El rotacional proporciona información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. ̂ ⃗ = 𝒙𝒛𝟑 𝒊̂ – 𝟐𝒙𝟐 𝒚𝒛 𝒋̂ + 𝟐𝒚𝒛𝟒 𝒌 Actividad 20: Sea 𝑭 Encontrar: ⃗ a) 𝜵𝒙𝑭 ⃗ en el punto 𝑷(𝟏, −𝟏, 𝟏) b) 𝜵𝒙𝑭

TAREA 8. Louis Leithold, séptima edición. Página 1089. Ejercicios 33, 35, 39, 41. FUENTES DE INFORMACIÓN: Louis Leithold, séptima edición. 21