Material 1

Unidad 1

Cálculo Vectorial

VECTORES EN EL ESPACIO Competencia de la unidad: El y la estudiante aplicará las operaciones fundamentales con vectores en la resolución de problemas físicos y geométricos. Con las actividades de aprendizaje:  Definir y representar geométricamente vectores en R2 y R3.  Efectuar operaciones de suma, resta de vectores y multiplicación de un escalar por un vector gráfica y analíticamente. Determinar la ecuación de la recta.  Interpretar el concepto de producto escalar y producto vectorial y sus propiedades para la resolución de problemas físicos y geométricos.  Interpretar geométrica y analíticamente el concepto de triple producto escalar, sus propiedades y resolver problemas de aplicación. Contenido de la unidad Unidad 1

Vectores

Rectas y planos

Cantidad vectorial

Introducción

Definición

Rectas

Representación vectorial

Propiedades de rectas

Operaciones con vectores

Planos

Vectores unitarios

Propiedades de planos

Productos vectoriales

Evaluación

AMMG

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Cálculo Vectorial

Cantidades Vectoriales Es aquélla en la que se requiere especificar dirección y sentido de la misma. Ejemplos de cantidades vectoriales: Fuerza, Desplazamiento, Velocidad, Aceleración, Campo eléctrico, Campo magnético, etc. Para representar gráficamente una cantidad vectorial se utiliza lo que se conoce como vector. DEFINICIÓN: Las cantidades vectoriales, mencionadas con anterioridad se pueden representar geométricamente por un segmento dirigido llamado vector. Vector: Es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un módulo, una dirección y sentido. Representación gráfica de un vector Se representa por un segmento orientado OP, la longitud del segmento es el modulo o magnitud del vector, la dirección del segmento es la correspondiente del vector (ángulo) y la flecha indica el sentido del vector. Vectores en dos dimensiones

Sean los puntos P (a1, b1) y Q (a2, b2). El vector que describe la posición del punto "P" respecto al punto "Q" es el segmento dirigido que los une, como se muestra.

La longitud de dicho vector es la magnitud, y el ángulo que forma con el eje "x" es la dirección.

AMMG

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Cálculo Vectorial

Vectores en tres dimensiones Estos son vectores que unen puntos en el espacio vectorial de tres dimensiones, como se muestra:

Representación analítica de un vector: Se representa por una literal con una fleche encima o la literal en negrillas.

 A

 Se lee vector “ A ”

Un vector se puede representar como una pareja o terna ordenada de números reales, a los elementos del vector se les llama componentes. Vector en dos dimensiones

 A  a 2  b2

Vector en tres dimensiones

 A  a 2  b2  c2

Escalar: Es una magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de un número. Ejemplo: Peso, estatura, edad, temperatura, tiempo (unidades de medida). Los escalares se indican por una letra del tipo ordinario. Las operaciones con escalares obedecen las reglas del álgebra elemental (números reales) Ejemplo: ¿Cuál de los siguientes podría ser representado o descrito por un vector? a) Estatura b) Una serie de tres medidas c) Curiosidad d) Temperatura

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Magnitud o módulo de un vector: Es la longitud del segmento dirigido.

  Se denota por: | A | o || A || NOTA:

 A =0   Cálculo de la magnitud o módulo de un vector: Si A es el vector, entonces la magnitud del vector A es la raíz cuadrada de cada componente del vector al cuadrado, es decir:   A  0 ; || A || = 0

Vector en dos dimensiones

 A  a 2  b2

Vector en tres dimensiones

 A  a 2  b2  c2

Dirección de un vector: Para calcular la dirección, se utiliza el ángulo que existe entre el eje positivo de las abscisas y el vector. b tan( )    a b a

  arctan  

Representación vectorial: Dos dimensiones (en un plano)

Tres dimensiones (en el espacio)

OPERACIONES CON VECTORES Álgebra vectorial:

  1. Dos vectores A y B son iguales cuando tienen la misma magnitud, dirección y sentido y el mismo origen. Se representa por:   A = B AMMG

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  2. Dado un Vector A el vector opuesto - A , es el que tiene la misma magnitud, dirección y sentido contrario.

 A



-A

   3. La suma o resultante de dos vectores A y B es otro vector C  obtenido trasladando el origen    de B al extremo de A y uniendo el origen a A con el extremo de B .    Analíticamente se expresa A + B = C NOTA: La suma de varios vectores puede realizarse siempre y cuando se sumen de dos en dos.

   Leyes del álgebra vectorial: Sean A, B y C tres vectores, m y n dos escalares: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

    A   B B A    A  ( B  C)  ( B  C)  A   mA  Am   (m + n ) A = m A + n A   m( A+ B ) = m A + m B m(n A ) = (mn) A

P. Conmutativa de la suma P. Asociativa de la suma P. Conmutativa del producto P. Distributiva del producto P. Distributiva P. Asociativa del producto por un escalar

Las operaciones con vectores se realizarán para dos dimensiones y después se generalizaran para n componentes.

 Sean los vectores: A  a1 , a2

 y B  b1 , b2

  Entonces: A  B  a1  b1 , a2  b2 Multiplicación de vectores por escalares: Sea C el escalar:  C A  Ca1 , Ca2  Vector 0 o nulo: 0  0, 0

 Vector opuesto:  A   a1, a2   a1,  a2  Actividad 1: Grafique el vector A  2, 3

y 3 2 1

x AMMG

1

2

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 Actividad 2: Se tiene: A   1, 3

 y B  4, 2 :

a) Encontrar:   A B =



3  B = 2

  2A  3 B 

b)











Trazar los vectores de posición A , B , 2 A , A + B y 

3  B 2

Actividad 3: Determinar la magnitud de los siguientes vectores:

 a) A  4, 2



|| A || =

(4) 2  (2) 2  16  4  20  (5)(4)  2 5

 b) B  8, 3

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

|| B || =

 c) C  5, 2  || C || = d)

 1 1 D , 4 2 2

2   1 1   || D || =     

4

 2

1 1 1 8 9 3     16 2 16 16 4

 e) E  2, 4, 3

 || E || =  Actividad 4: Dados los vectores: A  5,  4 ,

 B   3, 2 ,

 N  3,  2 ,

 O  4,  1

Realice las operaciones:





a) A - B =

  b) 2 A  3B =

c)

  N O =

Actividad 5: Determinar la suma o resultante de forma analítica y gráfica.

  a) C   2, 4 , D  4, 1

  C + D =   C + D =

  b) G   3, 4 , H  3, 4

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  G  H =  GH =

Actividad 6: Represente gráficamente los vectores en el espacio

 A  3, 2, 3

 C  2, 4, 2 z

z

y

y x

x

 R  3, 4,  2

 M  5, 3, 4 z z

y y

x

x

 W  3,  4, 8

 Z   3, 2, 5

z

z

8

AMMG

y y

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PRACTICA 1: Representar gráficamente los vectores en el espacio, utilizando el Winplot. Procedimiento: 1.- Abrir el programa Winplot. 2.-Elegir pestaña ventana, Opción 3 dim. 3.- En pestaña ecuación, elegir opción punto, opción cartesiana y escribir la coordenada origen (0,0,0). 4.- En pestaña ecuación, elegir opción punto, opción cartesiana y escribir las componentes del vector dado. 5.- En pestaña ecuación, elegir opción segmento, y escribir las coordenadas del punto origen en a, b, c y después las componentes del vector 1 en d, e, f. (Si desea cambiar color, seleccionar la opción color y elegir el color de su preferencia). Seleccione ancho de lápiz mayor a 1 para que el segmento sea más grueso y coloque el sentido del segmento. 6.- En pestaña ver, elegir opción caja, volver a escoger caja. 7.- Una vez trazado el vector, seleccionar pestaña Btns, elegir opción texto, dar clic derecho en cualquier parte de la gráfica y escribir el nombre de vector, dar clic en aceptar y acomodar en la gráfica (Si desea cambiar fuente de la letra, seleccionar la opción fuente y elegir el color, tipo y tamaño de su preferencia). Vector en el espacio: Puede obtenerse por la suma de sus componentes:

z

    A  Ax  Ay  Az

P2(x2, y2, z2) y P1(x1, y1, z1) x

Si el punto P1(x1, y1, z1) es el punto inicial del vector y el punto P2(x2, y2, z2) es el punto final del vector, las componentes de A son:

 A x = x2 - x1

 A y = y2 - y1

 A z = z2 - z1

  El modulo o magnitud de A es: || A ||  (x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  (z 2  z1 ) 2 

NOTA: Las componentes de un vector A son independientes del origen que se selecciona: Vectores unitarios: AMMG

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

Cualquier vector A diferente de cero, da origen a un vector aˆ en la misma dirección y magnitud "1" de la siguiente forma:  A aˆ   A



Al vector aˆ se le llama vector unitario de A . NOTA: Los vectores unitarios, se representarán con las minúsculas correspondientes al vector asociado,  o bien con la letra U . Interpretación geométrica

Dos dimensiones

Tres dimensiones

Observaciones: 1) El vector unitario determina la dirección del vector 2) Vectores de diferente magnitud, pero iguales direcciones tendrán el mismo vector unitario 3) Vectores unitarios canónicos. Son los vectores en la dirección de los ejes coordenados. Se denotan por iˆ, ˆj, kˆ donde:

Donde:

iˆ  1,0,0

ˆj  0,1,0

kˆ  0,0,1

Representación de vectores en términos de los vectores unitarios canónicos: AMMG

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Todo vector diferente de cero se puede representar en términos de los vectores canónicos.

 Sea el vector A  a1 , b1 , c1 por la ley distributiva es posible escribir el vector como:

 A  a1 1, 0, 0  b1 0, 1, 0  c1 0, 0, 1  Por lo tanto: A  a1iˆ  b1 ˆj  c1kˆ



Representación Canónica Vectorial







Actividad 7: Se tiene A = 5 iˆ + ˆj y B = 4 iˆ –7 ˆj Expresar 3 A - 2 B como una combinación lineal de los vectores canónicos.





3A -2 B =

  Actividad 8: Encontrar un vector unitario U que tenga la misma dirección que el vector r  2iˆ  4 ˆj .

  Actividad 9: Expresar A  3,  4, 2 en términos de iˆ, ˆj , kˆ y encontrar un vector unitario U que tenga  dirección opuesta a A .    -A  A   3, 4,  2  - 3iˆ  4 ˆj - 2kˆ

U

  A  ( 3)2  (4)2  ( 2)2  9  16  4  29   3iˆ  4 ˆj  2kˆ 3 4 2 ˆ 3 ˆj  U  iˆ  k 29 29 29 29 29

 || - A ||

29 4 iˆ  29 29

29 2 ˆj  29 29

29 ˆ k 29

  3 29 4 29 2 29 ˆ ˆj  U iˆ  k 29 29 29   Actividad 10: Sea el vector a  8iˆ  15 ˆj . Encontrar un vector Unitario U que tenga  a) La misma dirección del vector a  b) Dirección opuesta al vector a

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   Actividad 11: Encuentre un vector con dirección opuesta al vector A  3B  C y magnitud 4   Si los vectores son A  2, 1 y B  3,  2 .    C  A  3B = 2, 1 – 3 3,  2   C =  7, 7 Por lo tanto - C = 7,  7  ||- C || = 49  49 = 7 2

  C 7,  7 1 1 ˆj U   iˆ  C 7 2 2 2

Racionalizando

 U

2 2 ˆ J Magnitud 1 iˆ 2 2   2 2  ˆj  De magnitud 4: U  4 iˆ  2 2  

 U  2 2 ˆi  2 2 ˆj

 Actividad 12: Dados los puntos P(5, 6, - 2) y Q(- 3, 8, 7) encontrar los vectores a y b en R3 que 



correspondan a PQ y QP respectivamente. x = -3-5 =-8   a  PQ   8, 2, 9 y= 8 -6 =2  z = 7 - (- 2) = 9

 x = 5 - (- 3) = 8 y = 6 -8 = -2

  b  QP  8,2,9

z =-2-7 = -9

Actividad 13: Un vector a tiene una componente “x” positiva de 4 unidades y una componente “y’’  negativa de 2 unidades. ¿Qué vector d al sumarse a a producirá un vector resultante cuya magnitud sea el triple de la de a y esté dirigido en dirección “y” positiva?.





Actividad 14: Obtenga el punto S de manera que PQ y RS representen el mismo vector, considere P = (2, 5), Q = (1, 6), R = (-3, 2) y S = (S1, S2). PQ  a   1, 1 PQ = RS  RS  b  S1  3, S2  2  1, 1 = S1  3, S2  2

 1  S1  3 1  S 2  2 S1   4

S2  3

S  ( 4, 3)

Actividad 15: Dos fuerzas de magnitudes 340 y 475 Newtons (N) respectivamente forman un ángulo de 34.6 grados y se aplican en el mismo punto. AMMG

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a) Determinar la magnitud de la fuerza resultante. b) El ángulo que forma la fuerza resultante con la fuerza de 475 N Datos:

 F1 = 340 Newtons  F2 = 475 Newtons  a) R = ?

 b) Ángulo entre R y F2 = ? y

y

34.6

34.6

x

x

De gráfica se observa

 F1 = 340, 0 Componente en x  F2x cos(34.6)  475  F2 x  475 cos(34.6)  F2 x  390.9

Componente en y  F2 y

sen(34.6)  475  F2 y  475sen (34.6)  F2 y  269.7

 Por lo tanto, las componentes de la fuerza 2 son: F2  390.9, 269.7 a) La resultante es el vector suma de fuerzas:    R  F1  F2  R = 340, 0 + 390.9, 269.7  R = 730.9, 269.7 La magnitud de la resultante

 R  (730.9) 2  (269.7) 2  R  779.07 Newton AMMG

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b) El ángulo entre la fuerza de 475 Newtons y la resultante  Ry tan    , Rx

y

34.6 

 269.7     20.25  730.9 

  tan 1 

El ángulo buscado es: 34.6 - 20.25 = 14.3

Actividad 16: Dos fuerzas de 200 lb y 250 lb forman un ángulo de

1  entre sí y están aplicadas a un 3

objeto en el mismo punto. Determine: a) La intensidad o magnitud de la fuerza resultante b) El ángulo que forma la resultante con la fuerza de 200lb.

AMMG

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TAREA 1: El cálculo, Louis Leithold, 7 ma. Edición. Página Problemas 797 1, 9, 11, 15, 17, 19, 23, 27, 33 809 29 ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES Los ángulos directores de un vector a =

a1, a2 , a3 diferente de cero son los ángulos  ,  ,  comprendidos respectivamente entre los vectores iˆ, ˆj , kˆ y el vector a , los cosenos directores son: cos  , cos  , cos  . 

Los ángulos directores de un vector siempre se mencionan en el orden específico  ,  ,  . Si 0 A es el vector de posición correspondiente a a entonces es conveniente medir estos ángulos siguiendo el camino 

más corto de cada uno de los ejes coordenados de 0 A . Los ángulos directores están en le intervalo de 0,   . z

y x Teorema:  Si  ,  ,  son los ángulos directores de un vector a  0 a a a a) cos  = 1 , cos  = 2 , cos  = 3 || a || || a || || a || b)

cos2   cos2   cos2   1

 c) Los ángulos directores de a :    ,    ,   

d) Ley de cosenos: c 2  a 2  b2  2 a b cos  Deducción de b)

AMMG

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cos   2

a1 2  a

cos   2

2

a12  a 22  a32 a32 a12 a 22 =  +  +   || a || 2 || a || 2 || a || 2 || a || 2

a2 2  a

cos   2

2

Si || a || =

a3 2  a

2

a12  a22  a32  || a ||2 = a12  a 22  a32

 a32 a12 a 22 || a || 2 + + = = 1 L.Q.Q.D.    || a || 2 || a || 2 || a || 2 || a || 2    Actividad 17: Sean los vectores a = 3, - 1, 4 , b =  2, 5,  3 , c = 4, 3,  2 . Encontrar los ángulos     y cosenos directores de M  3a  2b  4c .

 M = 3 3, - 1, 4 - 2  2, 5,  3 - 4 4, 3,  2  M = 9, - 3, 12 - 2  4, 10,  6 - 4 16, 12,  8  M =  3,  25, 26  || M || 9  (25) 2  (26) 2  1310 3 = - 0.0828 1310

cos  =

Mx  = || M ||

cos  =

 25 My = - 0.6907  = || M || 1310

cos  =

Mz  = || M ||

26 = 0.7184 1310

Ángulos directores

 = cos-1 (- 0.0828) = 94.76 grados

 = cos-1 (- 0.6907) = 133.68 grados  = cos-1 (0.7184) = 44.07 grados

TAREA 2: El cálculo, Louis Leithold, 7 ma. Edición. Página Problemas 809 35, 37, 39, 43

PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL En esta sección se estudiarán dos métodos para multiplicar vectores. AMMG

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Cálculo Vectorial

Al primero se le denomina Producto Escalar (“Producto Punto") porque de éste se obtiene como resultado un escalar. Este producto es útil en el cálculo de componentes vectoriales a lo largo de una determinada dirección. Otra operación es el Producto Vectorial (“Producto Cruz”) cuyo resultado es un vector. Este producto se utiliza ampliamente para describir los efectos de las fuerzas en estudios de electricidad y magnetismo, flujo de fluidos, y mecánica orbital. PRODUCTO ESCALAR

  El producto escalar o producto punto entre los vectores A  a1, a2 , a3 y B  b1, b2 , b3   Se denota por A . B se lee "A producto punto B"

Se determina en términos de sus componentes:

  A . B  a1b1  a2b2  a3b3 Es decir:   A . B = a1 iˆ + a2 ˆj + a3 kˆ . b1 iˆ + b2 ˆj + b3 kˆ   donde iˆ 2 =1 A . B = a1b1 iˆ 2+ a2b2 ˆj 2 + a3b3 kˆ 2 ˆj 2 =1 kˆ 2 = 1 ˆj kˆ iˆ iˆ 1 0 0 ˆj 0 1 0 kˆ 0 0 1

NOTA: El resultado del producto escalar es un número real.

Propiedades del producto escalar    Sean a , b , c vectores y “m” cualquier escalar    a . a = || a ||2     a . b = b . a Conmutativo        a . b  c = a .b + a .c       4) m a . b = m( a . b ) = a . (m b )   5) 0 . a = 0

1) 2) 3)

Deducción de 1 AMMG

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  a . a = a1, a2 . a1, a2 = a12 + a22    a . a = || a ||2

Actividad 18: Calcular el producto escalar indicado.    a) a . b si a = 1, 4, 3 , b =  1, 5, 3 .

 a . b = (1) (-1) + (4)(5) + (-3) (3) = -1 + 20 – 9 = 10     b) b . a - c si a =  2, 3, 1 , b = 7, 4, 5 , c = 1,  5, 2 .

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES   Sean a y b los vectores y  el ángulo en radianes entre los dos vectores.

    a . b = || a || || b || cos 

y

  a .b cos  =   || a || || b ||

  a.b  1     = cos    || a || || b || 

x

VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES

 Se dice que dos vectores son ortogonales o perpendiculares si  = = 90 grados 2   Por convención se dice que el vector 0 (nulo) es paralelo y perpendicular a todo vector a .  Para dos vectores  (ortogonales)

AMMG

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Cálculo Vectorial

    a  b  || a || || b || cos 90   a b  0

PROYECCIÓN DE VECTORES

  El vector proyección de B  P Q sobre un vector no nulo A  P S es el vector P R determinado al bajar una perpendicular de Q a la recta PS.    Se denota por Pr oy A B y se lee “vector proyección de B sobre A ”

S

 Se define por: Pr oy A B = (magnitud)(dirección)

   Pr oy A B = CompA B  U A

PROYECCIÓN ESCALAR O COMPONENTE DE UN VECTOR

      Sean A y B dos vectores en V3 con B  0 la componente de A a lo larga de B se denota por: Comp B A .

  Y se define: Pr oyEscalar B A  Comp B A 

  AB  // B //

  Si A  a1ˆi  a 2ˆj  a 3kˆ entonces las componentes de a son:

  comp ˆi A  a1  A  ˆi   comp ˆjA  a 2  A  ˆj   comp kˆ A  a 3  A  kˆ





 Las componentes de A a lo largo de iˆ, ˆj , kˆ son las mismas que las componentes a1 , a2 , a3 de A . AMMG

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Cálculo Vectorial

  Actividad 19: Determine el ángulo entre los vectores: M  4iˆ  3 ˆj  kˆ y N  iˆ  2 ˆj  2kˆ

  Actividad 20: Sean los vectores A  5iˆ  Kˆj y B  Kiˆ  6 ˆj donde K es un escalar. Encuentre K tal   que A y B sean perpendiculares. SOLUCIÓN:   Si A  B  0 5k  k 6  0 5k  6k  0 k 0 k 0 Actividad 21: Demostrar que los pares de vectores que se dan son ortogonales.  a) a  iˆ  1,0,0 , bˆ  ˆj  0,1,0   a  b  0  1,0,0  0,1,0   a b  0  0  0   a  b  0  son 

  b) a  3iˆ  7 ˆj  2kˆ, b  10iˆ  4 ˆj  kˆ

 Actividad 22: Encontrar la componente de a  5iˆ  6 ˆj en dirección de z  7iˆ  ˆj  a  z   35  6 Compz a = Compz a =  // z // 50  5,6  7,1  29  4.1 Compz a = Compz a = 49  1 5 2

  Actividad 23: Dados los vectores A  5iˆ  ˆj, B  4iˆ  2 ˆj   a) Determinar la proyección escalar de B sobre A AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

   B  A 4,2   5,1  20  2  18 CompA B =      3.53 A 25  1 26 26

  b) La proyección vectorial de B sobre A  Pr oy A B =

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

    Sean los vectores A y B el producto vectorial se denota por: A X B y se lee “a cruz b”.  Si A  a1, a 2 , a3

 y B  b1, b2 , b3 se define:

iˆ   A X B = a1 b1

ˆj a2 b2

kˆ a3 b3

Definición geométrica

  Si los vectores A y B no son paralelos, entonces determinan un plano como se observa en la figura.

Así

   AXB  A

 B sen

PROPIEDADES:

   1- El vector C  AXB es perpendicular al plano que contiene a los vectores, por lo tanto, es perpendicular a ambos vectores.

    2- El producto vectorial no es conmutativo, es decir AXB   ( BXA) .     3- Los vectores A y B son paralelos si y sólo sí AXB  0 . El producto vectorial consigo mismo es igual a cero.

AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

4- Si nˆ es un vector unitario perpendicular al plano que contiene a ambos vectores, entonces     AXB  A B sen nˆ es un vector perpendicular al plano y a ambos vectores.

     5- La magnitud del vector C  AXB es el área del paralelogramo formado por los vectores A y B .

Como el área es base por altura se tiene:

   AXB  A

 B sen

Actividad 24: Obtenga los determinantes:

2 3 42 3 a) 1 0 2 1 0 = 0 + 12 + 4- (0 + 4 + 3) = 16 - 7 = 9 2 1 1 2 1 2 1 3 b)  2 5 1 = 1 2 4

 Actividad 25: Sea a  2,1,6

A)

     y b   3,5,1 . Obtenga: A) a x b y B) b x a

ˆj kˆ iˆ ˆj 1 6 2 1 3 5 1 3 5

iˆ   aXb = 2

 aX b = iˆ  18 ˆj  10kˆ  (3kˆ  30iˆ  2 ˆj )  aX b  iˆ  18 ˆj  10kˆ  3kˆ  30iˆ  2 ˆj  aX b  31iˆ  20 ˆj  7kˆ B)

 b Xa =

Actividad 26: Determine el vector perpendicular (  ) unitario al plano formado por el vector   a  2,6,3 y el vector b  4,3,1 .

AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ   aXb = 2  6  3 2  6 4 3 1 4 3  aXb  6iˆ  12 ˆj  6kˆ  (24kˆ  9iˆ  2 ˆj )    || a xb ||  (15) 2  (10) 2  (30) 2  aXb  6iˆ  12 ˆj  6kˆ  24kˆ  9iˆ  2 ˆj    || a xb ||  35  aXb  15iˆ  10 ˆj  30kˆ    3 2 6 axb 15iˆ  10 ˆj  30kˆ 15 10 30 ˆj  kˆ  iˆ  ˆj  kˆ U     iˆ  7 7 7 || axb || 35 35 35 35   ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES aXb   Si aXb son diferentes de cero entonces:

    || aXb ||  || a || || b || sen   || aXbˆ ||  || aXbˆ ||   sen 1     sen    || a || || b ||  || a || || b ||  NOTA: La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo formado por dos vectores. VECTORES PARALELOS Dos vectores son paralelos // si:   aXb  0  0  

Actividad 27: Determine a) El área formada por P(4, - 3, 1), Q(6, - 4, 7) y R(1, 2, 2) b) El área del triángulo formado por los vectores. SOLUCIÓN:  PQ  a  2,1,6  PR  b   3,5,1 ˆj kˆ iˆ ˆj 1 6 2 1 3 5 1 3 5

iˆ   aXb = 2

 aXb  ˆi  18ˆj  10kˆ  (2ˆj  30ˆi  3kˆ )  ˆi  18ˆj  10kˆ  2ˆj  30ˆi  3kˆ  aXb  31ˆi  20ˆj  7kˆ

AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

  Área del paralelogramo es igual a || aXb ||

área  (31) 2  (20) 2  (7) 2  37.54u 2 Área del triángulo = área del paralelogramo / 2

Área del triángulo =18.67u2

TRIPLE PRODUCTO a) Escalar   Se denota por: a b c Se define:      a b c = a  (bXc)

a1   a b c = b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

b) Vectorial    Se denota por: aX(bXc)

         AX(BXC)  (A  C)B  (A  B)C Se define:          (aXB)Xc  (A  C)B  (B  C)A

   Actividad 28: Dados los vectores hallar el triple producto vectorial (aXb)Xc .

   a) a  3,1,2 , b  2,1,1 , c  1,2,2    b) a  1,2,3 , b  2,1,1 , c  1,3,2  i ˆj kˆ ˆi ˆj   aXb  3  1 2 3  1 2 1 1 2 1

ˆj kˆ iˆ ˆj iˆ    (aXb)Xc   1 7 5  1 7 1 2 2 1 2

  aXb  ˆi  4ˆj  3kˆ  (2kˆ  2ˆi  3ˆj)   aXb  ˆi  4ˆj  3kˆ  2kˆ  2ˆi  3ˆj   aXb  ˆi  7ˆj  5kˆ

 (aXb)Xc  14ˆi  5ˆj  2kˆ  (7kˆ  10ˆi  2ˆj)  (aXb)Xc  14ˆi  5ˆj  2kˆ  7kˆ  10ˆi  2ˆj  (aXb)Xc  24ˆi  7ˆj  5kˆ

a)

  b) aXb 

AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

TAREA 3: El cálculo, Louis Leithold, 7 ma. Edición. Página Problemas 819 15, 17, 19, 23, 31

RECTAS Y PLANOS RECTAS

Introducción En esta sección se mostrará cómo usar productos escalares y vectoriales para escribir las ecuaciones de rectas, segmentos de rectas y planos en el espacio. La gráfica de una ecuación de dos variables, x y y es una curva en el plano x-y. El tipo de curva más simple en el espacio bidimensional es la recta, y la ecuación general de una línea recta es de la forma: Ax +By + C = 0 que es una ecuación de primer grado. En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación de tres variables es una superficie. La superficie más simple es un plano.

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ECUACIÓN DE LA RECTA

 Sea una recta en 3 que contenga un punto P1 ( x1 , y1 , z1 ) y paralela al vector a como se muestra:

z

AMMG

l

y

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

 La recta l es el conjunto de puntos P(x, y, z) tal que el vector P1P  es paralelo al vector a . Así el punto  P se encuentra sobre la recta l si y sólo si existe un escalar "t" distinto de cero tal que P1P  at --------------------- (1)

Como

P1P  

x  x1, y  y1, z  z1

Sustituyendo en (1) se obtiene:  x  x1, y  y1, z  z1  at x  x1, y  y1, z  z1  a1 , a 2 , a 3 t

Por igualdad de vectores, las componentes respectivas deben de ser iguales, así.

x  x1  a1t

y  y1  a2t

z  z1  a3 t

Rescribiendo estas ecuaciones para x, y, z se tiene:

x  x1  a1t

y  y1  a2t

z  z1  a3t

Que se conocen con el nombre de Ecuaciones Paramétricas de la Recta Despejando el parámetro t se obtiene la forma de las ecuaciones simétricas de la recta. x  x1 y  y1 z  z1   a1 a2 a3

También pueden indicarse:

x  x1 y  y1  a1 a2 x  x1 z  z1  a1 a3 y  y1 z  z1  a2 a3 Obteniéndose de esta manera la intersección de 2 planos, el primero de los cuales es perpendicular a xy y el segundo a xz .

AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

Actividad 29: Encontrar la forma simétrica de la ecuación de la recta que pasa por P1(3, 1,  2) y P2 (2, 7,  4) .

Actividad 30: Encontrar las ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa por P(5, - 2, 4) y es paralela al vector 3,12,  4 . Sustituyendo las componentes del vector y el punto en las ecuaciones paramétricas: x  x1  a1t y  y1  a2t z  z1  a3t x  5  3t , y  2  12t , z  4  4t b) ¿En qué punto l corta al plano XY? Z=0 Z = 4 – 4t x=5+3=8 0 = 4 – 4t y = - 2 + 12 = 10 t=1 z=0

t

P(x,y,z) P(8, 10, 0)

Actividad 31: Suponiendo que x  5  3t , y  2  t , z  1  9t son ecuaciones paramétricas de una recta l, encuentre las ecuaciones paramétricas que pasan por los puntos (-6, 4,-3) y es paralela a l.

Actividad 32: Determine si las dos rectas dadas se intersecan y en caso afirmativo encuentre el punto de intersección. Recta 1 Recta 2 x  1  2t x  4v

y  1  4t z  5t

y  1  6v z  4v

  a  2,4,1 y b   1,6,1 No son múltiplos  No son paralelos Para buscar el punto de intersección igualamos x con x, y con y, z con z.

1  2t  4  v 1  4t  1  6v 5t  4v AMMG

2t  v  4  1 2t  v  3

 4t  6v  1  1  4t  6v  2

2t  v  3  4t  6v  2 27

Unidad 1

Cálculo Vectorial

El punto de intersección se encuentra sustituyendo en t o v en la recta x  1  2(2)  5 v  1 Punto de intersección (5,-7,3) y  1  4(2)  7 t2 z  52  3 NOTA: Cuando las rectas no se intersecan ni son paralelas se llaman rectas oblicuas.

Actividad 33: Encuentre el ángulo entre las dos rectas que tienen ecuaciones paramétricas: Recta 1 x  7  2t y  4  3t z  5t Recta 2 x  1  t y  3  4t z  1 t

OBSERVACIONES:   a b  0 1) Las rectas son ortogonales (  ) cuando  2) Las rectas son paralelas cuando aXb  0 y cuando los vectores son múltiplos escalares uno del otro.

PLANOS: Un plano  del espacio queda determinado por un punto Po ( xo , yo , z o ) por el que pasa  y una recta que pasa por Po y que es normal al plano: Como alternativa se puede dar P del plano  y un vector n  a, b, c normal al plano  entonces el  punto P(x,y,z) pertenece al plano   los vectores n y P Po son perpendiculares en cuyo caso    n.P0 P  0 considerando P Po = r - r o donde r y ro son los vectores de posición:   r  OP   ro  OP0  La ecuación se expresa

   n  (r  ro ) AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

a, b, c   x, y, z    xo , yo , zo   0 a, b, c  x  xo , y  yo , z  z0  0

a( x  x0 )  b( y  yo )  c( z  zo )  0 Ecuación del plano dado un punto y un vector normal al plano

ax  axo  by  byo  cz  cz o  0 Si

 ax0  byo  cz0  d ax  by  cz  d  0

Actividad 34: Encontrar una ecuación del plano que pasa por P(5, -2, 4) y tiene un vector normal  a  1, 2, 3 .

Actividad 35: Determinar la ecuación del plano dado por los puntos P(4, -3, 1), Q (6,-4, 7) y R (1,2,2).  PQ = a  2, 1, 6  PR = a   3, 5, 1 ˆj kˆ iˆ ˆj iˆ    axb  2  1 6 2  1 =  31iˆ  20 ˆj  7kˆ  el vector normal n  (31,20,7) 3 5 1 3 5

Conociendo el vector normal al plano y un punto que pasa por él se obtiene la ecuación del plano: Si la ecuación del plano es: a( x  xo )  b( y  yo )  c( z  z o )  0  31( x  4)  20( y  3)  7( z  1)  0  31x  124  20 y  60  7 z  7  0

 31x  20 y  7 z  57  0

Actividad 36: Trazar la gráfica de la ecuación del plano 2 x  3 y  4 z  12

AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

DEFINICIÓN:   Dos planos con vectores normales m y n respectivamente son:   a) Paralelos. Si m y n son paralelos de otra manera los dos planos se cortan en una recta.   Los vectores m y n son  a los planos P1 y P2 respectivamente.

P2

P1     b) Ortogonales. Si m y n son ortogonales. Los vectores m y n de los dos planos son ambos perpendiculares a la recta. Actividad 37: Encuentre el ángulo formado por los planos cuyas ecuaciones son: P1 : 2 x  3 y  z  3 y P2 : 4 x  5 y  z  1 De cada ecuación del plano se obtiene el vector normal al plano   m = 2, 3,1 n = 4, 5,1     El producto escalar entre ambos vectores es: m  n || m || || n || cos      m n Despejando el ángulo se tiene:   cos 1      || m || || n ||    m . n = 22  || m || = 14  3.74 Sustituyendo   24.87   || n || = 42  6.48 Actividad 38: Encontrar una ecuación en el plano que pasa por P (5,2,4) y es paralela al plano 3x  y  6 z  8  0 AMMG

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Unidad 1

Cálculo Vectorial

 Si los planos son paralelos el vector normal es el mismo: m  3iˆ  ˆj  6kˆ ax  by  cz  d  0 La ecuación del plano que falta es: 3x  y  6 z  d  0 Sustituyendo las coordenadas del punto P 3(5)  2  6(4)  d  0  La ecuación buscada es: 3x  y  6 z  11  0 d  11 TAREA 4: El cálculo, Louis Leithold, 7 ma. Edición. Página Problemas 832 1, 3, 7, 21, 29 Fuente de información: El cálculo, Louis Leithold, 7 ma. Edición.

AMMG

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