Tarea 1. Método Gráfico - copia

18. Para el programa lineal

a. Escriba este problema en forma estándar. X0 = 4A + 1 B Transformación 1 10 A + 2B ≤30 10 A + 2B + h1 =30

Sujeto a

10 A + 2B + h1 =30 3A +2B +h2 =12 2A + 2B + h3 =10

Transformación 2 3A +2B ≤12 3A +2B +h2 =12

A,B ≥ 0 h1≥ 0 h2≥ 0 h3≥ 0

Transformación 3 2A + 2B ≤10 2A + 2B + h3 =10

b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica. X0 = 4A + 1 B Ecn 1. 10 A + 2B ≤30 Ecn 2. 3A +2B ≤12 Ecn 3. 2A + 2B ≤10

( A 1 , B 2 ) ( A 1 , B2 )

(0 , 302 )( 3010 , 0 )  (0, 15) (3, 0) (0 , 122 )( 123 , 0 )  (0, 6) (4, 0) (0 , 102 )( 102 , 0)  (0, 5) (5, 0)

A,B ≥ 0

1

Cálculo de coordenadas del punto C 3A +2B ≤12 2A + 2B ≤10 (-1) A≤ 2

Despeje de B

3(2) + 2B ≤12 B≤3

A= 2 Cálculo de coordenadas del punto D 10 A + 2B ≤30 3A + 2B ≤12 (-1) 7A ≤ 18

Despeje de B

10 (18/7) + 2B ≤30 B ≤ 15/7

A= 18/7

Cálculo de alternativas 2

X0 = 4A + 1 B

X0 A B

A 0 0 0

B 5 0 5

C 11 2 3

D 12.42 18/7 15/7

E 12 3 0

Solución óptima opción D c. ¿Cuáles son los valores de las tres variables de holgura en la solución óptima? Restricción 1 10 A + 2B + h1 =30 10(18/7)+2(15/7)+h1=30 h1= 0 Restricción 2 3A +2B +h2 =12 3(18/7)+2(15/7) +h2 = 12 h2= 0 Restricción 3 2A + 2B + h3 =10 2(18/7)+2(15/7) + h3 =10 h3=10-66/7 h3=4/7 Se obtiene holgura con la restricción 3

3

21. Considere el programa lineal siguiente:

La figura 7.23 muestra una gráfica de las rectas de restricción. a. Coloque un número (1, 2 o 3) al lado de cada recta de restricción para identificar a cuál restricción representa. b. Sombree la región factible de la gráfica.

1 2

B

REGIÓN FACTIBLE A

Rest 1. 5 A + 5B ≤ 400 Rest 2. -1A +1B ≤ 10 Rest 3. 1A + 3B ≥90

C

3

( A 1 , B 2 ) ( A 1 , B2 )

(0 , 4005 )( 4005 , 0)  (0, 80) (80, 0) 10 10 0 , ( 1 )( −1 , 0 )  (0, 10) (-10, 0) 4

(0 , 903 )( 901 , 0 ) 

(0, 30) (90, 0)

Problemas 275 c. Identifique el punto extremo óptimo. ¿Cuál es la solución óptima? Cálculo de coordenadas del punto A -1A +1B ≤10 1A + 3B ≤90 4B≤ 100

Despeje de A

A + 3(25) ≤90 A ≤15

B= 25 Cálculo de coordenadas del punto B 5A + 5B ≤400 -1A + 1B ≥ 10 (5) 10B ≤ 450

Despeje de A

5A+ 5(45) ≥400 A ≥ 35

B= 45 Cálculo de coordenadas del punto C 5A + 5B ≤400 1A + 3B ≥ 90 (-5) -10B ≤ -50

Despeje de A

A+ 3(5) ≥90 A ≥ 75

B= 5 Cálculo de alternativas X0 = 2A + 3 B X0 A B

A 105 15 25

B 205 35 45

C 165 75 5

La solución óptima es la opción B d. ¿Cuáles restricciones son confinantes? Explique por qué. Todas, ya que confinan para determinar la región factible. e. ¿Cuánta holgura o exceso se asocia con la restricción confinante? Restricción 1 5 A + 5B + h1 =400 5(35)+5(45)+h1=400 h1= 0 Restricción 2 -A +B +h2 =10

Restricción 3 A + 3B - H3 =90 35+3(45) - H3 =90 90-90= H3 H3=80 5

-35+45+h2 = 10 h2=0 22. Reiser Sports Products quiere determinar la cantidad de balones de futbol de AllPro (A) y Universitario (U) a producir con el fin de maximizar las utilidades durante el siguiente horizonte de planeación de cuatro semanas. Las restricciones que afectan las cantidades de producción son las capacidades de producción en tres departamentos: corte y teñido, costura e inspección y empaque. Para el periodo de planeación de cuatro semanas se dispone de 340 horas de corte y teñido, 420 horas de costura y 200 horas de inspección y empaque. Los balones de futbol All-Pro producen utilidades de $5 por unidad y los balones Universitarios producen una utilidad de $4 por unidad. El modelo de programación lineal con los tiempos de producción expresados en minutos es el siguiente:

Una parte de la solución gráfica al problema de Reiser se muestra en la figura 7.24.

1

B C REGIÓN FACTIBLE

D 2

A E

3

6

a. Sombree la región factible para este problema. b. Determine las coordenadas de cada punto extremo y las utilidades correspondientes. ¿Cuál punto extremo genera mayores utilidades? Rest 1. 12 A + 6U ≤ 20,400 ( A 1 , B 2 ) ( A 1 , B2 ) 20400 20400 0, , 0  (0, 3400) (1700, 0) Rest 2. 9A +15U ≤ 25,200 6 12 25200 25200 0, , 0  (0, 1680) (2800, 0) Rest 3. 6A + 6U ≤12,000 15 9 12000 12000 0, , 0  (0, 2000) (2000, 0) 6 6

( ( (

)( )( )(

Cálculo de coordenadas del punto C 9A +15U ≤25200 6A + 6U ≤12000 (-1.5) 6U≤ 7200 U=1200

) ) )

Despeje de A

9A+15(1200)≤25200 A ≤ 800

Cálculo de coordenadas del punto D 12 A + 6U ≤20400 6A + 6U ≤12000 (-1) 6A ≤ 8400

Despeje de U

12(1400)+6U≤ 20400 U ≤600

A= 1400 Cálculo de alternativas Ut = 5A + 4U Ut A U

A 0 0 0

B 6720 0 1680

C 8800 800 1200

D 9400 1400 600

E 8500 1700 0

Solución óptima opción D c. Trace la recta de utilidades correspondiente a una utilidad de $4 000. Mueva la recta de utilidades lo más lejos posible del origen con el fin de determinar cuál punto extremo proporcionará la solución óptima. 4000 = 5A + 4U A= (4000/5) = 800 7

U= (4000/4) = 1000 La Alternativa D es el punto más optimo A=1400, U=600, Ut= 9400 d. ¿Cuáles restricciones son confinantes? Explique por qué. La restricción 1 y 3, ya que son las que más confinan la región factible. e. Suponga que los valores de los coeficientes de la función objetivo son $4 para cada modelo All-Pro y $5 para cada modelo Universitario producidos. Utilice el procedimiento de solución gráfica para determinar la solución óptima y el valor correspondiente de las utilidades. Ut = 4A + 5U Ut A U

A 0 0 0

B 8400 0 1680

C 9200 800 1200

D 8600 1400 600

E 6800 1700 0

La alternativa C es la solución óptima A=800, U=1200, Ut = 9200

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