Tarea 5

Tarea 5 1. Escriba las reglas de derivación La derivada de la variable real su función es diferenciable en un punto si existen las derivadas parciales y son funciones continuas en ese punto. El caso complejo es igual, pero añade una condición extra: que se cumpla un sistema de ecuaciones en derivadas parciales llamado ecuaciones de Cauchy - Riemann: Las ecuaciones de Cauchy - Riemann son;

∂u ∂x = ∂v ∂y ∂u ∂y = -∂v ∂x La función f(z) = u(x,y) + v(x,y)i es derivable en el dominio D si se cumple que las derivadas parciales ∂u∂x, ∂u ∂y, ∂v ∂x y ∂v∂y son funciones continuas y además, se cumplen las condiciones anteriores.

En tal caso: f ' (z) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x La derivada de una función compleja f(z) en z0 ∈ℂ es, si existe, el límite siguiente: f'(z0) = limz→z0 f(z) -f(z0) z -z0 Cuando el límite existe se dice que f es derivable o diferenciable en z0. Algunas reglas de derivación son;

   

[𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)]´ = 𝑓´(𝑧) + 𝑔´(𝑧) [𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)]´ = 𝑓´(𝑧) − 𝑔´(𝑧) [𝑐𝑓(𝑧)]´ = 𝑐𝑓´(𝑧) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 [𝑓(𝑧) ∗ 𝑔(𝑧)]´ = 𝑓(𝑧) ∗ 𝑔´(𝑧) + 𝑓´(𝑧) ∗ 𝑔(𝑧)

 [𝑓(𝑧)/𝑔(𝑧)]´ =

𝑓(𝑧)∗𝑔´(𝑧)−𝑓´(𝑧)∗𝑔(𝑧) [𝑔(𝑧)]2

2. Escriba las derivadas de algunas funciones elementales La existencia de la derivada compleja es una condición bastante restrictiva, por ejemplo, el caso de la función conjugada

f(z)=𝑧̅ = x –iy Entonces, tenemos;

ux=1 vx=1 uy=1 vy=−1 Apesar del buen comportamiento de las derivadas parciales de la función conjugada, no se cumplen las ecuaciones de Cauchy - Riemann ( ux ≠vy ). Por tanto no existe la derivada compleja de f. Esto da una idea de lo restrictiva que es la condición de existencia de derivada compleja. Las fórmulas de derivación de cálculo elementales también son válidas para funciones en variable compleja.

[c]´= 0 [z]´= 1 [𝑧 𝑛 ]´= 𝑛𝑧 𝑛−1 1

[ln(z)]´= 𝑧

[𝑒 𝑧 ]´ = 𝑒 𝑧 [𝑎 𝑧 ]´ = 𝑎 𝑧 ∗ ln(𝑎)