Chapitre 1 SE

Ch1. Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnnés

I- Introduction Un système est dit échantillonné si au moins l’un de ses constituants ne transmet l’information qu’à des instants privilégiés appelés instants d’échantillonnage qui sont généralement équidistants. L’intérêt des systèmes échantillonnés réside dans l’utilisation des calculateurs numériques dans le processus de commande. La figure ci-dessous montre le schéma bloc d’un système à commande numérique. Calculateur numérique consigne

+ -

Calcul de la loi de commande

CNA

CAN

sortie

Processus à commander

Capteur

CNA : convertisseur numérique-analogique, CAN : convertisseur analogique-numérique

II- Principes fondamentaux de l’échantillonnage des systèmes 1- Définition L’échantillonnage d’un signal continu f(t) consiste à remplacer f(t) par la suite discontinue de ses valeurs f(nT) aux instants nT. Le signal f(t) est généralement un signal causal (càd défini seulement pour t≥0)

f(t)

f*(t) Echantillonnage

0

1

T

2T 3T 4T

5T

Soit la fonction d’échantillonnage p(t) définie ci-dessous : p(t)

1

0 Alors

T 2T

3T 4T 5T

t

f*(t) = p(t).f(t)

A l’aide de l’impulsion unité échantillonnée δ*(t) qui est défini ci-dessous, on peut aussi écrire f*(t) en fonction de δ*(t) : δ* (t)

1

0

T 2T

3T 4T 5T

t

δ*(0)=1 , δ*(nT)=0 si n≥1 

Alors on peut écrire :

f * (t )   f (nT ) * (t  nT ) n0

Calculons la transformée de Laplace notée F*(p) du signal échantillonné f*(t) (Rappel : la 

transformée de Laplace du signal f(t) est définie par F ( p )   f (t )e  pt dt ) 0

p

On rappelle aussi que L( * (t ))  1 et L( g (t   ))( p)  e L( g (t ))( p) Il en résulte que : L( f (nT ) * (t  nT )))  f (nT ) L( * (t  nT ))

 f (nT )enTpL( * (t ))  f (nT )e nTp 

F * ( p)  L( f (nT ) * (t  nT )) n 0



  L( f (nT ) * (t  nT )) n0



Donc F * ( p)   f (nT )e nTp n 0

2

2- Reconstitution approchée Elle est généralement obtenue à l’aide de filtres. Le plus couramment utilisé est appelé bloqueur d’ordre 0. Il a pour action de maintenir constante et égale à f(nT) l’amplitude de l’impulsion entre les instants nT et (n+1)T Exemple f*(t)

fB0(t) : sortie du bloqueur Bloqueur d’ordre 0

0

T

2T

3T

0

T

2T

3T

On rappelle que la fonction de transfert du bloqueur d’ordre 0 est : B0(p) f*(t) B0 ( p) 

FB0 ( p) F * ( p)



1 e p

fB0(t)

Tp

B0(p) bloqueur d’ordre 0

III- Transformée en z des signaux échantillonnés 1- Définition La transformée en z d’un signal f(t) est obtenue à partir de la transformée de Laplace F*(p) du signal échantillonné f*(t) en posant : z=eTp 

Rappelons que : F * ( p)   f (nT )e nTp n 0



En posant z=eTp , on a : F ( z )   f (nT ) z  n n 0

2- Intérêt de la transformée en z On retrouve avec la transformée en z le même intérêt que nous avons retrouvé avec la transformée de Laplace pour les signaux à temps continu. Ainsi si G(p) désigne la fonction de transfert d’un système et G(z) sa fonction de transfert en z alors : u(t) y(t) u(t) y(t) G(p)

G(z)

Tout comme l’on écrivait : Y(p)=G(p).U(p), on écrira alors : Y(z)=G(z).U(z) 3

3- Propriétés de la transformée en z 3-1- Linéarité Soient f1(t), f2(t) deux signaux dont les transformées en z sont respectivement F1(z) et F2(z) alors :

Z (f1 (t )  f 2 (t ))  Z ( f1 (t ))  Z ( f 2 (t )))  F1 ( z )  F2 ( z )

3-2- Théorème du retard Soient f(t) un signal dont la transformée en z est F(z) alors :

Z ( f (t  nT )  z  n Z ( f (t ))  z  n F ( z)

3-3- Multiplication par le temps

Z (tf (t )   zT

dF ( z ) dz

3-4- Théorème de la valeur initiale lim f (nT )  lim F ( z ) n 0

z 

3-5- Théorème de la valeur finale

lim f (nT )  lim(1  z 1 ) F ( z )  lim

n 

z 1

z 1

z 1 F ( z) z

4- Transformée en z des signaux usuels 4-1- Echelon unité Il est défini par  (t ) = 1 si t≥0 0 si t<0  (t )

1

t

4

  1 1 z Z ((t )  1.z  n   ( ) n   1 z 1 n 0 n 0 z 1 z Remarque : Parfois Γ(t) est notée u(t) dans certains livres

4-2- Impulsion de Dirac (t )  (t  ) Elle est définie par :  (t )  lim  0  δ(t) ∞

0

t

On montre que : Z ( (t ))  1 4-3- Exponentielle décroissante Soit f(t)=e-at , t≥0 



n 0

n 0

F ( z )   e anT z  n   (eaT ) n z  n 

eaT z   ( aT )   aT 1 e z 1 n0 e z 1  aT e z z Donc F ( z )  z  e aT 1

n

1

4-4- Rampe unité Soit f(t)=t , t≥0 alors f(t)=t. Γ(t) En utilisant la propriété de la multiplication par le temps, on a :

F ( z )   zT

dZ ((t )) d z   zT ( ) dz dz z  1

( z  1)  z 1   zT 2 ( z  1) ( z  1)2 zT Donc F ( z )  ( z  1)2   zT

5

5- Théorème des résidus 5-1- Enoncé du théorème des résidus Dans plusieurs cas, le signal f(t) est connu non par son expression temporelle mais par sa transformée de Laplace F(p). D’où l’intérêt du théorème des résidus qui exprime F(z) en fonction de F(p). F ( z )   résidusde pi

F ( )   ri 1  eT z 1 pi

Pour appliquer cette relation, on utilise souvent les résultats suivants de calcul des résidus.

N ( ) a des pôles simples pi alors : D( ) N ( pi ) 1 F ( z)   . Tp i 1 z p i D ' ( pi ) 1  e

-

Si F ( ) 

-

Si F ( ) 

N ( ) a des pôles multiples, le résidu ri relatif au pôle pi de multiplicité n a D( ) pour valeur :

ri 

1 d n 1 F ( ) [ n 1 ((  pi ) n . )]  pi (n  1)! d 1  eT i z 1

5-2- Application du théorème des résidus a) f(t)=e-at , t≥0 1 F ( p)  pa

N ( ) 1 a un seul pôle simple –a  D( )   a On a N(ε)=1, D’(ε)=1 N ( pi ) 1 . Donc F ( z )   Tp i 1 z p i D ' ( pi ) 1  e F ( ) 

1 1 F ( z)  .  1 1  eTa z 1

1 z  Ta e z  e aT 1 z

6

b) f(t) est telle que : F ( p) 

F ( ) 

1 ( p  a)( p  b)

N ( ) 1 a deux pôles simples –a et –b  D( ) (  a)(  b)

Et on a : N(ε)=1, D’(ε)=2ε+a+b N (a ) 1 N (b) 1 Donc F ( z )  .  . Ta 1 D' ( a ) 1  e z D' (b) 1  eTb z 1 1 1 1 1  .  .  aT 1  bT 1 b  a 1 e z a  b 1 e z

c) Rampe : f(t)=t , t≥0  F ( p) 

F ( ) 

1

2

1 p2

a un seul pôle égal à 0 de multiplicité 2. Son résidu est :

1 d  2 ri  [ ( 2 .( )]  0 1! d 1  eT z 1 d 1 z 1.TeT [ ( )]  [ )]  0  0 d 1  eT z 1 (1  eT z 1 ) 2

z 1.T T T Tz    2 1 2 z  1 2 ( z  1) (1  z ) ( z  1) 2 z( ) z z Tz Donc F ( z )  ( z  1)2 

a p ( p  a) D’abord on décompose F(p) en éléments simples : a A B c  2  2 p ( p  a) p p pa On multiplie les 2 termes par p2 , puis on fait p=0 d’où a cp2  A p  0  Bp p  0  1  A p  a p 0 p  a p 0

d) f(t) est telle que : F ( p) 

-

-

2

On multiplie les 2 termes par p, puis on fait p=∞ d’où a A Cp   B p    0  0  B  C  C  B p( p  a) p   p p   p  a p 

7

-

On multiplie les 2 termes par p+a, puis on fait p=-a d’où

a p2

 p a

A( p  a) p2

 p a

B( p  a ) p

 C p a  p a

1 C a

1 1 Donc A  1, B   , C  a a

1 1 1 1 1  .  . p2 a p a p  a 1 1 1 1 1  F ( z)  Z ( 2 )  Z ( )  Z ( ) p a p a pa Tz 1 z 1 z  F ( z)    2 ( z  1) a z  1 a z  e aT

Donc F ( p) 

Tz z ( z  e aT )  z ( z  1) Tz (1  e aT ) z  F ( z)     ( z  1) 2 a( z  1)( z  e aT ) ( z  1) 2 a( z  1)( z  e aT )

6- Tableau des principaux transformées en z Le tableau intitulé ; ‘Table des transformées en z’ en annexe donne les principaux transformées en z utilisées.

8

7- Transformée en z inverse 7-1- Définition Soient f1(t) et f2(t) deux fonctions qui prennent les mêmes valeurs aux instants d’échantillonnage.

f2(t) f1(t)

0

T

2T

3T



F ( z )   f (nT ) z  n  F1 ( z )  F2 ( z ) n 0

Par conséquent, la transformée en z inverse de F(z) est non pas la fonction continue f(t) mais la suite d’échantillons f(nT) pour n=0, 1, 2, … Ainsi on écrira : Z 1 ( F ( z))  [ f (nT ), n  0,1,2,...] Il faut être conscient que la table fournit une fonction continue parmi une infinité possible qui prennent les mêmes valeurs aux instants d’échantillonnage.

Exemple

Z 1 (

z sin(0T ) )  [ f (nT )  sin(n0T ), n  0,1,2,...] et non pas la fonction sin(0t ) z  2 z cos(0T )  1 2

7-2- Développement en fractions élémentaires Le développement en fractions élémentaires :

A 1 B   ... n’est pas directement exploitable car la transformée inverse de za za zB ne figure pas dans la table. F ( z) 

9

Az . Il en résulte que si tous les termes sont du type z  e aT

En revanche, on a : Z ( Ae  at ) 

z , la fonction échantillonnée originale serait la somme d’exponentielles. z  e aT Le mode opératoire est alors : -

F ( z) en fractions élémentaires. z Puis on multiple par z chaque terme du développement. On développe d’abord

Exemple : F ( z ) 

-

2z ( z  1)( z  0.5)

On développe G( z ) 

A  G ( z ).( z  1) z 1 

F ( z) 2 A B    z ( z  1)( z  0.5) z  1 z  0.5

2 2 2   4 z  0.5 z 1 1  0.5 0.5

B  G ( z ).( z  0.5) z  0.5 

-

2 2 2    4 z  1 z  0.5 0.5  1 0.5

4z 4z  z  1 z  0.5  0.5 alors Z 1 ( F ( z)  4(1  e anT )  4(1  (e aT )n )  4(1  0.5n )

On multiplie par z  F ( z )  Soit a tel que eaT

7-3- Division suivant les puissances croissantes de z-1 

D’après la définition : F ( z )   f (nT ) z  n , la valeur de f(nT) est le coefficient de z-n dans le n0

développement en série de F(z) selon les puissances croissantes de z-1 Exemple : F ( z )  z

z z  0.5

z-0.5

0.5 1+0.5z-1+0.25z-2+0.125z-3+… 0.25z-1 0.125z-2 Donc f(0)=1, f(T)=0.5, f(2T)=0.25, f(3T)=0.125, … 10

Remarque : On peut calculer lim f (nT ) par le théorème de la valeur finale : n 

lim f (nT )  lim(1  z 1 ) F ( z )  lim z 1

n 

 lim z 1

z 1

z 1 F ( z) z

z 1 z z 1 .  lim 0 z  1 z z  0.5 z  0.5

7-4- Méthode de l’équation aux différences On appelle équation aux différences une relation de récurrence entre les valeurs d’une fonction temporelle. La méthode s’appuie sur la formule :

Z 1 ( z  k F ( z))  [ f ((n  k )T )]  f (n  k ) (notation abrégée) , k entier positif

Exemple Calculer la fonction originale de Y(z) à partir de la relation en z :

Y ( z) 0.3z  U ( z ) z  0.2

On suppose que u(nT)=1, n  1

Y ( z) 0.3   Y ( z)  0.2 z 1Y ( z)  0.3U ( z) U ( z ) 1  0.2 z 1 La transformée inverse en z est : y (n)  0.2 y (n  1)  0.3u (n) équation aux différences En divisant par z, on obtient

Supposons que u(0)=0 : condition initiale, alors : y(0)=0.2y(-1)+0.3u(0)=0 y(1)=0.2y(0)+0.3u(1)= 0.2x0+0.3x1=0.3 y(2)=0.2y(1)+0.3u(2)= 0.2x0.3+0.3x1=0.36 y(3)=0.2y(2)+0.3u(3)= 0.2x0.36+0.3x1=0.372 … Si l  lim y (n) alors on a : l=0.2l+0.3x1  l  n 

0.3  0.375 0.8

Remarque D’un point de vue théorique, l’équation aux différences est intéressante car elle joue le même rôle que l’équation différentielle joue auprès de la transformée de Laplace des systèmes continus. 11

Rappel Un système linéaire est régi par l’équation différentielle suivante : d n y (t ) dy (t ) d mu (t ) du (t ) an  ...  a  a y ( t )  b  ...  b1  b0u (t ) 1 0 m n m dt dt dt dt En appliquant la T.L à cette formule et en supposant que les conditions initiales sont nulles ( y(0)=y’(0)=…y(n-1)(0)=0 et u(0)=u’(0)=…u(m-1)(0)=0 ) Alors on obtient : (anpn+…+a1p+a0)Y(p) = (bmpm+…+b1p+b0)U(p)  F ( p) 

Y ( p) b m p m    b1p  b0  U ( p) a n p n    a1p  a 0

avec m≤n

Exemple Le système dérivateur parfait dont la fonction de transfert F(p)=p n’existe pas car sa réponse indicielle est une impulsion de Dirac qui n’existe pas réellement : Γ (t)

δ(t) F(p)=p

III- Fonction de transfert en z 1- Transmittance échantillonnée Considérons un système linéaire continu de transmittance G(p) : e(t)

G(p)

s(t)

S ( z) E( z) Avec E(z) et S(z) sont respectivement les transformées en z des signaux e(t) et s(t). La transmittance échantillonnée du système est définie par : G ( z ) 

12

2- Equivalence entre fonction de transfert en temps continu et en temps discret Soit un système linéaire continu décrit par sa fonction de transfert G(p) : e(t)

G(p)

s(t)

Soient S(p) et E(p) les transformées de Laplace des signaux s(t) et e(t) et S(z) et E(z) les transformées en z des signaux s(t) et e(t) Alors on peut écrire S(z)=Z(S(p)) (notation) =Z(E(p).G(p))

z 1 et E ( z )  z 1 p S ( z) La transmittance échantillonnée G(z) est telle que : G ( z )  E ( z) z  1 G ( p) Donc : G ( z )  .Z ( ) z p Supposons que e(t) est un échelon unité alors E ( p) 

Remarque G ( z )  Z (G ( p )) , en effet G(z) est une fonction de transfert et non pas la transformée en z d’un signal temporel.

Exemples

G ( p) 

1 z 1 1  G( z)  .Z ( 2 ) p z p



z  1 Tz T .  2 z ( z  1) z 1

1 z Remarque : Z (G( p))  Z ( )  p z 1 T   G( z) z 1

13

G( p) 

z 1 1 1  G( z)  .Z ( ) z p( p  a) pa 

z 1 (1  e aT ) z 1  e aT .  z a( z  1)( z  e aT ) a( z  e aT )

La table, en annexe, intitulée :’Equivalence entre fonction de transfert en temps continu et en temps discret’ donne les principales fonctions de transfert en temps continu et celles en temps discret correspondantes.

Remarque Soit un système de 1er ordre décrit par la fonction de transfert : G ( p) 

1 1  p

L’allure de la réponse indicielle (la réponse quand l’entrée est un échelon unité Γ (t)) de ce système de 1er ordre est :

1

τ’< τ τ t

On sait que plus la constante de temps τ est petite, plus le système est rapide L’équivalent de ce système en temps discret a pour fonction de transfert : b z 1 G ( z )  1 1 avec a1  eT  et b1 1  eT  1  a1 z Le pôle de G(z) est : z1  a1  eT  τ diminue 

1



augmente 

T

diminue

  z1  eT  diminue

Donc on peut dire que : Plus le pôle du système –a1 est tel que a1 est petit (s’approche de 0) plus le système est rapide.

14

3- Transmittance échantillonnée en boucle fermée Soit le système échantillonné en boucle fermée suivant :

ε(z)

E(z) + consigne

-

S(z)

Chaine directe G(z)

erreur

sortie

Chaine de retour H(z)

Tout comme le cas des systèmes à temps continu, on définit les fonctions de transfert en boucle ouverte G0(z) et en boucle fermée Gf(z) par : G0(z)=G(z).H(z)

G f ( z) 

S ( z) G( z )  E ( z ) 1  G( z ) H ( z )

Dans le cas d’une boucle à retour unitaire : H(z)=1, on a : G f ( z ) 

G( z) 1  G( z)

4- Asservissement continu commandé en temps discret Soit le système échantillonné asservi ci-dessous. Il s’agit d’un asservissement continu commandé par un signal échantillonné. e(t) +

ε(t)

T

ε*(t)

s(t) G(p)

-

sortie

15

Le signal ε*(t) est un signal échantillonné. Il s’agit d’une suite de nombres délivrés aux instants d’échantillonnage. Ce signal n’est pas continu, il est bien sûr incompatible avec l’entrée d’un système continu. Pour retrouver un signal ‘admissible’, on utilise un bloqueur d’ordre 0. Après blocage, on obtient un signal u(t) ‘continu’ : ε *(t)

u(t) Bloqueur d’ordre 0

0

T

2T

3T

0

T

2T

3T

On obtient alors le schéma équivalent en temps continu suivant : e(t) +

ε(t)

T B0(p)

-

Avec B0 ( p ) 

u(t)

s(t) G(p)

1  eTp p

Soit G(z) l’équivalent en temps discret du système G(p). Alors le schéma équivalent en temps discret du système asservi ci-dessus est :

e(t) +

s(t) G(z)

-

16

Remarque On peut montrer que la fonction de transfert équivalente en temps discret G(z) peut être aussi calculée par : G(z)=Z(B0(p)G(p)) En effet : Z ( B0 ( p )G ( p ))  Z (

Soit F ( p) 

G ( p) eTp 1  e Tp .G ( p ))  Z ( )  Z( G ( p)) p p p

G ( p) et f(t) telle que L(f(t))=F(p) alors : p

Z (eTp F ( p))  Z ( L( f (t  T ))  Z ( f (t  T ))  z 1Z ( f (t ))  z 1Z (

Donc Z ( B0 ( p)G ( p))  Z (

G ( p) ) p

G ( p) G ( p) )  z 1Z ( ) p p

 (1  z 1 ) Z (

G( p) z  1 G ( p) ) Z( )  G( z) p z p

5- Exercice d’application Soit le système échantillonné suivant : e(t) +

ε(t) -

On donne T=0.1s, K=45, G ( p) 

T

u(t) B0(p)

1  eTp K , B0 ( p )  p p( p  4) 17

s(t) G(p)

1- Soit G(z) la transmittance échantillonnée associée à G(p). Donner G(z) en fonction de K, T et z. 2- Donner le schéma équivalent en z de la boucle d’asservissement étudiée. On donnera G(z) za en fonction de z sous la forme : G( z )  K ' 2 z  bz  c S ( z) 3- Calculer la transmittance échantillonnée en boucle fermée G f ( z )  E( z) 4- En déduire l’équation aux différences qui régit le système.

Solution 1- En consultant la table d’équivalence, on a : KT K (1  e4T ) K T 1  e4T G( z)    (  ) 4( z  1) 16( z  e 4T ) 4 z  1 4( z  e  4T )

2-

Le schéma équivalent en z de la boucle d’asservissement étudiée est : e(t) +

s(t) G(z)

-

K T 1  e4T G( z)  (  ) 4 z  1 4( z  e 4T ) K 0.1 1  0.67 G( z )  (  ) 4 z  1 4( z  0.67) K 0.4 0.33 K 0.4( z  0.67)  0.33( z  1)  (  ) ( ) 4 4( z  1) 4( z  0.67) 16 z 2  1.67 z  0.67 K 0.07 z  0.062 45  0.07 z  0.886  . 2  . 2 16 z  1.67 z  0.67 16 z  1.67 z  0.67 z  0.886 G ( z )  0.2. 2 z  1.67 z  0.67

18

3- La transmittance en boucle fermée est : S ( z) G( z ) 0.2( z  0.886) G f ( z)    2 E ( z ) 1  G( z ) z  1.67 z  0.67  0.2 z  0.177 

4-

(0.2 z  0.177).z 2 0.2 z 1  0.177 z 2  ( z 2  1.47 z  0.847).z  2 1  1.47 z 1  0.847 z  2

S ( z) 0.2 z 1  0.177 z 2  E ( z ) 1  1.47 z 1  0.847 z  2

 S ( z)  1.47 z 1S ( z)  0.847 z 2 S ( z)  0.2 z 1E( z)  0.177 z 2 E( z)  S ( z)  1.47 z 1S ( z)  0.847 z 2 S ( z)  0.2 z 1E( z)  0.177 z 2 E( z) En appliquant la transformée inverse en z, on a : s(k )  1.47s(k  1)  0.847s(k  2)  0.2e(k  1)  0.177e(k  2)

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T.D : Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés

Exercice 1 : Calcul de la transformée en z d’un train d’impulsions On considère un signal échantillonné s*(t) défini par : s*k=1 pour 0≤k≤k0 et s*k=0 pour k<0 et pour k≥k0+1 Soit T la période d’échantillonnage. Calculer la transformée en z de ce signal.

Exercice 2 : Fonction de transfert et relation de récurrence On considère un système échantillonné régi par l’équation aux différences suivante :

sk  0.5ek 1  0.6sk 1 1- Calculer la F.T de ce système. 2- Déterminer la valeur finale de l’échantillon de sortie lorsque le signal d’entrée est un échelon unité. Exercice 3 : Calcul d’une série d’échantillons de sortie On considère un système échantillonné de fonction de transfert : G( z) 

1  z 1 1  0.25 z 1  0.25 z  2

1- Etablir la relation de récurrence entre les suites d’échantillons d’entrée et de sortie. 2- Calculer les 7 premiers échantillons de sortie lorsque le signal d’entrée est un échelon unité 3- Calculer la valeur finale du signal de sortie et représenter graphiquement celui-ci. Exercice 4 : Représentation graphique d’un signal défini par sa transformée en z On considère un système échantillonné de fonction de transfert : 0.3z S ( z)  ( z  1)( z  0.7) 1- Déterminer les 8 premiers échantillons de sortie sk correspondant à ce signal. 2- Calculer la valeur finale du signal de sortie et représenter graphiquement celui-ci. 20