chapitre 100

Comparaison locale des fonctions M.S.Souhail

Soit a 2 R, une partie V de R est dite voisinage de a, s’il existe un nombre réel " > 0, tel que ]a "; a + "[ V . On dit que V est un voisinage de +1 (resp. 1) s’il existe un nombre réel A, tel que ]A; +1[ V ( resp. ] 1; A[ V ). Remarques 1. Si a 2 R, ]a "; a + "[ est un voisinage de a, où " > 0. 2. ]A; +1[ est un voisinage de +1 et ] 1; A[ est un voisinage de 1, où A 2 R. Rappelons aussi que R = R [ f 1; +1g. Lorsqu’on dit qu’une fonction f est dé…nie au voisinage de a, cela signi…e que f est dé…nie sur un voisinage V de a, sauf peut-être au point a.

1.1 Fonction dominée par une autre fonction Dé…nition 1.1 Soient f et g deux fonctions dé…nies sur un voisinage de a, a 2 R. On dit que f est dominée par g au voisinage de a, s’il existe un voisinage V de a et une fonction h dé…nie et bornée sur V , telle que f (x) = h(x)g(x), pour tout x 2 V . Notation de Landau Si f est dominée par g au voisinage de a, on écrit f (x) = O(g(x)) au voisinage de a, ou encore f (x) = Oa (g(x)) et on dit que f (x) est un grand O de g(x) au voisinage de a. Remarques 1. f (x) = Oa (1) est équivalent à dire que f est bornée sur un voisinage de a. 2. Si f (x) = Oa (g(x)), alors il existe M > 0 et un voisinage V de a, tels que 8x 2 V , jf (x)j

M jg(x)j

3. Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, on a i) f (x) = Oa (g(x)) si et seulement si fg est bornée dans un voisinage de a. (x) ii) Si lim fg(x) = l, avec l 2 R, alors f (x) = Oa (g(x)). x!a

4. Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. On dit que (un ) est dominée par (vn ), s’il existe une suite bornée (bn ), telle qu’à partir d’un certain rang, on a un = bn vn . Dans ce cas, on écrit un = O(vn ). Si de plus (vn ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors un = O(vn ) si et seulement si la suite ( uvnn ) est bornée.

Exemples 1. Pour tout 2.

sinx x

2 R, (ln x) = O(x), au voisinage de +1.

= O0 (1).

3. tan x = O 2 ( x 1 ). 2

4. cos x = Oa (1), pour tout a 2 R. 1

1.2 Fonction négligeable devant une autre fonction Dé…nition 1.2 Soient f et g deux fonctions dé…nies sur un voisinage de a, a 2 R. On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a, s’il existe un voisinage V de a et une fonction "(x) dé…nie sur V , telle que i) lim "(x) = 0 x !a

ii) f (x) = "(x)g(x), 8x 2 V . Notation de Landau Si f est négligeable devant g au voisinage de a, on écrit f (x) = o(g(x)) au voisinage de a, ou encore f (x) = oa (g(x)) et on dit que f (x) est un petit o de g(x) au voisinage de a. Remarques 1. f (x) = oa (1) si et seulement si lim f (x) = 0. x !a

2. Si f (x) = oa (g(x)) alors f (x) = Oa (g(x)). 3. Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, alors f (x) = oa (g(x)) () lim

f (x)

x!a g(x)

= 0:

4. Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. On dit que (un ) est négligeable devant (vn ), et on écrit un = o(vn ) s’il existe une suite ("n ), telle que i) lim "n = 0 n !+1

ii) à partir d’un certain rang, un = "n vn . Si de plus (vn ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors. un = 0: !+1 vn

un = o(v n ) () lim n

Exemples 1. Pour tous ; 2 R, tels que > , on a x = o0 (x ). 2. ln(1 + x2 ) = o0 (x): 3. Pour tout n 2 N, xn = o(ex ) et (ln x)n = o(x) au voisinage de +1. Proposition 1.1 (Opérations sur les petits o) i) f (x) = oa (g(x)) et g(x) = oa (h(x)) =) f (x) = oa (h(x)): ii) f (x) = oa (g(x)) =) 8 2 R , f (x) = oa ( g(x)): iii) f1 (x) = oa (g(x)) et f2 (x) = oa (g(x)) =) 8 1 ; 2 2 R, 1 f1 (x) + 2 f2 (x) = oa (g(x)): iv) f1 (x) = oa (g1 (x)) et f2 (x) = oa (g2 (x)) =) f1 (x)f2 (x) = oa (g1 (x)g2 (x)). Preuve i) Il existe "1 et "2 deux fonctions dé…nies sur un voisinage de a, telles que f (x) = "1 (x)g(x); g(x) = "2 (x)h(x) et lim "1 (x) = lim "2 (x) = 0; x !a

donc f (x) = "1 (x)"2 (x)h(x) et lim "1 (x)"2 (x) = 0:

x !a

x !a

D’où f (x) = oa (h(x)):

ii) Il existe une fonction "(x) dé…nie sur un voisinage de a, telle que f (x) = "(x)g(x) et lim "(x) = 0; donc pour tout 2 R ,on a x !a

f (x) = 1 "(x) g(x) et lim 1 "(x) = 0. D’où f (x) = oa ( g(x)): x !a

2

iii) Il existe "1 et "2 deux fonctions dé…nies sur un voisinage de a, telles que f1 (x) = "1 (x)g(x); f2 (x) = "2 (x)g(x) et lim "1 (x) = lim "2 (x) = 0, donc x !a

8 1;

2

2 R;

1 f1 (x)

+

2 f2 (x)

x !a

= ( 1 "1 (x) +

2 "2 (x))g(x)

et lim ( 1 "1 (x) + x !a

2 "2 (x))

= 0:

D’où 1 f1 (x) + 2 f2 (x) = oa (g(x)): iv) Il existe "1 et "2 deux fonctions dé…nies sur un voisinage de a, telles que f1 (x) = "1 (x)g1 (x); f2 (x) = "2 (x)g2 (x) et lim "1 (x) = lim "2 (x) = 0; donc x !a

x !a

f1 (x)f2 (x) = "1 (x)"2 (x)g1 (x)g2 (x) et lim "1 (x)"2 (x) = 0. x !a

D’où f1 (x)f2 (x) = oa (g1 (x)g2 (x)).

Corollaire 1.1. Pour toute fonction g dé…nie au voisinage de a, on a 8 1 ; 2 2 R; 1 oa (g(x)) + 2 oa (g(x)) = oa (g(x)): 8 2 R ; oa ( g(x)) = oa (g(x)):

1.3 Fonctions équivalentes Dé…nition 1.3 Soient f et g deux fonctions dé…nies sur un voisinage de a, a 2 R. On dit que f est équivalente à g au voisinage de a et on écrit f (x) g(x) au voisinage de a, ou f (x) g(x) s’il existe un a voisinage V de a et une fonction h dé…nie sur V , telle que i) lim h(x) = 1 x !a

ii) f (x) = h(x)g(x) 8x 2 V . Remarques 1. Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, on a (x) i) f (x) g(x) () lim fg(x) = 1: a

x!a

(x) ii) lim fg(x) = l, l 2 R =) f (x) l:g(x): x!a

a

2. f (x) g(x) () f (x) a

g(x) = oa (g(x)):

3. Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. On dit que (un ) est équivalente à (vn ), et on écrit un vn s’il existe une suite (wn ), telle que i) lim wn = 1 n !+1

ii) à partir d’un certain rang un = wn vn . Si de plus (vn ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors. un

Exemples ex 1 sin x;

tan x sin x;

0

1

tan x

x 2

0

, 2

ln(1 + x) x; 0

un = 1: !+1 vn

v n () lim n

arctan x ex

+1 2

1 x, 0

3

,

cos x 1; 0

ex x + 1. 0

Proposition 1.2 i) Si f (x) g(x) et si lim g(x) = l alors lim f (x) = l: a

x!a

x!a

ii) Si f (x) g(x) alors f (x) et g(x) ont même signe dans un voisinage de a. a

iii) Si f1 (x) g1 (x) et f2 (x) g2 (x) alors f1 (x)f2 (x) g1 (x)g2 (x). a

a

a

Preuve i) f (x) g(x) alors il existe une fonction h dé…nie sur un voisinage V de a, telle que a

8x 2 V; f (x) = h(x)g(x) et lim h(x) = 1: x !a

Et puisque lim g(x) = l alors lim f (x) = l: x!a

x!a

ii) Si a 2 R; on a lim h(x) = 1 alors il existe

> 0, 8x 2 ]a

x !a

; a + [ ; jh(x)

1j < 12 .

Et comme f (x) = h(x)g(x) et h(x) > 12 ; 8x 2 ]a ; a + [, alors f (x) et g(x) ont même signe sur ]a ; a + [. Remplacer ]a ; a + [ par ] ; +1[ en +1 et par ] 1; [ en 1: iii) f1 (x) g1 (x) et f2 (x) g2 (x) alors il existe deux fonctions, h1 (x) et h2 (x) dé…nies sur un a a voisinage de a, telles que f1 (x) = h1 (x)g1 (x); f2 (x) = h2 (x)g2 (x) et lim h1 (x) = lim h2 (x) = 1: x !a

x !a

Donc f1 (x)f2 (x) = h1 (x)h2 (x)g1 (x)g2 (x) et lim h1 (x)h2 (x) = 1. x !a

D’où f1 (x)f2 (x) g1 (x)g2 (x). a

Remarque Si f1 (x) g1 (x) et f2 (x) g2 (x), on a pas toujours f1 (x) + f2 (x) g1 (x) + g2 (x). a a a En e¤et Si f1 (x) = sin x, g1 (x) = ex 1 et f2 (x) = g2 (x) = x, alors f1 (x) g1 (x) et f2 (x) g2 (x) car 0

0

sin x cos x f2 (x) f1 (x) = lim x = lim x = 1 et lim = 1: x !0 e x !0 g2 (x) !0 g1 (x) 1 x !0 e

lim

x

Mais f1 (x) + f2 (x) n’est pas équivalente à g1 (x) + g2 (x), car f1 (x) + f 2 (x) sin x = lim x x !0 e !0 g1 (x) + g (x) x 2

lim

x

x cos x 1 = lim = lim x !0 1 x !0 ex 1

Exercice Soit f une fonction dérivable en un point a de R, montrer que 1) Si f 0 (a) 6= 0 alors f (x) f (a) f 0 (a)(x a): a

2) Si (f (a); f 0 (a)) 6= (0; 0) alors f (x) f (a) + f 0 (a)(x a

a):

Solution 1) f (x)

f (a) f 0 (a)(x a

0

f (x) f (a) 0 f x !a (a)(x a)

a) car lim

=

2) Si f (a) = 0 alors f (a) 6= 0 et d’après 1) f (x) f (x) 0 x !a f (a)+f (a)(x a)

Si f (a) 6= 0, alors lim

=

f (a) f (a)

f 0 (a) f 0 (a) a

= 1:

f (a) + f 0 (a)(x

a):

= 1, car f est continue en a. 4

sin x = 0: ex

Exercices Exercice1. Soit a 2 R et soit F l’ensemble de toutes les fonctions dé…nes au voisinage de a. 1. Montrer que la relation R dé…nie sur F par f Rg () f (x)

a

g(x)

est une relation d’équivalence sur F . 2. Montrer que les relations " o" et " O" sont transitives et compatibles avec la multiplication. Exercice 2. Soient m; n 2 N et soient , 1. Montrer, qu’au voisinage de 0, on a a) o(xn ) = xn o(1); d) o(xn ) = o(xn );

2R

2R

2. Montrer, qu’au voisinage de +1, on a a) < =) x = o(x ), 3. Si

c) o(xn ) o(xm ) = o(xmin (n;m) ); f) > 0 =) jln jxjj = o( jxj1 ):

b) o(xn )o(xm ) = o(xn+m ); e) > =) jxj = o( jxj )

b)

> 0 =) (ln x) = o(x ).

> 0, trouver une suite (un ), telle que un = o(n ) et (ln n) = o(un ):

Exercice 3. Soient x0 2 R et f , g deux fonctions dé…nies sur un voisinage de x0 et strictement positives. On suppose que f admet en x0 , une limite l 2 R et que f (x) g(x). x0

1. Montrer que si l 6= 1 alors ln f (x)

x0

ln g(x).

2. Que peut-on dire si l = 1? Exercice 4. Soient n 2 N et a0 ; a1 ; :::; an 2 R. Montrer qu’au voisinage de 0, on a a0 +a1 x + ::: + an xn = o0 (xn ) () a0 = a1 = ::: = an = 0: Exercice 5. Soient a; b 2 R et f , g deux fonctions dé…nies sur un voisinage de a et soit ' une fonction dé…nie sur un voisinage de b, telle que lim '(x) = a. Montrer que x !b

f (x) g(x) =) f a

'(x) g '(x): b

Exercice 6. Soient les fonctions f et g dé…nies par f (x) =

1 ln(1 + x) ; g(x) = : x x2

1. Montrer que f (x) g(x): 0

2. Calculer lim (f (x) x !0

g(x)).

3. En déduire que exp(f (x)) n’est pas équivalente à exp(g(x)) au voisinage de 0. Exercice 7. En utilisant les fonctions équivalentes, calculer ln(1 + 2x3 x4 ) ; !0 tan x: arcsin x2

lim

x

tan(x cos x x) ; !0 sinh(x2 )arctan(x)

lim

x

5

x

x5 +2 1 sin( ); 2 !+1 5x +1 x

lim

Exercice 8. Soit f une fonction continue et strictement croissante sur ]0; +1[, telle que f (x)

+1

Montrer que f admet une fonction réciproque f f

1

(x)

+1

Exercice 9. On considère l’équation ( ) xn 1. On pose f (x) = xn

x

x2 : 4 1

et que

p 2 x: x

1 = 0; où n > 3.

1 . Montrer que f (1 + n1 ) > 0.

2. Montrer que ( ) admet une unique solution xn dans l’intervalle 1; 1+ n1 . 3. A l’aide de n ln(xn ) = ln(1 + xn ), montrer que xn = 1 +

ln2 n

+ o( n1 ).

Exercice 10. Soit la fonction f dé…nie sur R , x

: ex 1 1. Montrer que f admet un prolongement par continuité sur R, noté g. f (x) =

2. Montrer que g est une bijection de classe C 1 sur R. 3. Justi…er que pour tout n 2 N , il existe un unique xn , tel que f (xn ) = 1 + n1 . 4. En déduire que la suite (xn ) est convergente, déterminer sa limite. 5. Montrer que g 1 (x)

1

2(x

1) et en déduire que xn =

6

2 n

+ o( n1 ).