Chapitre III

Chapitre III : Modélisation de la machine asynchrone

Les machines asynchrones sont des machines à courant alternatif, également appelées machines à induction, qui sont souvent utilisées comme moteurs et se caractérisent par le fait que le rotor tourne à une vitesse qui diffère du champ tournant dans l'entrefer. Raison laquelle il porte le nom asynchrone. Constitution et principe de fonctionnement : Constitution : Il a une inductance fixe appelée stator et une armature mobile appelée rotor. C'est un transformateur de champ magnétique tournant dont le primaire et le stator et le secondaire sont court-circuités et le rotor tourne librement. a) Stator Elle est constituée par une couronne de tôles minces empilées, cette couronne est serrée dans une carcasse, et des encoches contiennent un enroulement triphasé b) Rotor C’est un cylindre fait de tôles empilées clavetées sur l’arbre du moteur, des encoches sont percées dans les tôles de la surface extérieur du cylindre, des conducteur passent dans ces encoches, ils sont réunis en court-circuit, l’ensemble forme un bobinage polyphasés ayant le même nombre de pôles que le stator. Il y a deux types de structure électrique pour le rotor : 

à bagues : où Les trois phases sont reliées à la boite à bornes par l’intermédiaire de bagues collectrices

Figure III.1: Machine asynchrone à bagues 

à cage d’écureuil où chaque encoche comporte une barre

Figure III.2 : Machine asynchrone à cage Equations électriques de la machine asynchrone : Les équations triphasées des tensions :

[V s ]=R s .[i s]+

d [φ s ] . dt

(3.1)

Où : [V s ]=[V sa V sb V sc ] T : Vecteur tension statorique. [i s ]=[i sa i sb i sc ]T : Vecteur courant statorique. [φs ]=[φ sa φ sb φ sc ]T : Vecteur flux statorique. [V r ]=R r .[i r ]+

d [φ r ] . dt

(3.2)

[V r ]=[V ra V rb V rc ]T : Vecteur tension rotorique. [ir ]=[i ra i rb i rc ]T : Vecteur courant rotorique. [φr ]=[φ ra φrb φrc ]T : Vecteur flux rotorique. Equations magnétiques : [∅ s ]=[ Ls ].[i s ]+[ Lm ] [ ir ].

(3.3)

[∅ r ]=[ Lr ].[ir ]+[ Lm ]t [ i s ] .

(3.4)

[ Ls ] : Matrice inductance de stator. [ Lr ] : Matrice inductance de rotor. [ Lm ]: Matrice inductance mutuelles de stator et rotor.

En tenant compte de l’hypothèse citée précédemment et à cause de la symétrie de la machine les inductances propres des phases seront constantes et égales, et les inductances mutuelles seront fonction uniquement de la position angulaire θ. Les matrices inductances propres et la matrice mutuelle sont définies par : Laa Lab Lab L AA L AB [ Ls ]= Lab Laa Lab ; [ Lr ]= L AB L AA Lab Lab Laa L AB L AB

[

L AB L AB L AB

] [

[ Lm ]=LaA

[

]

2π 2π ) cos(θ− ) 3 3 2π 2π cos(θ− ) cos(θ) cos( θ+ ) 3 3 2π 2π cos(θ + ) cos(θ− ) cos(θ) 3 3 cos ⁡(θ)

cos(θ+

]

Pour l’ensemble des phases statoriques, on déduit les équations suivantes : V sa Rs 0 0 i sa ∅ d sa V sb = 0 R s 0 i sb + ∅ dt sb V sc 0 0 R s i sc ∅ sc

[ ][

][ ] [ ]

(3.5)

Les équations triphasées des flux statoriques : Où: La M ab M ac [ Ls ]= M ab Lb M bc M ac M bc Lc

[

d

d

d

d

]

[ v s ]=R s [ is ] +[Ls ]. dt [is ]+ dt {[ Lm ] . [ ir ] } [ v r ]=R s [ ir ] +[L s ]. dt [ir ]+ dt {[ Lm ]t . [ is ] }

(3.6)

(3.7)

Equation mécanique : Le fonctionnement de la MAS en charge est régi par l’équation fondamentale suivante : J m ω ˙r + f m ω r=C em −C r

(3.8)

Transformation de Park : La transformation de Park a pour but de traiter une large gamme de machines de façon unifiée en le ramenant à un modèle unique, Cette conversion est appelée souvent transformation des axes, fait correspondant aux deux enroulements de la machine originale suivie d'une rotation, les enroulements équivalents du point de vue électrique et magnétique .Cette transformation ainsi, pour l’objectif de rendre les inductances mutuelles du modèle indépendantes de l’angle de rotation La application de la transformation de Park à la machine asynchrone correspond à une transformation des trios bobine (statorique et rotorique) à deux bobine équivalente reprenant les mémés considération ou aspects en terme, de flux, de couple, de courant ou du mois une image qui leur sera parfaitement proportionnelle. Pour le passage du système triphasé vers le système biphasé, on a les équivalents suivants: L’équivalent de tension : [ V dq 0 ]=[ P ( θ obs ) ] [ V abc ] L’équivalent de courant :[ i dq 0 ] =[ P ( θobs ) ] [ i abc ] L’équivalent de flux :[ Φ dq 0 ] =[ P ( θobs ) ] [ Φabc ] Ou : P ( θobs ): est la matrice de Park Dans le cas d’un passage inverse, on a :

−1

¿ [ V abc ]=[ P ( θobs ) ]

[ V dq 0 ] ¿ [ ˙i abc ]=[ P ( θobs ) ] [ idq 0 ] −1 ¿ [Φ abc ]=[ P ( θobs ) ] [ Φdq 0 ]

{

−1

La matrice de transformation de Park modifiée directe et inverse s’écrive alors :

√

P ( θobs )=

[

cos ⁡(θ)

2 −sin ⁡(θ) 3 √2 2

√

Le facteur

( 23π ) 2π −sin ⁡( θ− 3 )

( 23π ) 2π −sin ⁡( θ+ 3 )

√2

√2

2

2

cos ⁡ θ−

cos ⁡ θ+

]

(3.9)

2 : est là pour conserver la puissance électrique instantanée 3

Application de la transformation de Park : a-Equations des tensions : R ¿ V sd = s 0 ¿ V sq

[ ][

0 ¿ i sd d ¿ Φ sd 0 −ω s ¿ Φ sq + + Rs ¿ i sq dt ¿Φ sq ω s 0 ¿ Φ sd

][ ] [ ] [

][ ]

0 −( ω s−ωr ) ¿ Φrq ¿ V rd = R r 0 ¿ ird + d ¿ Φ rd + = ¿0 ¿0 0 Rr ¿ i rq dt ¿ Φ rq ( ω s−ωr ) 0 ¿ V rq ¿Φ rd

[ ][

][ ] [ ] [

][ ] [

]

b-Equation magnétique : L 0 ¿ Φ sd = s 0 Ls Φ sq L 0 ¿ Φ rd = r 0 Lr Φrq

[ ][ [ ][

i sd + M 0 i sq

0 i [ ][ ] M ] [ i ] i + M 0 i ][i ] [ 0 M][i ] rd rq

rd

sd

rq

sq

Avec: Ls =l s−M , Lr =l r −M : Inductance cyclique propre du stator et du rotor respectivement.

3 M = M 0: Inductance cyclique mutuelle stator-rotor 2 c-Equation mécanique : Le couple électromécanique devient : C em= p

M ( Φ i −Φ rq i sq ). Lr rd sd

(3.10)

L’équation de la vitesse mécanique est : J

d Ω =C em −Cr −f Ω r. dt r

(3.11)

La Commande vectorielle par orientation du flux : L’objectif de la commande par orientation du flux est le découplage des grandeurs responsables de la magnétisation de la machine et de la production du couple. Mathématiquement, la loi de la commande consiste à établir l’ensemble des transformations pour passer d’un système possédant une double non linéarité structurelle à un système linéaire qui assure l’indépendance entre la création du flux et la production du couple comme dans une machine à courant continu à excitation séparée]. Commande par orientation du flux consiste à régler le flux par une composante du courant et le couple par l’autre composante. Pour cela, il faut choisir un système d’axe «d, q». Un choix judicieux de l’angle d’orientation du repère «d, q» entraîne l’alignement de Principe du contrôle par flux oriente : Dans ce cas le flux rotorique est orienté sur l’axe «d» d’une référence solidaire au champ tournant de vitesse (Ws), donc on peut remarquer les propriétés suivantes: La composante transversale du flux rotorique est nulle.( Φ rq =0 )

(

¯

L’axe «d» est aligné systématiquement sur le vecteur du flux rotorique. ϕr =Φrd

)

La composante longitudinale du courant rotorique est nulle si le flux rotorique est maintenu constant.( Φ r=cst → i rd =0 )

Le modèle vectoriel de la machine asynchrone est décrit par les équations suivantes :

{

¯

d Φ + j ωs Φ s dt s . ¯ ¯ ¯ d ¿ 0=Rr i r + ϕ r + j ωr ϕr dt

¿ V S=R s i s +

(ІII.01)

(ІII.02)

¿.

Avec : X´ =X d + j X q :(représente le flux, les courants et les tensions)

(

¯

¯

)

Pour écrire le modèle de la MAS avec l’état i s , ϕr on réalise les changements suivants : ¯

M ϕr M 2 ¯ M2 ¯ M ¯ . ϕ S=L S i S + − i =L 1− i + ϕ Lr Lr S S Ls Lr S Lr r ¯

¯

¯

(

¯

ϕ S=σ L S i S +

)

(ІII.03)

M¯ ϕ. Lr r

Dans l’équation de la tension statorique et dans l’équation de la tension de la tension rotorique donne : ¯

Φ M is. ir = r − Lr Lr

¯

{

¯

V S =R s i S +

¯ ¯ d M M σ L S i S + Φr + jω s σ L S i S + Φ r dt Lr Lr

(

(

) (

¯

)

Φr M i s d 0=R r − + Φr + j ωr Φ r Lr Lr dt

0=

−M Rr ¯ Rr d iS+ + j ωr Φ r + Φ r. Lr Lr dt

0=

−M Rr ¯ Rr is+ + jω r + S Φ r ; Φr =Φ dr. Lr Lr

(

(

)

.

(ІII.04)

)

)

On décompose l’équation en partie réelle et imaginaire, on aura :

(ІII.05)

−M Rr R i ds + r + S Φr Lr Lr . −M R r ωr Lr 0= i qs +ωr Φ r →i qs = Φ Lr Rr M r

{

( )

0=

Rr 1 s+ Lr Tr T S +1 i ds= Φ r= Φr = r Φr M Rr M M . Tr Lr T ω i qs = r r Φ r M

{

(ІII.06)

s+

(ІII.07)

La relation de signifie que dans le modèle de la machine asynchrone dans le repère (d, q) à flux rotorique orienté, le module de ce flux est contrôlé linéairement par la composante directe du courant statorique moyennant une dynamique du premier ordre avec la constante de temps Tr ¯

∇ r =0=R r i r +

{

d Φ + j ωr Φr . dt r

d Φ −ω r Φqr =0 dt dr . d V qr =R r i qr + Φ qr + ωr Φ dr dt

V dr =R r i dr +

d Φ dt dr . d ¿ Φ dr=cte → Φ dr=0 dt ¿ 0=R r idr +

(ІII.08)

(ІII.09)

(ІII.10)

D’après ces propriétés on peut écrire: ¿ Φ qr =0 ¿ Φdr =Φr =cst . ¿ i dr =0

{

(ІII.11)

On remplace ce système dans les équations des flux, on obtient : Φ r=M i ds . Φqr =Lr irq + M i qs =0

{

(ІII.12)

A partir de la dernière équation de ce système on aura l'équation suivante : i rq =

−M i . Lr sq

(ІII.13)

On remplace le système (ІII.14) dans la formule de couple électromagnétique on aura : C e=

PM Φi . Lr r sq

(ІII.14)

Ou encore, le couple devient: C e =K 2 i sd i sq. Avec : K 2=

P M2 . Lr

1-Commande vectorielle directe: Pour déterminer le positon et la norme du flux (contrôler par contre réaction) il faut utiliser les capteurs à effet HALL placés sur les dents de stator (ceci nécessite des moteur spéciaux), ils sont mécaniquement fragiles et ne peuvent pas travailler dans les conditions sévères telles que les vibrations et. Les échauffements excessifs, et leur fréquence varie avec la vitesse ce qui nécessite des filtres ajustables. L’application de cette méthode impose plusieurs inconvénients de natures différentes: • La non fiabilité de la mesure du flux - problème de filtrage du signal mesuré. - précision médiocre de la mesure qui varie en fonction de la température (échauffement de la machine) et de la saturation. - Le coût de production élevé (capteurs+filtre). Afin de pouvoir utiliser une machine standard les capteurs de flux doivent être remplacés par estimateur de flux. Nous appliquons la commande vectorielle directe à la machine asynchrone alimentée en tension avec convertisseur Commande vectorielle indirecte: Cette méthode n’exige pas l’utilisation d’un capteur de flux rotorique mais nécessite l’utilisation d’un capteur ou un estimateur de position (vitesse) du rotor. Cette dernière peut être développée par deux groupes principaux : *Le vecteur du flux rotorique est obtenu

indirectement à partir des courants et des tensions statoriques mesurées. Dans le deuxième groupe, le vecteur de flux rotorique est estimé à partir de la mesure des courants statoriques et de la vitesse du rotor, en se basant sur les équations du circuit rotorique du moteur asynchrone dans un système de référence tournant en synchronisme avec le vecteur de flux rotorique. L’inconvénient majeur de cette méthode est la sensibilité de l’estimation en vers la variation des paramètres de la machine due à la saturation magnétique et la variation de température, surtout la constante de temps rotorique Tr. En plus, c'est qu’elle utilise un circuit de commande considérablement compliqué.

Calcul des régulateurs Régulation De Vitesse : Le schéma de régulation de la vitesse avec un régulateur PI est le suivant :

Figure ІII.1 : Boucle de régulation de vitesse à structure PI

ke= p

M Φ : Constante du couple électromagnétique. Lr r −ref

Avec cette structure de régulation (PI) de vitesse, on n’a pas pu avoir de bonnes performances à la fois pour l’asservissement (réponse par rapport à la consigne) et pour la régulation (réponse par rapport à la perturbation). Alors, on est amené à utiliser la structure de régulation de vitesse IP, tel que schématisée sur la figure suivante :

Figure III.2 : Boucle de régulation de vitesse structure PI

Modélisation de la machine asynchrone sous Matlab/simulink  : Dans cette partie on va simuler les grandeurs suivants : Φdr , Φqr , Ids , Iqs , le couple, la vitesse de rotation et le courant de phase : De 0 à 1.5s le moteur va démarrer à vide (voir figure III.3), avec un démarrage transitoire qui dure 0.85s où les grandeurs se stabilisent et la vitesse atteint une valeur de 100rad/s et le couple électromagnétique se stabilise et après avoir atteint la valeur maximale de 29N.m. Le courant Ids se stabilise à 4A et le courant Iqs prend une valeur de 0A. Le courant de phase est sinusoïdal est se stabilise à 3.2A. De 1.5 à 2s on applique un couple résistif de 5N.m (voir figure III.3),  on remarque que le moteur réponds à ce changement. Le couple électromagnétique augmente et compense immédiatement. La vitesse de rotation et le courant de phase atteignent leurs valeurs nominales (99rd/s et 4A) la commande vectorielle commence de ramener la vitesse à sa vitesse de référence qui est de 100rad/s.

Figure III.3 : simulation de la machine asynchrone avec un démarrage à vide et un couple résistant à t=1.5s.

Interpretations,,,,,,,,,,,, ???????????????

CONCLUSION