Chapitre 2 SE

Ch2. Stabilité et précision des systèmes échantillonnés I- Stabilité des systèmes échantillonnés 1- Définition Un système est dit stable s’il est écarté de sa position d’équilibre, il tend à y revenir.

2- Condition de stabilité Désignons par F(p) la fonction de transfert d’un système et F(z) sa transmittance échantillonnée. La stabilité exige que tous les pôles pi de F(p) aient leur partie réelle strictement négative : Re( pi )  i <0 Exemples 2 est une fonction instable car son pôle est 1/3 et 1/3>0 1 3p 5 est une fonction stable car son pôle est -2 et -2<0 F ( p)  4  2p F ( p) 

Dans le domaine de z, il suffit de procéder au changement de variable z=eTp  pi   i  ji (car e ji T  1 )  zi  e iT .e ji T  zi  e iT  Tpi  zi  e

i <0  e T <1  zi <1 i

Ainsi : ‘ Un système échantillonné est stable ssi tous les pôles de sa transmittance F(z) sont de module inférieur à 1’ Illustration graphique

stable

instable

instable sts stable e

zi <1

Re( pi ) <0

Plan Laplace

Plan de z 1

Exemples a) Stabilité en boucle ouverte d’un système de 1er ordre Soit un système dont la transmittance échantillonnée est :

G( z ) 

S ( z) b  E ( z ) 1  az 1

L’unique pôle de la fonction de transfert est –a. Donc la condition de stabilité est : a <1 Exemples

4 est instable car son pôle est -2 qui est tel que  2 >1 1  2 z 1 3 - Le système G ( z )  est stable car son pôle est 0.7 qui est tel que 0.7 <1 1  0.7 z 1 - Le système G ( z ) 

b) Stabilité en boucle fermée d’un système de 1er ordre E(z)

+

ε(z)

S(z) G(z)

-

bz S ( z) G( z) bz G f ( z)    za  bz E ( z) 1  G( z) 1  (b  1) z  a za

Le système est stable en boucle fermée si l’unique pôle de cette fonction de transfert est tel que son module est inférieur à 1. Soit :

a b 1

<1

a 1 1 <1 b 1 b 1 Si le système est stable en boucle ouverte et si b>0 alors le système est stable en boucle fermée.

Remarque : a <1 et b>0  b+1>1 

2

3- Critères de stabilité Il existe deux sortes : - Les critères algébriques : tels que le critère de Jury - Les critères graphiques : tels que le critère de Nyquist Le critère le plus utilisé est le critère de Jury

Critère de Jury N ( z) la fonction de transfert du système en boucle fermée. D( z ) Supposons que : D(z)=a0+ a1z+… +anzn et an>0

Soit G f ( z ) 

Le système est stable si les (n+1) conditions suivantes sont satisfaites : n  1  )   ai > 0 (ou D(1) > 0 )  i 0 n  n 2  )(  1 ) (1)i ai > 0(ou D(-1) > 0 si n est pair et D(-1) < 0 si n est impair)   i 0     D(-1)  3) a  a < 0 0 n  4) a j  a j > 0 avec j  1,2,...n - 2(pour n  3) 0 n- j 

j 1 k

Avec a



a0j

anj j  k

anj j

akj

(relation de récurrence)

Exemples  n=2, D(z)=a2z2+ a1z+a0 , a2>0 Les conditions de stabilité en boucle fermée sont les suivantes : 1)a2  a1  a 0 > 0 (ou D(1) > 0 )  2)a2  a1  a 0 > 0(ou D(-1) > 0 ) 3) a  a < 0 0 2  3

 n=3, D(z)= a3z3+ a2z2+ a1z+a0 , a3>0 Les conditions de stabilité en boucle fermée sont les suivantes :

1)a3  a2  a1  a 0 > 0 (ou D(1) > 0 ) 2)  a  a  a  a < 0(ou D(-1) < 0 ) 3 2 1 0  3) a  a < 0 0 3  1 4) a  a1 > 0(j  1 et n  3) 0 2  j 1 k

On rappelle que : a

a01 

a12 

a00

a30

0 3

0 0

a

a

a00

a10

a30

a20



a0

a3

a3

a0



a0

a1

a3

a2



a0j

anj j  k

anj j

akj

 a0  a3 2

2

(k=0 et j=0 dans la relation de récurrence)

 a0 a2  a1a3 (k=2 et j=0 dans la relation de récurrence)

Donc la 4ème condition est : a0  a3  a0 a2  a1a3 >0 2

2

II- Précision des asservissements échantillonnés 1- erreur de position 1-1-

Définition

Considérons un système échantillonné en boucle ouverte G(z) placé dans une boucle à retour unitaire : E(z)

+

ε(z)

S(z) G(z)

-

4

On définit l’erreur de position εp par :  p  lim  k pour une entrée à un échelon unité. k 

1

εp sk t T

2T

3T

4T

En appliquant le théorème de la valeur finale, on obtient :  p  lim z 1

Avec ε(z)=E(z)-S(z)=E(z)-G(z) ε (z) E ( z) z  1 E ( z) D’où  ( z )    p  lim z  1 1  G( z) z 1  G( z) Or le signal d’entrée est un échelon unité donc E ( z ) 

z 1  ( z) z

z z 1

1 z 1 1  G ( z )

D’où :  p  lim

1-2-

Erreur de position d’un système échantillonné de 1er ordre

Supposons que : G( z ) 

b bz avec b>0  1 1  az za

1 1  lim z  1 bz 1  G( z) 1 za za 1 a  lim  z 1 (b  a ) z  a b 1 a

 p  lim z 1

εp=0  a=-1 càd la fonction de transfert G(z) possède un pôle égal à 1

5

Remarque Si H(z) désigne la fonction de transfert en boucle fermée, alors on a : ε(z)=E(z)-S(z)= E ( z )(1 

  p  lim z 1

S ( z) )  E(z)(1-H(z)) E( z) z  (1  H ( z )) (le signal d’entré est un échelon unité) z 1

z 1 z 1 z  ( z )  lim (1  H ( z )) z 1 z z z 1

D’où  p  lim(1  H ( z )) z 1

1-3-

Donc εp=0  H(1)=1

Généralisation

1 .F ( z ) (1  z 1 )n Un tel système possède n pôles égaux à 1. On dit aussi que la fonction de transfert en boucle ouverte contient n intégrateurs. Considérons un système de fonction de transfert G(z), telle que : G( z ) 

1  lim z 1 1  G ( z ) z 1 1

 p  lim

1 1 1 ( z  1) n  lim  lim  lim z 1 z 1 F ( z) F ( z) z n F ( z ) z 1 ( z  1) n  z n F ( z ) 1  1  ( z  1) n (1  z 1 ) n ( z  1) n zn

Si n≥1 alors εp=0 La présence d’au moins un intégrateur dans la fonction de transfert en boucle ouverte G(z) (au moins un pôle égal à 1) assure l’annulation de l’erreur statique de position εp

2- erreur de vitesse 2-1-

Définition

On définit l’erreur de position εv par :  v  lim  k pour une entrée en rampe. k 

6

z 1 z  1 E( z)  ( z )  lim z 1 z 1 z z 1  G( z) Tz Si e(t)=t pour t>0 alors E ( z )  ( z  1)2

 v  lim

D’où :  v  lim z 1

2-2-

T ( z  1)(1  G( z ))

Erreur de vitesse d’un système échantillonné de 1er ordre

Supposons que : G( z ) 

b bz avec b>0  1 1  az za

T T T ( z  a)  lim  lim z 1 ( z  1)(1  G ( z )) z 1 z 1 ( z  1)( z (1  b )  a )) bz ( z  1)(1  ) za T ( z  1) T - Si a=-1 alors  v  lim  z 1 ( z  1)( z (1  b)  a )) b - Si a≠-1 alors  v  

 v  lim

2-3-

Généralisation

Considérons un système de fonction de transfert G(z), telle que : G( z ) 

1 .F ( z ) (1  z 1 )n

T T T  lim  lim z 1 ( z  1)(1  G ( z )) z 1 ( z  1) F ( z ) z 1 ( z  1) F ( z ) z n ( z  1)  ( z  1 )  (1  z 1 ) n ( z  1) n

 v  lim

 lim z 1

-

Si n=1 alors  v 

-

Si n≥2 alors εv=0

T ( z  1) 

F ( z) z n ( z  1) n 1

T ( z  1) n 1  lim z 1 ( z  1) n  z n F ( z )

T 0 F (1)

En conclusion, la présence d’au moins 2 intégrateurs dans la fonction de transfert en boucle ouverte G(z) (au moins deux pôles égaux à 1) assure l’annulation de l’erreur vitesse εv. 7

Illustration graphique - Si n≥2 , εv=0

ek sk

t T 2T 3T 4T

- Si n=1 ,  v 

T 0 F (1)

ek

T/F(1) sk

t T 2T 3T 4T

8

T.D : Stabilité et précision des systèmes échantillonnés asservis

Exercice 1 : Mise en équation d’un asservissement et étude de sa stabilité On considère un S.E de F.T G(z) placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire :

G( z ) 

K ( z  0.4)( z  0.8)

avec K>0

1- Calculer la F.T en B.F et étudier les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée. 2- Le système étant sollicité en B.F par un échelon unité, calculer puis tracer les 8 premiers éléments de la suite des échantillons de sortie dans le cas où K=0.3 et déterminer lim sk k 

Exercice 2 : Influence du gain sur les performances dynamiques d’un S.E (Dilemme stabilité-précision) On considère un S.E de F.T en B.O G(z) placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire : 0.16 K avec K>0 G( z)  ( z  0.8)2 1- Calculer la fonction de transfert en B.F et déterminer la condition de stabilité du sytème en boucle fermée. 2- Le gain étant réglé sur K=1, a) déterminer en B.F l’équation de récurrence et calculer puis tracer les 9 premiers éléments de la suite des échantillons de sortie lorsque l’entrée est un échelon unité. b) Donner la valeur finale de la sortie. c) Calculer de position  p et déduire du tableau le taux d’amortissement

D

smax  s .100% s

3- Répondre aux mêmes questions en réglant le gain sur K=2 4- Conclure.

9