CHAPITRE II

CHAPITRE II

PROBLEMES D’EVOLUTION ELASTOPLASTIQUE

53

54

1. Un exemple simple de structure On s'intéresse au système réticulé, représenté figure 1, formé de trois barres verticales identiques (longueur l), numérotées de 1 à 3, fixées à leur extrémité supérieure (points A', B’ et C') par des articulations sans frottement, et reliées entre elles en partie inférieure à un barreau rigide, les points A, B et C représentant également des articulations sans frottement. Les seules contraintes "généralisées" du système sont donc les efforts Ni , i 1,2,3 de traction-compression dans les barres. Le chargement est constitué d'une force verticale d'intensité Q, comptée positivement vers le bas, appliquée au point D milieu de BC, et croissant progressivement à partir de zéro ( Q: 0 ).

A'

1

B'

N1

N2

A

B

C'

N3

C

D

2

q

3

Q Figure 1. Calcul élastoplastique d'un système réticulé. Les barres ont un comportement élastique parfaitement plastique schématisé par le diagramme

( N i , i ) de la figure 2. S désigne la section des barres, E le module d'Young du matériau constitutif, supposé homogène, et L la limite d'élasticité en traction-compressiondes barres. Le tableau 1 ci-dessous, homologue du tableau 3 du chapitre 1, récapitule les différentes écritures en vitesse de la loi de comportement élastique parfaitement plastique pour la barre n°i. On observe en particulier que le principe du travail plastique maximal se traduit ici par le fait que la barre

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s’allonge (resp. se raccourcit) plastiquement lorsque la limite d’élasticité étant atteinte en traction (resp. compression), la valeur de l’effort est maintenue constante.

f ( Ni )  Ni  L  0

f ( Ni )  Ni  L  0

i  ie 

N i l ES

f  N i  0

i ie

f  N i  0

 e  p   (f / N )    0 i  i i i 0

f (N i )  N i  L 0

f  N i  0

i ie

f  N i  0

 e   p   (f / N )    0 i  i i i 0

Tableau 1. Ecriture en vitesse de la loi de comportement élastique parfaitement plastique de la barre n°i.

Ni L

ES l

i

L Figure 2 : Diagramme de comportement élastique parfaitement plastique de la barre n°i. L’état initial de la structure étant supposé naturel ( Ni  0, i 1,2,3 pour Q=0), on cherche à déterminer l’évolution du système à mesure que le chargement Q augmente à partir de la valeur nulle. 56

1.1. Phase de comportement élastique Les équations permettant de mener à bien la résolution du problème sont classiquement: Les équations d'équilibre, valables indépendamment de la loi de comportement des barres. Elles résultent ici de l'équilibre global en résultante (verticale) et en moment (par exemple par rapport au point d’application de la charge) du barreau horizontal soumis à l'action de la charge Q et des efforts Ni exercés par les barres. On obtient ainsi immédiatement : 

Q  N1  N 2  N 3   N 3  N 2  3N1

(2.1)

de sorte que le système est hyperstatique d'ordre un, puisque’il manque une équation pour pouvoir déterminer la valeur des efforts dans les barres en focntion du chargement. Les relations de comportement. Faisant l'hypothèse que les efforts restent strictement à l'intérieur du domaine d'élasticité ( Ni  L) , elles s'écrivent : 

δi 

Nil i 1,2,3 ES

(2.2)

La relation de compatibilité géométrique entre allongements consiste ici tout simplement à exprimer que les points A, B, C restent alignés: 

 1   3  2 2  0

(2.3)

Elle permet, à travers les relations (2.2), de rajouter une troisième équation ( N1  N3  2 N2  0 ) au système linéaire (2.1) dont la résolution conduit à la résolution du problème en phase élastique : N1  Q /12, N2  Q / 3, N3  7Q /12 (2.4(a))

δ1  Ql/ 12ES,

δ2  Ql/ 3ES ,

δ3  7Ql/ 12ES,

(2.4(b))

le déplacement vertical q du point d’application D du chargement valant alors : q   2   3  / 2  11Ql / 24ES

(2.5)

Cette solution n'est valable que dans la mesure où le comportement des barres demeure purement élastique, c'est-à-dire tant que la plus grande valeur des efforts dans les barres reste inférieure à la limite élasticité ( N3  7Q /12   L) , soit :

Q  Qe  12L / 7

57

(2.6)

Qe représente la limite d'élasticité initiale de la structure. Elle correspond à la plastification en traction de la barre n°3. La réponse globale de la structure jusqu’à cette limite d’élasticité, est représentée sur la figure 3(a) sous la forme d’une courbe (segment de droite issu de l’origine) donnant l’effort Q en fonction du déplacement q de son point d’application, tandis que l’évolution correspondante des efforts des trois barres est donnée sur la figure 3(b). 1,2

Q 1 0,8

Qe  12L / 7

3

0,6

Ni / L

2

0,4 0,2

1

Q/ L

0

11ES / 24l

0 -0,2

q

0,5

1,5

1

12 / 7

2

2,5

-0,4

(a )

(b)

Figure 3: Réponse de la structure en phase élastique et évolution des efforts dans les barres 1.2. Phase élastoplastique (Q  Qe ) Poursuivant le chargement au-delà de la limite d'élasticité du système, on fait l'hypothèse de travail, qu’il conviendra de vérifier a posteriori, que la barre n°3 reste plastifiée en traction : N3   L et N3 =0 pour Q  Qe

(2.7)

Cette hypothèse qui nous permet de connaître la valeur de l’effort dans la barre n°3 et donc de rendre le problème isostatique, nous permet alors de déterminer les efforts dans les deux autres barres à partir des seules équations d’équilibre (2.1)) : N1  Q / 2  L , N 2  3Q / 2  2L

(2.8)

On observe que l’effort dans la barre n°2 augmente plus rapidement que dans la phase élastique, tandis que celui dans la barre n°1 décroît avec le chargement (voir figure 4(b)). Le comportement de ces barres restant élastique, il vient immédiatement en vertu de (2.2) :

1  (Q / 2  L)l / ES ,  2  (3Q / 2  2L)l / ES

58

(2.9)

d'où en tenant compte de la relation de compatibilité géométrique (2.3) :

 3  (7Q / 2 5L)l / ES

(2.10)

Cette dernière relation montre que la loi de comportement de la barre n°3, et en particulier la règle d'écoulement plastique est bien vérifiée. En effet de façon générale, cette loi, exprimée en vitesse, s'écrit : 3   3e   3p  N3l / ES   3p (2.11) c’est-à-dire dans le cas présent ( N3   L, N3  0 ):

3  3p  0

(2.12)

Ni / L

Q

1,2 1

Q  2L

0,8

Q  12L / 7

0,6

l

e

0,4 0,2

Q/ L

0 0 -0,2

q

0,5

1

1,5 12 / 7

22

2,5

-0,4

(a)

(b)

Figure 4. Phase de comportement élastoplastique de la structure Cette relation est bien vérifiée puisque d’après (2.10) :

3  7 / 2

lQ ES

avec Q  0

(2.13)

Le théorème d'unicité en contraintes du problème d'évolution, que nous expliciterons ultérieurement, permet de montrer qu'il s'agit bien de la solution du problème tant que les efforts dans les barres n°s 1 et 2 restent dans le domaine élastique:

N1  Q / 2  L  L

et

N2  3Q / 2  2 L  L

(2.14)

soit : Q  2L

59

(2.15)

La valeur Q l  2L correspond à la plastification de la barre n° 2 en traction ( N 2   L) , l’effort dans la barre n°1 s’annulant pour cette valeur du chargement (voir figure 4(b)). 1.3. Charge limite et ruine plastique Nous allons tout d’abord montrer qu'il est impossible de poursuivre le chargement au-delà de la valeur Q l  2L . Le raisonnement est le suivant. L'équilibre du barreau rigide en moment par rapport au point A donne : Q  2 / 3N 2  4 / 3N 3

(2.16)

Les valeurs des efforts dans les barres 2 et 3 étant astreintes à demeurer inférieures ou égales à la limite d'élasticité en traction (+L), il résulte nécessairement de (2.16) que Q doit rester inférieur (ou égal) à +2L. Il s'agit d'un raisonnement de calcul à la rupture (voir la partie «Calcul à la Rupture» du cours) fondé sur l'écriture de la compatibilité entre l'équilibre du système (réduit ici à l'équation d’équilibre en moment (2.16)) et la résistance de ses éléments constitutifs (les barres 2 et 3). Il convient de noter que le raisonnement ci-dessus démontre seulement qu'il n'est pas possible de dépasser la valeur Q l  2L , le calcul d'évolution en phase élastoplastique ayant montré que cette valeur est effectivement atteinte. Que se passe-t-il alors si l'on maintient la charge à la valeur Q l  2L , soit Q  Q l , Q  0 ? L’évolution correspondante des efforts dans les barres est dans ce cas : N1  0 , N 2  N 3  L , N i  0

(2.17)

d'où d'après la loi de comportement :

1  1e  0 , 2  2p    0 , 3  3p    0

(2.18)

les multiplicateurs plastiques  et  étant reliés entre eux par la relation de compatibilité géométrique des taux d'allongement déduite de (2.3) :

1  3  22  0    2 d'où :





q  2  3 / 2  3 / 2  0

(2.19) (2.20)

Les barres 2 et 3 s'allongent plastiquement sous charge constante, tandis que la barre n°1 restant de longueur invariable, le barreau rigide est animé d'un mouvement de rotation autour du point A (figure 5). Il y a donc apparition d’un mécanisme d’écoulement plastique libre, ou de ruine plastique de la structure. Il vient se superposer aux allongements déjà acquis par les différentes barres au

60

moment d'atteindre la charge limite. Bien entendu l'analyse ici faite suppose que les changements de géométrie soient négligeables (allongements des barres petits devant leur longueur). 1,2

Q

1

Q  2L l

0,8

Ni / L

0,6 0,4 0,2

Q/ L

0

0 -0,2

q

0,5

1

1,5

22

2,5

-0,4

N1  0

N2  L



N3   L

2

Ql  2L Figure 5. Charge limite et mécanisme de ruine plastique de la structure 1.4. Décharge de la structure. Etat résiduel On effectue une décharge de la structure à partir de la charge limite Q l , immédiatement avant que ne se produise l'écoulement plastique libre de la structure. Adoptant l'hypothèse que cette décharge est élastique, et raisonnant en acroissements en posant :

Q  Q l  Q , Q  0; N i  N i (Q l )  N i  l q  q(Q l )  q  i   i (Q )   i ;

61

(2.21)

il apparaît immédiatement que les accroissements (algébriques) N i ,  i et q sont donnés par les équations (2.4) et (2.5) dans lesquelles Q est remplacé par Q. D'où immédiatement : N1  Q / 12 N 2  L  Q / 3 N 3  L  7Q / 12    1  lQ / 12 ES  2  l ( L  Q / 3) / ES  3  l ( 2 L  7Q / 12) / ES  q  l(3L / 2  11Q / 24) / ES 

(2.22)

L'état résiduel de la structure, repéré par l’exposant (.) r , est obtenu dans le cas de la décharge totale : Q  Ql  2L . Il vient alors compte tenu de (2.22) :  N1r   L / 6 N 2r  L / 3 N 3r   L / 6  r   lL / 6 ES  r  lL / 3ES   5lL / 6 ES 2 3  1  q r  7lL / 12 ES 

(2.23)

L'hypothèse de décharge élastique est bien vérifiée, les efforts dans les barres restant toujours à l'intérieur du domaine d'élasticité. On remarque bien évidemment que les efforts résiduels N ir forment un système auto-équilibré (c'est-à-dire satisfaisant les équations d'équilibre (2.1) avec r Q=0), tandis que les allongements résiduels  i respectent la condition de compatibilité géométrique (2.3). Par contre les allongements plastiques  i p acquis par les barres au cours de la phase de chargement valent :

 1p   2p  0 ,  3p  lL / ES

0

0



 L/6

 i ES / Ll

i

 1/ 6

 1/ 6

 1/ 6



 1/ 3  L/6  L/3

 1/ 3  5/ 6

1 p

(2.24)



r i

N l / ES Système d’efforts autoéquilibrés





r i

Allongements géométriquement compatibles

Figure 6. Efforts résiduels rétablissant élastiquement la compatibilité géométrique de la structure. Ils ne sont donc pas géométriquement compatibles, et c'est précisément cette incompatibilité géométrique qui est à l'origine de l'apparition d'efforts résiduels. En effet, intégrant sur l'ensemble du cycle charge-décharge la loi de comportement de chacune des barres :

62

δι  ie  i p  N i l/ES  i p

(2.25)

il vient:

δir  N ir l/ES  δip

(2.26)

Cette dernière relation fait clairement apparaître que ce sont les déformations (allongements) élastiques dues aux efforts résiduels qui, en se superposant aux allongements plastiques, rétablissent la compatibilité géométrique de la structure (voir figure 6). 1.5. Récapitulatif

Ni / L 1,2

Q

1

Q  2L l

3

Q  12L / 7 e

0,8

2

0,6 0,43  1/

4

1

0,2

Q/ L

0

q

qr

 1/ 6 -0,2

0,5

12 / 7 1,5

1

22

2,5

-0,4

(a )

(b)

Figure 7. Mise en évidence des différentes phases de comportement de la structure. La figure 7(a) qui représente la courbe de première charge, décrit la réponse globale de la structure. Elle comporte trois parties. Le segment 1 correspond à la phase élastique, le segment 2, de pente inférieure, est relatif à la réponse élastoplastique, et la demi-droite horizontale 3 est associé à l'écoulement plastique libre du système. L’évolution des efforts dans les barres en fonction des différentes phases de ce comportement est donnée par la figure 7(b). La phase de décharge élastique est représentée par le segment de droite 4. Le déplacement résiduel q r du point d'application de la charge est donné par (2.23). Interprétant ce diagramme de la même façon que nous avons interprété au chapitre I la courbe de traction simple d'une éprouvette, il apparaît un écrouissage global de la structure, qui se manifeste par la modification du seuil d'élasticité initial qui peut augmenter jusqu'à atteindre la charge limite. On peut d'ailleurs facilement montrer sur cet exemple simple que cet écrouissage est de type "cinématique", c'est-à-

63

dire que le domaine d'élasticité actuel est un segment obtenu par simple translation du domaine d'élasticité initial  12L / 7,12L / 7. On peut d’ailleurs interpréter l’écrouissage d’un matériau, détecté expérimentalement à travers la courbe contrainte-déformation, comme la manifestation de l’incompatibilité géométrique de déformations plastiques à l’échelle microscopique. Remarques.  La charge limite de la structure Ql  2 L ne dépend ni des caractéristiques élastiques (ES) des barres, ni de l’état initial de la structure. Ainsi, en rechargeant la structure à partir de l’état résiduel mis en évidence précédemment, on obtiendrait une nouvelle limite d’élasticité égale à ce même chargement limite : Qe  Ql  2L . Cette propriété est cohérente avec le fait que le calcul de la charge limite ne respose que sur la connaissance du critère de plasticité des barres.  De même, cette charge limite n’est aucunement affectée par un chargement thermique éventuel se superposant au chargement mécanique (comportement « thermo-élasto-plastique » des barres). Un tel chargement thermique a en effet simplement pour conséquence d’induire un état initial de la structure différent de l’état naturel, associé à un champ d’efforts thermiques autoéquilibré engendré par l’incompatibilité géométrique des déformations thermiques.

2. Généralisation au cas des systèmes en milieu continu tridimensionnel 2.1. Position du problème d'évolution élastoplastique

id ( x, t )

S i  F x, t 

STi

Ti d ( x, t )

d



Figure 8. Données en efforts et en déplacements relatives au chargement d’un système en milieu continu 3D.

64

Le système occupant un domaine  de bord  dans l'espace R3 (Figure 8), son chargement est défini à tout instant t  0,T  par la donnée 1:  d'un champ de forces volumiques F ( x; t ) défini en tout point x de  et à tout instant t; d

 de conditions aux limites portant sur 3 composantes orthogonales entre elles pour l'ensemble des deux vecteurs contrainte T et déplacements  en chaque point x de . Soit pour i=1,2,3 :  i ( x, t )   id ( x, t )  x  Si (2.27 Ti ( x, t )  Ti d ( x, t )  x  S Ti où STi et S ξi forment une partition de , indépendante de t :   STi  Sξi , STi  Sξi  

(2.28)

On introduit alors :  L'ensemble (espace affine) S (t ) des champs de contrainte statiquement admissibles (S.A.) avec les données en effort à l'instant t, c'est-à-dire vérifiant : div ( x, t )   F ( x, t )  0  x   d

 ij ( x, t ) n j  Ti d ( x, t ) soit :

 x  STi i  1,2,3





S(t )   S.A. avec F d (t ), Ti d (t )

(2.29)

(2.30)

 L'espace affine des champs de déplacement cinématiquement admissibles (C.A.) avec les données en déplacement à l'instant t, c'est-à-dire vérifiant les conditions aux limites en déplacement:

i ( x, t )  id ( x, t ) , x  S i  1,2,3 i

C (t )   C.A. avec id (t )

(2.31) (2.32)

Nous limitant dans ce qui suit au cas du matériau élastique parfaitement plastique standard, la loi de comportement, formulée en vitesse, s'écrit en tout point : f   x,t ; x  0

f d ( x,t )= :  x,t     x,t , x ,   0 σ

(2.33) (2.34)

avec: 1

Ces données relatives au chargement sont bien évidemment indépendantes de la loi de comportement du matériau.

65





d ( x,t )=1 2 grad ξx,t  grad ξx,t  T

(2.35)

où  désigne le tenseur des complaisances élastiques du matériau, inversse du tenseur l’élasticité. On introduit enfin l'ensemble (convexe) des champs  "plastiquement admissibles" défini comme suit : (2.36) P   ; x  Ω, f σ x ; x   0 Il reste alors à préciser l'état initial du système (correspondant à  x, t  0  0 ) en se donnant le champ de contrainte correspondant :

σ x,t=0  σ x  0

(2.37)

qui doit bien évidemment être statiquement et plastiquement admissible :

σ  St=0  P 0

Solution : t  0, T   (t ) ,  (t )

(2.38) donnée du problème

Etat initial :  (t  0)  S (t  0) P 0

 (t )C (t )

 (t )S (t ) P

Loi de comportement élasto - plastique

Figure 9. Structure générale d’un problème d’évolution élastoplastique. Résoudre un tel problème d'élastoplasticité consiste alors à mettre en évidence une évolution en contrainte et en déplacement, c’est-à-dire un couple σ t ,ξ t , t 0,T  vérifiant l'ensemble des conditions suivantes

σ t=0  σ

σ t S t P ,

0

ξ t C t 

(2.39)

ainsi que la loi de comportement (2.34) reliant en tout point  et  à travers (2.35). Le schéma de la figure 9 représente la structure générale d’un problème d’évolution élastoplastique.

66

Remarque. Les inconnues du problème étant les champ  et  , auxquels se rajoute le champ des multiplicateurs plastiques  , les équations locales dont nous disposons sont : 

l'équation d'équilibre (2.29);



l'équation de comportement (2.34) (à travers (2.35)) ;

soit un jeu de 3+6=9 équations scalaires pour 6+3+1=10 champs scalaires inconnus  , ,   . La dixième équation est fournie par la condition de plasticité qui stipule qu'en tout point où le multiplicateur plastique est strictement positif (  0 arbitraire)  est astreint à vérifier :

f f  :   0 σ

(2.40)

c'est-à-dire que le point représentatif de l'état de contrainte se « déplace » sur la surface de charge (fixe). Cela nous conduit à penser que le problème est bien posé et qu'il possède une solution. On admettra ici l'existence et l'unicité de l'évolution en contrainte de cette dernière (voir pour plus de précisions sur cette question : Halphen et Salençon, 1987).

3. Cas des systèmes soumis à un mode de chargement à plusieurs paramètres On s'intéresse ici plus particulièrement au cas où les données relatives au chargement du système dépendent linéairement de m paramètres scalaires Q =(Qi, i=1,..,m), appelés paramètres de chargement, de sorte que la puissance des forces extérieures peut à tout instant s'écrire :

P( e ) U    T .U dS   ρ F.U d  Q . q (U ) 

(2.41)



où U désigne un champ de vitesse cinématiquement admissible avec les données en déplacement (vitesse) du problème :

U i ( x, t )  id ( x, t )

x  Si i  1,2,3

(2.42)

tandis que q U  représente le vecteur des vitesses généralisées associé par dualité à Q dans l’expression de cette puissance. Il s'agit par exemple de la vitesse de déplacement verticale q du point d'application de la charge Q dans l’exemple de la structure réticulée, traité au début de ce chapitre. Généralisant les résultats obtenus à cette occasion, on établit alors les résultats généraux suivants. a) Partant d'un état initial caractérisé par Q=0, l'évolution du système demeure élastique tant que le trajet de chargement (représenté par une courbe dans l'espace des chargements Q : figure 67

10) demeure à l' intérieur d'un domaine, appelé domaine d'élasticité initial du système. Sa frontière est une surface formée de l'ensemble des chargements Qe qui correspondent au seuil d'élasticité du système. b) Poursuivant le chargement sur un trajet qui franchit la frontière du domaine d'élasticité initial, on observe une irréversibilité du système qui se traduit par le fait qu'au terme d'un cycle mécanique de charge-décharge (courbe fermée dans l'espace des Q ), les déplacements du r système, et en particulier le déplacement généralisé résiduel défini par q   q dt , ne sont pas nuls. On constate par ailleurs un écrouissage du système qui se manifeste par une transformation du domaine d'élasticité initial en domaine d'élasticité actuel (domaine en pointillé sur la figure 10). Comme celà a clairement été constaté sur l'exemple de la structure réticulée, l'origine de cet écrouissage doit être recherchée dans l'incompatibilité géométrique des déformations plastiques. p Plus précisément, désignant par  le champ des déformations plastiques engendrées au cours du cycle charge-décharge, on peut écrire la relation homologue de (2.26)2:

 r   : r   p

(2.43)

qui traduit le fait que le champ de contrainte résiduel  (champ d’autocontrainte car équilibrant Q =0) rétablit, par le biais des déformations élastiques qui lui sont associées, la compatibilité r r géométrique des déformations résiduelles  , cinématiquement admissibles avec q (voir figure 10). L'existence de ce champ de contrainte résiduel modifie le domaine d'élasticité du système, ce r

qui est bien la manifestation du phénomène d’écrouissage à l’échelle globale de la structure.

contraintes résiduelles

déformations plastiques

p  C.A.

1  r  r r   ( tr )1   E E S.A. avec

déformations résiduelles

C.A.

Q0 Figure 10. Relation entre déformations plastiques, contraintes et déformations résiduelles (élasticité isotrope).

2

Relation valable dans l'hypothèse où l'état initial est naturel (   0 ). 0

68

c) Cette phase de comportement élastoplastique s'achève lorsque le long du trajet de chargement, la charge Q atteint une valeur limite, au-delà de laquelle il n'est plus possible d'assurer simultanément l'équilibre du système et le respect du critère de plasticité en tout point. l C'est le chargement limite Q . L'ensemble de ces chargements constitue la frontière d'un domaine K (figure 11) dont la détermination repose sur un raisonnement du calcul à la rupture, identique à celui effectué au paragraphe 1.3. Il est important de bien noter d'un tel domaine K ne dépend que de la géométrie du système, de son mode de chargement et du critère de plasticité. Il est en revanche indépendant :  de l'état initial du système 3;  des modules d'élasticité du matériau constitutif ;  du trajet de chargement suivi jusqu'au chargement limite. Lorsque le chargement limite est effectivement atteint, le système continue de se déformer sous charge constante4: il y a apparition d'un mécanisme d'écoulement plastique libre ou de ruine plastique De façon qualitative, cela signifie que les zones entrées en plasticité sont suffisamment p p étendues pour que le champ des taux de déformations plastiques d   devienne géométriquement compatible, induisant alors la ruine plastique du système.

Qj

chargement limite

Q

l

K Q

e

limite d' élasticité initiale

Qi

Figure 11. Evolution élastoplastique d'un système en matériau élastique parfaitement plastique dans le cas d’un mode de chargement à m paramètres 3

…et donc d’un chargement thermique éventuel qui ne fait que modifier l’état initial.

4

En supposant bien entendu que les changements de géométrie demeurent négligeables (hypothèse dite des "petites perturbations").

69

4. Un exemple de résolution: la flexion élastoplastique d’une poutre cylindrique On considère un élément de poutre assimilé à un solide ayant la forme d’un cylindre de longueur l et de section rectangulaire (hauteur 2h et épaisseur b), représenté sur la figure 12, constitué d’un matériau homogène élastique isotrope (module d’Young E, coefficient de Poisson  ), parfaitement plastique standard, le critère de plasticité étant celui de von Mises (cf. annexe du chapitre I) :

f    1 / 2 s : s   k  0 1/ 2

(2.44)

où s    1 / 3(tr )1 désigne le déviateur de contrainte, et k la limite d’élasticité en cission pure.

 (t )

y

y

l

d

 xd ( x, t )  0 Tyd ( x, t )  0 Tzd ( x, t )  0

T ( x, t )  0

M (t ) O

E, , k

T ( x, t )  0 d

x A

 xd ( x, t )   (t ) y

z

O

2h

b

Tyd ( x, t )  Tzd ( x, t )  0

Figure 12. Flexion élastoplastique d’une poutre cylindrique : données du problème Ce solide est soumis à un processus de chargement caractérisé par le jeu de données suivant :  forces de volume nulles : F

d

x,t   0

(2.45)

T

d

x,t   0

(2.46)

 faces latérales libres de contrainte :

 section extrémité ( x  0) en contact sans frottement avec un plan indéformable :

 xd x, t   0 , Tyd x, t   Tzd x, t   0

(2.47)

 section extrémité ( x  l ) en contact sans frottement avec un poinçon indéformable auquel on impose une rotation  (t ) autour de l’axe Az :

70

 xd x, t    (t ) y , Tyd x, t   Tzd x, t   0

(2.48)

L’expression de la puissance des efforts extérieurs s’exerçant sur cet élément de poutre dans un champ de vitesse cinématiquement admissible avec les données en déplacements du problème, s’écrit alors d’après (2.41) : M      (2.49) P(e) (U )   T .U da   ρ F .U d    Tx y dydz     Tx y dydz        ( x l )  ( l )   faisant ainsi apparaître le moment M autour de l’axe Az des efforts appliqués par le poinçon sur la section extrémité ( x  l ) , dit moment de flexion, comme l’unique paramètre de chargement du système. La vitesse généralisée associée n’est autre que la rotation (infinitésimale)  de ce même poinçon. 4.1. Phase élastique Partant d’un état initial  (t  0  0) naturel (   0 ), on fait progressivement croître la rotation  du poinçon. On rappelle ci-après la solution en phase élastique du problème précédent5 : 0



Solution en contrainte (figure 13(a)) :

 ( x, t )   E 



ye x  e x

l

(2.50)

Solution en déplacement :

x  

 l

xy ,  y 



x 2  ( z 2  y 2 ) ,  z    yz

2l

l

(2.51)

La valeur correspondante du moment de flexion est : M 

 y  

xx

 x l

dxdy  E

 l

Iz

(2.52)

où : h

I z  b  y 2dy  2 / 3bh3

(2.53)

h

5

Voir par exemple Rappels de Mécanique des Milieux Continus et de Mécanique des Structures : https://educnet.enpc.fr/course/view.php?id=198

71

désigne l’inertie géométrique de la section autour de l’axe Az. Le rapport    / l représentant la courbure moyenne de la poutre, la relation (2.52) s’interprète comme une relation momentcourbure. EI z est la rigidité à la flexion de la poutre. Cette phase élastique est valable tant que le champ de contrainte (2.50) vérifie en tout point le critère de plasticité de von Mises (2.44) : f ( )   xx2 / 3

1/ 2

c’est-à-dire tant que E / l 

 k  0 soit

 xx  E

 l

y  k 3 y   h,h

k 3 ou encore compte tenu de (2.49) : h I 2 M  M e  k 3 z  bkh2 h 3

(2.54)

(2.55)

Cette valeur du moment de flexion représente la limite d’élasticité initiale du système. Elle correspond à l’entrée en plasticité des «fibres» extrêmes supérieures (y=+h) en compression et des fibres extrêmes inférieures (y=-h) en traction (figure 13(b)). 4.2. Phase élastoplastique Poursuivant le chargement au-delà de la limite d’élasticité initiale du système, c’est-à-dire faisant croître le paramètre de chargement M au-delà de la valeur M e , on fait l’hypothèse, vérifiable a posteriori, que le champ de contrainte demeure uniaxial de la forme :

   xx e x  e x

(2.56)

avec :

 xx

 k 3  y   k 3 e   k 3 

si

 e  y  h

si

 e  y  e

(2.57)

si  h  y  e

c’est-à-dire que l’épaisseur de la poutre est subdivisée en trois parties : un «noyau élastique» d’épaisseur 2e situé entre les plans y  e , intercalé deux zones plastiques où le matériau a atteint sa limte d’élasticité en compression (e  y  h) et en traction (h  y  e) (voir figure 13(c)). Ce champ est bien statiquement admissible (S.A.) avec les données en efforts du problème, équilibrant la valeur suivante du paramètre de chargement : M ( e)  

 2 e2  y  d x d y  bk 3 h    xx 3   ( x l )

72

(2.58)

Dans cette phase élastoplastique, la valeur du moment varie entre la limite d’élasticité correspondant à e=h et une valeur maximale correspondant à la plastification complète de la section de la poutre (e=0 : figure 13(d)) Me 

2 3

bkh2  M (e  h)  M (e)  M e  0  3bkh2 

3 e M 2

k 3

y  h

 xx

M M

 xx

e

y  h

M Me

k 3 (a )

zones plastiques 2e

(2.59)

(b)

 xx

zone élastique

 xx

Me  M  Ml

(c )

M  Ml

(d )

Figure 13. Diagrammes de contrainte dans les différentes phases d’évolution élastoplastique du problème de la flexion 4.3. Solution en zone élastique (  e  y  e ) Elle correspond simplement à la solution élastique du problème de flexion d’une poutre d’épaisseur 2e , données par les expressions (2.50) et (2.51) valables pour  e  y  e . Comparant en particulier les deux expressions du champ de contrainte dans cette zone données respectivement par (2.50) et (2.56), il vient alors immédiatement :

73

e

kl 3 E

(2.60)

L’expression de la loi moment-courbure en phase élastoplastique se calcule alors très simplement à partir de (2.58) et (2.60) :

M (    / l )  bkh

2

  k 2    3 1     Eh  

(2.61)

c’est-à-dire encore : 2 3M e  1   e     1   M (   / l)  2  3      

(2.62)

où  e  k 3 / hE et M e  2bkh2 / 3 désignent les valeurs de la courbure et du moment de flexion correspondant à la limite d’élasticité initiale. La figure 14 représente un tel diagramme moment-courbure, tracé dans le plan des variables adimensionnelles M / M e ,  /  e , associé aux expressions (2.52) en phase élastique et (2.62) en phase élastoplastique.





M /Me

Ml /Me

1,5

1

0,5

 / e

 / e

0 0

1

2

 r / 3 e

4

5

Figure 14. Diagramme «moment-courbure» d’un poutre en flexion elastoplastique On remarque que le moment de flexion tend vers une valeur asymptopique égale à : M l  3M e / 2

(2.63)

correspondant à la plastification totale de la section de la poutre ( e  0 : figure 13(d)). Cette valeur n’est autre que la charge limite. Il convient d’observer que cette charge limite n’est atteinte qu’asymptotiquement, c’est-à-dire en théorie pour une valeur infinie de la courbure, pour laquelle on sortirait alors du cadre des petites perturbations. En pratique, la relation (2.62) montre par exemple que la valeur du moment est égale à près de 99% de la charge limite lorsque   5 e . 74

4.4. Solution dans les zones plastiques (  h  y  e et  e  y  h ) Il nous reste à mettre en évidence la solution dans les zones plastiques situées de part et d’autre du noyau élastique, et plus particulièrement la solution en vitesse, le champ de contrainte étant constant, donné par les première et troisième lignes de (2.57). Nous allons démontrer, qu’à certaines conditions que nous expliciterons, le champ de vitesse défini par :

  1  x   xy , y   x 2  ( z 2  y 2 )  , z  yz 2l 

l

2



2l

(2.64)

constitue bien la solution en vitesse du problème. Ce champ est tout d’abord cinématiquement admissible avec les conditions aux limites en vitesse du problème caractérisées par la vitesse de rotation  du poinçon. Par ailleurs le champ de taux de déformation s’écrit : d 

 l

y e x e x 

 2l

y (e y  e y  e z  e z )

(2.65)

de sorte que la loi de comportement élastoplastique (2.34), tenant compte de (2.44) et (2.57), est p bien vérifée. En effet, puisque dans ces zones   0 , d  d défini par (2.65) est bien de la forme :   k / 3 2e x  e x  e y  e y  e z  e z  si  e  y   h  p   d  s   (2.66)  k / 3 2e  e  e  e  e  e  si  h  y  e x x y y z z  d’où par identification avec (2.65) :          -

3y 2kl 3y 2kl

 si  e  y   h  0  si  h  y  e  

(2.67)

démontrant ainsi la positivité du multiplicateur plastique puisque   0 . La dernière vérification porte sur la continuité (ou discontinuité plastique éventuelle) entre zone élastique et plastiques à la traversée des plans d’équation y  e , séparant le noyau élastique des zones plastiques. Considérant par exemple le plan y  e , la discontinuité de vitesse à travers ce plan vaut d’après (2.51) et (2.64) :

 ( x  e)  ( x  e



 )  ( x  e  )    1 / 2 ( z 2  e 2 )e y  2ez e z  2l

(2.68)

Une telle discontinuité ne pourrait être admissible qu’en étant de nature purement plastique, et donc en raison de la règle d’écoulement plastique, nécessairement tangentielle au plan de

75

discontinuité (voir Chapitre IV, section n°2), ce qui n’est ici pas le cas, hormis dans la situation particulière du matériau élastiquement incompressible (  1 / 2) , où cette discontinuité s’annule. On trouvera dans Ducomet (1980) une mise en évidence de la solution complète de ce problème dans le cas du matériau élastiquement compressible, dans laquelle il apparaît notamment que le champ de contrainte solution ne peut rester purement uniaxial. 4.5. Analyse de la décharge ; état résiduel On supposera ici pour simplifier que la décharge est effectuée à partir d’une valeur de la courbure   pour laquelle la valeur correspondante du moment de flexion est pratiquement égale à la charge limite (figure 14), c’est-à-dire que la poutre est plastifiée sur toute la hauteur (figure 13(d)). Le champ de contrainte correspondant, constant par morceaux, s’écrit :    k 3e x  e x

si

  k 3 e x  e x

si  h  y  0

  

0  y  h

(2.69)

Faisant l’hypothèse, vérifiable a posteriori, que cette phase de décharge est entièrement élastique, les calculs effectués en 4.1. demeurent valables à la condition de remplacer la valeur de M par celle de sa variation M  0 à partir de M  M l . La variation correspondante du champ de contrainte vaut ainsi compte tenu de (2.50) et (2.52) :   

M ye x  e x Iz

(2.70)

d’où en particulier le champ de contrainte résiduel obtenu pour une décharge totale (M  M l ) : Ml (2.71)  r          ye x  e x Iz ou encore puisque M l / I z  ( 3bkh2 ) /( 2bh 3 / 3) 

3 3k : 2 h

  3y  k 3  2h  1e x  e x    r    3y  k 3  2h  1 e x  e x   

si

0  y  h

(2.72) si  h  y  0

La distribution des contraintes résiduelles est représentée sur la figure 15. Il s’agit d’un champ d’autocontrainte, c’est-à-dire équilibrant un moment de flexion nul. La courbure résiduelle est donnée par : 76

Ml 3 3k     EI z 2 Eh r



(2.73)

L’apparition de ces contraintes résiduelles est liée à l’incompatibilité géométrique du champ des déformations plastiques acquises lors de la phase de chargement jusqu’à M (   )  M l .  3k / 2

 3 3k / 2

k 3

M  Ml  xx

 3k

=

+

 3k

M 0

M  M l k 3

 3k / 2

 3 3k / 2

Figure 14. Décharge élastique totale de la poutre et diagramme des contraintes résiduelles ***********

77