Material 2

Cálculo Vectorial

UNIDAD 2 CURVAS EN R2 Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS COMPETENCIA DE LA UNIDAD: El y la estudiante construirá la gráfica de una curva plana en forma paramétrica eligiendo la técnica más apropiada. Curva plana Si f y g son funciones continuas definidas sobre un intervalo I, entonces: x = f(t), y = g(t) se llaman ecuaciones paramétricas, y a t se le llama parámetro. Al conjunto C de pares ordenados (f(t),g(t)) cuando t varía sobre I se le llama curva plana. La gráfica de una curva paramétrica C es el conjunto de todos los puntos (x,y) en el plano coordenado correspondiente al par ordenado (f(t),g(t)). Actividad 1: Grafique la curva C, cuyas ecuaciones paramétricas se indican. a) x = 2t - 3, y = 4t - 1 t … -2 x -7 y -9

-1 -5 -5

0 -3 -1

1 2 … -1 1 3 7

b) x = t2, y = t3 en el intervalo de [- 1, 2] t -1 x y

-0.5 0

1 1.5

2

c) x = 2cos(t), y = 2sen(t) en el intervalo de [0, 2π]

 t 0 2

π

3 2

2π

x y

1

Cálculo Vectorial

d) x = t2 - 4, y = t3 - 3 t

t -2 x y

 3

-1

0

3

1

2

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Si x = f(t), y = g(t) define a una curva suave "C" (sin cambios abruptos), entonces la pendiente de una recta tangente en un punto P(x, y) sobre "C" es:

m

dy g ' (t )  si f ' (t )  0 dx f ' (t )

Actividad 2: Encuentre la pendiente y la ecuación de una recta tangente al punto P para el parámetro t indicado. a) x = t 2 - 4

y = t 3 - 4t para t = 1

Solución: Considerando x = f(t), y = g(t), entonces derivando ambas funciones y sustituyendo en dy g ' (t ) m  dx f ' (t ) f(t) = t 2 - 4 g(t) = t 3 - 4t f ’(t) = 2t g ’(t) = 3t2 - 4 dy 3t 2  4 m  dx 2t 34 1 m t 1    2 2

x  t2  4 Para t  1 x  (1) 2  4 x3 P(- 3, - 3)

y  t3  4 t y  (1) 3  4(1) y 3

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente, en el punto correspondiente a t = 1 es: y – y1 = m (x – x1) 1 y  3  - (x  3) 2 1 3 y - x- - 3 2 2 1 9 y  - x2 2

m = - 0.5

P(- 3, - 3)

2

Cálculo Vectorial

b) x = t2 - 4t - 2, y = t 5 - 4t 3 - 1, el punto P correspondiente a t = 1. Solución:

TAREA 1: Página 68, Matemáticas III, Cálculo de Varias variables. Dennis G. Zill. McGrawHill. Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto correspondiente al valor indicado del parámetro. 4 ; y = 2t 3 - t + 1; t = 2 2) x = t 2t - 4t 4) x = e ; y = e ;

t = ln( 2)

 4 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto correspondiente al valor indicado del parámetro. 3 2 7) x = t + 3 t ; y = 6t + 1; t = -1 6) x = 2 - 2sen(); y = 2 - 2cos();  =

2 8) x = 2 t + 4 ; y = t + ln( t );

t =1

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto P indicado. 2 2 9) x = t + t ; y = t ; P(2, 4) 4 4 2 10) x = t - 9 ; y = t - t ; P(0, 6)

3

Cálculo Vectorial

LONGITUD DE ARCO Si una curva “C” tiene una parametrización regular x = f(t), y = g(t), en a  t  b y si “C” no se corta a sí misma en (a, b), entonces la longitud (L) de “C” es: b

L=



 f ' (t ) 2  g ' (t ) 2

dt

a

Actividad 3: Determine la longitud de arco de la curva parametrizada en cada inciso. a) x = 4t, y = t2 en el intervalo de [0, 2]. SOLUCIÓN: b

L=



f' (x) 2  g' (x) 2

dt

a

g(t) = y = t2 g ’(t) = 2t

f(t) = x = 4t f ’(t) = 4 Sustituyendo en

L



2

42  2 t2

dt 

0



2

16  4t 2 dt

a2 = 16 a=4

0

u2 = 4 t 2 u=2t du  2dt

Sustituyendo en L

du  dt 2

2

1 L 2



a 2  u 2 du

0

Fórmula 24:



u 2  a 2 du 

u 2 a2 u  a 2  ln u  u 2  a 2   2 2 

2

1 L  2



2

1  2t 16  16  4t dt   16  4t 2  ln 2t  16  4t 2  tomando límites para t 2 2 2 0 2

0

L

1  2

L

1 (2) 32  0  8 ln 4  32  ln 16 2



(2) 16  4(2) 2  0  8ln 2(2)  16  4(2) 2  ln 2(0)  16  4(0) 2   







   

L = 9.18 Unidades de longitud 4

Cálculo Vectorial

b) x(t) = et sen(t) , y(t) = et cos( t ) cuando t se incrementa de 1 a 4. t f(t) = e sen(t ) f’(t) =

t g(t) = e cos(t ) g’(t) =

Sustituyendo en L

c) x(t) = 3e2t , y(t) = - 4e 2t en el intervalo de [0, ln5].

5

Cálculo Vectorial

d) x(t )  t 3 ,

y(t)  2t 2

0  t 1

TAREA 2: El Cálculo. Louis Leithold, 7ma. Edición Página Problemas 751 1, 3, 5, 11, 13 6

Cálculo Vectorial

COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARES

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados. y

y

P(x, y)

x x Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, en este sistema se necesitan un ángulo () y una distancia (r). Para medir , en radianes, se require una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo u origen. P(r, ) r

0



Polo u origen

Eje polar

 es la medida del ángulo en radianes, positivo cuando se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj y negativo a favor del movimiento de las manecillas del reloj. Las coordenadas polares se denotan por (r,) y para localizar un punto (r,) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación  y, por último, localizar el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el buscado. Para graficar un punto (-r,) donde – r < 0, se considera el valor absoluto de r a lo largo del rayo (o semirecta) +. A diferencia de un sistema de coordenadas rectangulares, un punto en coordenadas polares no es único. (r, ) y (r,  +2  n) n = Entero 7

Cálculo Vectorial

    Actividad 4: Localizar los siguientes puntos en el plano polar: a) P  2,  , b) P  3,  , c) P 1,   ,  4  6

      d)P  4,  , e) P   4,  , f) P   5,  3 6    3

TAREA 3: El Cálculo. Louis Leithold, 7ma. Edición Página Problemas 764 1, 3 8

Cálculo Vectorial

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR A SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

y

x r x  r cos( )

cos( )  P(x, y) P(r, )

tan( ) 

r

y r y  rsen ( )

sen ( ) 

y x

y



x

x r

Ecuación de la circunferencia en el origen:

x2  y2  r 2 x 2  y 2  r 2 cos 2 ( )  r 2 sen 2 ( ) x 2  y 2  r 2 [cos 2 ( )  sen 2 ( )] x2  y2  r2

COORDENADAS CILÍNDRICAS

Son generalizaciones de las coordenadas polares en el espacio tridimensional. Un punto P en coordenadas cilíndricas se denota por P( ( r,  , z ) donde r y  son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano polar y z es la distancia dirigida desde este plano polar a P. z

P(r, , z)

z y x

x



y

r

P’(r, , z)

9

Cálculo Vectorial

Actividad 5: Convierta el punto dado a coordenada polar, cilíndrica o rectangular según sea el caso. a) P (  3 ,  1) y   1 Si x 2  y 2  r 2 , entonces r  x 2  y 2  ( 3 ) 2  ( 1) 2  3  1  2

x 3

El ángulo se obtiene con: tan(  ) 

y x

 7   1  7     210  , el punto en coordenadas polares es: P  2,    P(2, 210 )  6   3 6

 y x

  arctan    arctan 





b) P 2, 2 ,1

r  x 2  y 2  (2)2  ( 2 )2  4  2  6  2   35.26   2 

 y x

  arctan    arctan 





el punto en coordenadas cilíndricas es: P 6 ,35.2 ,1

c) (3, -3)

  d) P  2,   2 

  e) P   1, 4 



f) P  2,  2 3



10

Cálculo Vectorial 𝜋

g) 𝑷 (𝟒, − 3 , 5) r=4 z=5

x = 4 cos(-60) = 2

 

 3

y = 4sen(-60) = -3.46

z=5

𝜋

𝑷 (𝟒, − 3 , 5) = 𝑷(𝟐, −𝟐√𝟑, 𝟓)

Actividad 6: Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada.

r  4 sen ( ) a)

 y r  4  r rr 244sen y ( )

b)

z  4r 2 z  4( x 2  y 2 )

 y rx 4y 2  4 y r 2

4x2  4 y2  z  0

r2  4 y x2  y2  4 y

c)

r 2 cos( 2 )  z 2  1





Si cos(2 )  cos 2 ( )  sen 2 ( )

r 2 cos 2 ( )  sen 2 ( )  z 2  1  x2 y2  r2  2  2   z2  1 r r    x2  y2  2  z 1 r2   r2    x2  y2  z2  1

11

Cálculo Vectorial

d)

r 2  4sen(2 )

TAREA 4: El Cálculo. Louis Leithold, 7ma. Edición Página Problemas 764 5- 11 impares

PRÁCTICA 1: GRAFICANDO EN COORDENADAS POLARES COMPETENCIA: El estudiante utilizara el winplot para graficar funciones en coordenadas polares, y observara los cambios que sufre la gráfica al ir modificando algunos parámetros de la función. La grafica de una función en coordenadas rectangulares es diferente en coordenadas polares. Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de   3 que casi siempre son: 0, , y 2 y ver cómo cambia el valor de r. Sin embargo, en ocasiones no es tan 2 2 sencillo graficar en estas últimas, por lo que, se utilizara el winplot para graficar estas funciones. Instrucciones: Indicar el nombre de la función en inglés, por ejemplo para la función seno será sin, coseno cos, exponencial e, y los argumentos de las funciones trigonométricas deben estar entre paréntesis, el ángulo  será con el parámetro t, por lo demás se respetan los símbolos de producto, división y potencia como *, / y ^ respectivamente. Se pueden graficar varias funciones a la vez en un mismo plano, estas aparecerán con diferente color y puede editarlas con la ecuación de cada grafico. Pasos a seguir:        

De doble click en el icono de winplot que se encuentra en el escritorio de su monitor Seleccione en window 2-dim En equa seleccione r = f(t) (coordenadas polares) Escriba la ecuación del lado derecha de la función y ok. Aparece el gráfico de la función Seleccionando Ecua aparece la ecuación del gráfico Con X desactiva la ventana anterior En file puede grabar lo realizado Con copy to clipboard puede llevar el grafico a cualquier archivo del office 12

Cálculo Vectorial

SIGUIENDO LAS INSTRUCCIONES ANTERIORES GRAFIQUE LAS FUNCIONES: a) r  4

b) r  2

c) r   4

d) r   2

e) r 

1 2

¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso a al e? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ f) r  

g) r  2 

i) r   2 

h) r   

¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso f al i? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ j) r 

1 sen

k) r 

3 sen

l) r 

1 sen

m) r 

3 sen

¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso j al m? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ n) r  cos 

o) r  5 cos 

p) r   cos 

q) r   5 cos 

¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso n al q? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ s) r  sen

t) r  2 sen

u) r   sen

v) r   2 sen

¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso s al v? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ 13

Cálculo Vectorial

______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ w) r  sen 2

x) r  sen3

z) r  sen5

y) r  sen 4

¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso w al z? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ aa) r  1  sen

ab) r  1  2sen

ac) r  1  3sen

¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso aa al ac? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ad) r  1  sen 2

ae) r  1  sen3

af) r  1  sen 4

¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso ad al af? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________

TAREA 5: Individualmente y utilizando el winplot grafique las siguientes funciones, ponga atención en los cambios que va teniendo la gráfica al ir modificando la ecuación y observe la forma que tienen las gráficas según la ecuación. Limacones o caracoles Son gráficas polares llamadas limacon (caracol) palabra francesa que proviene del latín limax que significa caracol. La forma de la función que las representa es: r  a  b cos  Ejercicio 1: Grafique los siguientes limacones o caracoles. a)r  1  cos 

b)r  1  3 cos 

c)r  1  cos 

d )r  1  2 cos 

e)r  1  3 cos 

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Cálculo Vectorial

Ejercicio 2: Grafique las siguientes espirales 

a) r  e



b)r  e 3 Espiral logarítmica

Espiral logarítmica

c)r  2 Espiral de arquimides

d )r 

1



Espiral recíproca

Ejercicio 3: Grafique las siguientes lemniscatas

a)r 2  9sen2

b)r 2  4sen2

c)r 2  16 cos 2

d )r 2  25 cos 2

Ejercicio 4: Grafique el Cisoide r  2sen tan  Ejercicio 5: Grafique la espiral de Fermat r 2  8φ Ejercicio 6: Grafique las siguientes funciones a)r  cos  l )e)r  cos 

g )r  2 cos  m)r  2 cos 

h)r  3 cos  n)r  cos 2

i )r   cos  j )r  2 cos  k )r  3 cos  p)r  cos 3 q)r  cos 4

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