MATERI VEKTOR

MATERI VEKTOR (PERTEMUAN 2) Penjumlahan dan Pengurangan Vektor a. Penjumlahan Vektor 1) Penjumlahan Vektor secara Geometri a) Aturan Segitiga Jika dua buah vektor, misalnya vektor u⃗ dan vektor ⃗v kita jumlahkan, maka akan kita dapatkan resultan dari vektor u⃗ dan ⃗v .

Pada aturan segitiga, vektor resultan diperoleh dengan menempatkan titik pangkal salah satu vektor pada titik ujung vektor yang lain tanpa mengubah arah vektor, kemudian ditarik garis yang menghubungkan kedua ujung kurva sehingga membentuk sebuah segitiga. Vektor c⃗ merupakan vektor resultan dari penjumlahan vektor u⃗ dan vektor ⃗v. b) Aturan Jajargenjang Pada aturan jajargenjang, vektor resultan diperoleh dengan mengimpitkan titik pangkal kedua vektor yang dijumlahkan, kemudian dibuat garis yang sejajar dengan kedua vektor sehingga membentuk sebuah jajargenjang. Selanjutnya, ditarik garis diagonal dari titik pangkal kedua vektor. Vektor c⃗ merupakan vektor resultan yang dihasilkan

Contoh : Diketahui vektor a⃗ , b⃗ , dan c⃗ sebagai berikut

Gambarkan vektor-vektor berikut dengan menggunakan aturan segitiga dan aturan jajargenjang! a. a⃗ + ⃗b b. b⃗ + ⃗c c. a⃗ + ⃗c Penyelesaian: a. a⃗ + ⃗b Aturan segitiga

Aturan Jajargenjang

b. b⃗ + ⃗c Aturan Segitiga

Aturan Jajargrnjang

c. a⃗ + ⃗c Aturan segitiga

Aturan Jajargenjang

2) Penjumlahan Vektor Secara Aljabar a1 a2 dan vektor ⃗v = , maka penjumlahan kedua vektor b1 b2

()

Misalkan vektor u⃗ =

()

tersebut dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut a1 +a2 b1 +b2

( )

u⃗ + ⃗v =

Contoh : Jika diketahui vektor ⃗p=

( 64 ) dan vektor q⃗=(27 ). Tentukan hasil dari ⃗p+q⃗ !

⃗p+ q⃗ = 6 + 2 4 7

()() 6+ 2 ⃗p+ q⃗ =( 4 +7 ) ⃗p+ q⃗ =( 8 ) 11 Jadi hasil dari ⃗p+ q⃗ adalah

(118 )

b. Pengurangan Vektor 1) Pengurangan vektor secara Geometri Pengurangan vektor berkaitan dengan vektor yang berlawanan. Sebagai contoh, vektor −⃗a merupakan lawan dari vaktor a⃗ dan vektor −b⃗ merupakan lawan dari vektor b⃗ . Sementara itu, pada bilangan real berlaku hubungan : a−b=a+(−b) dengan b merupakan invers penjumlahan dari b Jika diketahui dua buah vektor, misalnya vektor u⃗ dan vektor ⃗v, maka u⃗ −⃗v artinya sama dengan u⃗ +(−⃗v ).

Vektor c⃗ merupakan vektor resultan yang titik pangkalnya adalah titik pangkal vektor u⃗ dan titik ujungnya adalah titik ujung vektor ⃗v Contoh : Diketahui vektor a⃗ , b⃗ , dan c⃗ sebagai berikut

Gambarkan vektor-vektor berikut pada bidang ! a. a⃗ −⃗b b. b⃗ −⃗c c. c⃗ −⃗a Penyelesaian :

a. a⃗ −⃗b Gambar a⃗ −⃗bpada bidang

b. b⃗ −⃗c Gambar b⃗ −⃗c pada bidang

c. c⃗ −⃗a Gambar c⃗ −⃗a pada bidang

2) Pengurangan Vektor secara Aljabar a1 a2 dan vektor ⃗v = , maka pengurangan vektor u⃗ dan b1 b2

()

Misalkan vektor u⃗ =

()

vektor v⃗ dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut

(

u⃗ −⃗v =⃗u + (−⃗v ) =

a1−a2 b 1−b2

)

Contoh :

(−34) dan vektor b⃗ =( 53). Tentukan hasil dari a⃗ −⃗b !

Jika diketahui vektor a⃗ = a⃗ −⃗b = −3 − 5 4 3

( ) ()

−3−5 a⃗ −⃗b = 4−3

( ) a⃗ −⃗b =(−8 ) 7 −8 Jadi hasil dari a⃗ −⃗b adalah 7

( )

Vektor Basis dalam Bidang Sistem koordinat bidang ( R2 ) terdiri dari dua sumbu, yaitu sumbu X dan sumbu Y. Dalam R2 vektor-vektor dapat dinyatakan dengan vektor basis i^ dan ^j. Vektor basis i^ adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu X dengan titik pangkal pada titik O. Vektor basis ^j adalah vektor satuan yang searah sumbu Y dengan titik pangkal pada titik O.

⃗ OA=⃗ OB+ ⃗ OC ^ ^j ⃗ OA=8 i+6 Secara umum setiap vektor di R2 dapat dinotasikan dalam kombinasi linear i^ dan ^j sebagai berikut ^ y ^j ⃗v =x i+

Dengan ⃗v adalah vektor di R2 dengan x dan y sebagai komponen-komponennya. Vektor i^ dan ^j disebut vektor-vektor basis dalam bidang, dengan i^ = 1 dan ^j = 0 . 0 1

()

()

Latihan Soal 1. Diketahui vektor-vektor sebagai berikut :

Gambarkan vektor-vektor berikut dengan menggunakan aturan segitiga dan aturan jajargenjang ! a. ⃗p+ q⃗ b. ⃗p+ r⃗

(−25) , vektor b⃗ =( 63), dan vektor c⃗=(−18 ). Tentukan hasil

2. Jika diketahui vektor a⃗ = dari a. a⃗ + ⃗b b. b⃗ + ⃗c c. c⃗ + a⃗

3. Diketahui vektor-vektor sebagai berikut :

Gambarkan vektor-vektor berikut dengan menggunakan aturan segitiga dan aturan jajargenjang ! a. e⃗ − ⃗f b. ⃗f −⃗g 4. Jika diketahui vektor ⃗p=

(92) dan vektor q⃗=(58) dan r⃗ =(−37 ) . Tentukan hasil dari !

a. ⃗p−⃗q b. r⃗ −⃗p 5. Tentukan dan gambarkan vektor basis dari titik-titik berikut dengan titik pangkal O! a. A(6,5) b. P(−7,4)