PDS 2_1 Proiectare IIR metode directe 2020_NC

Procesarea statistică a semnalelor 2020 – 2021 Anul IV, Tehnologii şi Sisteme de Telecomunicaţii Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei

Informaţii generale (I) ◼

Titulari curs şi aplicaţii

◼

Curs: Prof. dr. ing. Daniela Tărniceriu

◼

Aplicaţii: Conf. dr. ing. Nicolae Cleju

Informaţii generale (II) 􀂄 ◼

􀂄 ◼ ◼ ◼ ◼ ◼ ◼ ◼ ◼ ◼

◼ ◼ ◼

website http://telecom.etc.tuiasi.ro/pns/ Bibliografie Tarniceriu, D., Bazele prelucrarii numerice a semnalelor, Ed. Politechnium, Iaşi, 2008, 372 pagini, ISBN 978-973-621-196-6. Tărniceriu, D., Filtrare digitală, Ed. Tehnopres, Iasi 2004, ISBN 973 – 702 – 044 – 8, 2004, 331 pagini. Munteanu, V., Tarniceriu D., Teoria estimarii si filtrare optimala, Ed. Tehnopres, 2006. Ciochină, S., Prelucrarea numerică a semnalelor - partea I, U. P. B., 1995. Grigoraş, V., Tărniceriu, D., Prelucrarea numerică a semnalelor, Ed. Gh. Asachi Iaşi, 1995. Jackson, L. B., Digital Filters and Signal Processing, Kluwer Academic Publisher, Hingham, 1989. Munteanu, V., Teoria Transmisiunii Informaţiei, Ed. Gh. Asachi Iaşi, 2002. V. Oppenheim, R. W. Shafer, Discrete - Time Signal Processing, Englewood Cliffs, NJ. Prentice Hall, 1989. Papoulis, A., Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw-Hill, New York, 1984. Proakis, J. G., Manolakis, D. G., Introduction to Digital Signal Processing, New York Macmillian, 1992. Tărniceriu, D., Grigoraş, V., Prelucrarea numerică a semnalelor, Ed. Gh. Asachi Iaşi, 1995. Mitra, S. K., Digital signal Processing, McGraw Hill, 2002.

Structura în planul de învăţământ Prelucrarea statistică a semnalelor disciplină impusă Numărul de ore pe săptămână

Semestrul C

8 ◼

◼ ◼ ◼

◼ ◼

3

S

L

2

Forma de verificare P

Numărul total de ore C

E

42

S

L

Total ore pe disciplină

P

28

70

Cunoştinţe anterioare necesare disciplinei Matematică - probabilitati, statistica, Prelucrarea digitala a semnalelor Decizie şi estimare în prelucrarea informaţiei – semnale aleatoare Examinare Examen scris (60%), laborator(20%), teste semestriale (20%)

Structura cursului ◼

◼

◼

◼

◼

TEHNICI DIRECTE DE PROIECTARE A FILTRELOR DIGITALE IIR STRUCTURI PENTRU IMPLEMENTAREA SISTEMELOR DISCRETE EFECTELE LUNGIMII FINITE A CUVINTELOR ÎN FILTRAREA DIGITALĂ PREDICŢIE LINIARĂ ŞI FILTRARE LINIARĂ OPTIMALĂ ESTIMAREA SPECTRULUI DE PUTERE

Intro ◼

Reminder: ◼ ◼ ◼ ◼ ◼

◼ ◼ ◼

sistem, funcție de sistem răspuns la impuls: ce este sisteme FIR / IIR: ce sunt, prin ce diferă ordinul unui filtru funcție de transfer: numere complexe, modul și fază, interpretarea acestora poli, zerouri: ce sunt, interpretare tipuri de filtre: trece-jos, trece-sus, trece-bandă, oprește-bandă filtre neideale: bandă de tranziție, riplu în banda trecere și de oprire

Tehnici directe de proiectare a filtrelor digitale IIR Metodele de proiectare din această categorie se bazează pe optimizare numerică

Proiectarea directă a filtrelor IIR presupune următoarele etape: ◼

Considerarea unei funcţii raţionale H (z ) de forma M

H ( z) =

−k b z k k =0 N

1 +  ak z −k

=

B( z ) A( z )

(1)

k =1

cu ordinele M şi N ale polinoamelor

A(z ) şi B(z ) fixate;

Proiectarea directă a filtrelor IIR presupune următoarele etape: ◼

◼

Alegerea unui criteriu de minimizare a erorii adecvat aplicaţiei concrete; Utilizarea unui algoritm iterativ, pentru determinarea coeficienţilor a k , bk  ai lui

H (z )



sau a secvenţei h n astfel încât eroarea dintre răspunsul dorit şi cel realizat să fie minimizată.

Metoda de aproximare Padé ◼

Răspunsul la impuls dorit hd [n ] este specificat pentru n  0 M

H ( z) =

−k b z k k =0 N

1 +  ak z −k



=  h[n]z −n n =0

k =1

este răspunsul la impuls L = M + N + 1 parametri

h[n]

(2)

Metoda de aproximare Padé Criteriul celor mai mici pătrate - folosit în problemele de optimizare. Se minimizează suma pătratelor erorilor ◼

U

E =  hd [n] − h[n]

2

(3)

n =0

în raport cu parametrii

a k  şi bk  ai filtrului, unde U

este o limită superioară prestabilită pentru sumare

Metoda de aproximare Padé ◼

Dacă

U = L − 1 este posibil a adapta perfect

răspunsul dorit ◼

hd [n]

pentru

0nM +N

Filtrul ce urmează a fi proiectat este descris de ecuaţia cu diferenţe

y[n] = −a1 y[n − 1] − a2 y[n − 2] −  − a N y[n − N ] + + b0 x[n] + b1 x[n − 1] +  + bM x[n − M ]

(4)

Metoda de aproximare Padé

◼

Dacă intrarea în filtru este impulsul unitate x[ n] = [ n] rezultă y[n] = h[n] , adică

h[n] = −a1h[n − 1] − a2 h[n − 2] −  − a N h[n − N ] + + b0 [n] + b1 [n − 1] +  + bM  [n − M ] dar

[ n − k ] = 0

(5)

nk

h[n] = −a1 h[n − 1] − a 2 h[n − 2] −  − a N h[n − N ] + bn , 0  n  M

(6)

Metoda de aproximare Padé ◼

Pentru n  M , relatia (5) devine

h[n] = −a1 h[n − 1] − a 2 h[n − 2] −  − a N h[n − N ] ◼

Se impune

h[n] = hd [n] pentru 0  n  M + N şi

se foloseşte sistemul de ecuaţii (7) pentru a

determina ◼

(7)

a k .

Din (6) se determină

bk 

Metoda de aproximare Padé ◼

◼

Măsura în care această metodă permite obţinerea de filtre acceptabile depinde, în parte, de numărul de coeficienţi selectaţi. Acesta este un dezavantaj important al metodei - filtrul rezultat va avea mulţi poli şi multe zerouri - folosire limitată.

Metoda de aproximare Padé ◼

Aproximarea Padé are ca rezultat o potrivire perfectă cu Hd(z), când funcţia de sistem dorită este o funcţie raţională şi se cunoaşte numărul de poli şi zerouri din funcţia de sistem. Acesta nu este, în general, cazul în practică, deoarece hd[n] se determină din specificaţiile răspunsului dorit în frecvenţă, H d ( )

Metoda de aproximare Padé ◼

O soluţie de a obţine o aproximare bună a filtrului dorit cu metoda Padé este de a încerca diverse valori pentru M şi N până când răspunsul în frecvenţă al filtrului rezultat converge la răspunsul în frecvenţă dorit cu o eroare de aproximare acceptabil de mică.

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate ◼

◼ ◼

Se adoptă un model pentru sistem şi se determină parametrii modelului care minimizează în sensul celor mai mici pătrate eroarea dintre răspunsul sistemului real şi răspunsul dorit. hd [n] este specificat pentru n  0 filtrul numeric ce urmează a fi proiectat conţine numai poli, adică

H ( z) =

b0 N

1 +  ak z k =1

−k

(8)

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate ◼

Fie conectarea în cascadă a filtrului dorit H d (z ) cu filtrul invers

1 H ( z)

N 1 1  −k  Y ( z) = H d ( z)  = H d ( z )1 +  ak z  H ( z ) b0  k =1 

N 1  y[n] =  hd [n] +  ak hd [n − k ]  b0  k =1 

(9)

(10)

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate

Proiectarea filtrului invers prin metoda celor mai mici pătrate

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate y d [0] = y[0] = 1 ◼

Pentru n  0 , y[n ] reprezintă eroarea dintre ieşirea dorită

◼

b0 = hd [0]

y d [n] = 0 şi ieşirea reală

Parametrii a k  vor fi selectaţi astfel încât să

minimizeze suma pătratelor secvenţei de eroare:

   hd [n] +  a k hd [n − k ]    n =1  k =1  2 E =  y [ n] = 2 h n =1 d [0] 

N

2

(11)

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate '

  2     hd [n] + 2hd [n] a k hd [n − k ] +  a k hd [n − k ] al hd [n − l ]   n =1  k =1 k =1 l =1  E' =  =0 2 hd [0] 

N

N

N

N N   2 h [ n ] h [ n − k ] + a h [ n − k ] h [ n − l ] + a h [ n − k ] h [ n − l ]  d =0    d l d d k d d n =1  l =1 k =1  

N

 rdd [k ,0] +  al rdd [k , l ] = 0 , k = 1, 2,, N l =1

N

a r l =1

l dd

[k , l ] = −rdd [k ] , k = 1, 2,, N

(12)

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate 

rdd [k , l ] =  hd [n − k ] hd [n − l ]

(13)

n =1



rdd [k , l ] =  hd [n] hd [n + k − l ] =rdd [k − l ]

(14)

n =0



rdd [k ,0] =  hd [n] hd [n − k ] =rdd [k ]

(15)

R dd a  = rdd 

(16)

n =0

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate

a  = R dd  rdd  −1

◼

◼

(17)

metoda se numeşte a celor mai mici pătrate de proiectare a filtrului invers Practic, răspunsul la impuls dorit hd [n] este specificat pentru un număr finit de puncte

L  N

0  n  L cu

L − k −l

rˆdd [k − l ] =

 h [n] h [n + k − l ] , n =0

d

d

0  k −l  N

(18)

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate [ Rˆ dd ] a  = rˆdd 

(19)

a = [ Rˆ dd ]−1 rˆdd 

(20)

Rezolvarea problemei de aproximare a filtrului numai cu poli se mai poate realiza pe baza conceptului de predicţie liniară pe baza minimizării erorii în sensul celor mai mici pătrate ◼

ieşirea filtrului numai cu poli la un impuls

[n]

N

y[n] = − ak y[n − k ] + b0 [n]

(21)

h[n] = − ak h[n − k ] + b0 [n], n = 0,1,...

(22)

k =1 N

k =1

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate

Figura 3.11. Proiectarea filtrului prin metoda celor mai mici pătrate bazată pe predicţia liniară

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate N

hd [n] = − ak hd [n − k ] + b0 [n] , n = 0, 1,  k =1

Deoarece h[0] = b0 , se impune

Pt. n  1 h[ n] = 0

Dacă

pentru

(23)

b0 = hd [0] .

N

h[n] = − ak h[n − k ]

(24)

k =1

n0

H d (z ) este un filtru numai cu poli N

hd [n] = − ak hd [n − k ] , n  1 k =1

(25)

Proiectarea filtrelor digitale IIR folosind metoda celor mai mici pătrate ◼

Combinaţia liniară din membrul drept al relaţiei (25) poate fi considerată ca un estimat al lui h [n] d

N

hˆd [n] = − ak hd [n − k ] , n  1

(26)

k =1

hˆd [n] 

E= n =1

se numeşte valoarea predicţiei liniare a lui hd [n]

(

)

  ˆ hd [n] − hd [n] =   hd [n] +  a k hd [n − k ]  n =1  k =1  2



N

2

(27)

Metoda Prony

◼

Metoda predicţiei pe baza celor mai mici pătrate poate fi extinsă la o aproximare a lui H d (z ) care conţine poli şi

zerouri. Dacă filtrul H (z ) care aproximează H d (z ) are atât poli cât şi zerouri, atunci răspunsul său la impulsul

[n] devine N

M

h[n] = − ak h[n − k ] +  bk [n − k ] , n  0 k =1

(28)

k =0

N

h[n] = − ak h[n − k ] + bn , 0  n  M k =1

(29)

Metoda Prony N

h[n] = − ak h[n − k ] , n  M

(30)

k =1

◼

Pe baza relaţiei (30) se defineşte valoarea de predicţie liniară a lui hd [n] , ca fiind N

hˆd [n] = − ak hd [n − k ] , n  M

(31)

k =1

◼

E1 =

suma pătratelor erorii de predicţie este

( 

)

2 ˆ hd [n] − hd [n] =

n = M +1

   hd [n] +  a k hd [n − k ]   n = M +1  k =1  

N

2

(32)

Metoda Prony ◼

Minimizarea lui E1 în raport cu coeficienţii ak  conduce la sistemul de ecuaţii liniare N

a r l =1

l dd

[k , l ] = −rdd [k ,0] , k = 1, 2 , , N

rdd [k , l ] =



 hd [n − k ] hd [n − l ]

(33) (34)

n = M +1

N

bn = hd [n] +  aˆk hd [n − k ] , 0  n  M k =1

(35)

Metoda Prony

◼

parametrii aˆ k  ce determină polii se obţin prin metoda celor mai mici pătrate;

◼

parametrii

bk  , care determină zerourile, se obţin ca

în metoda de aproximare Padé.

Metoda Shanks

◼

Ambele seturi de parametri,

ak 

şi bk  , se determină

pe baza minimizării erorii de aproximare în sensul celor mai mici pătrate.

H1 ( z) =

1 N

1 +  aˆ k z −k

(36)

k =1

N

v[n] = − aˆ k v[n − k ] + [n] , n  0 k =1

(37)

Metoda Shanks M

H 2 ( z ) =  bk z −k

(38)

k =0

M

hˆd [n] =  bk v[n − k ] k =0

(39)

Folosirea metodei celor mai mici pătrate pentru determinarea polilor şi zerourilor unui filtru

Metoda Shanks M

e[n] = hd [n] − hˆd [n] = hd [n] −  bk v[n − k ] k =0

  (41) E 2 =   hd [n] −  bk v[n − k ]  n =0  k =0  sistem de ecuaţii liniare pentru parametrii bk , în forma 

◼

2

(40)

M

M

b r k =0

k vv

[k , l ] = rhv [l ,0] , l = 0 , 1, , M

(42)



rvv [k , l ] =  v[n − k ] v[n − l ]

(43)

rhv [l ,0] =  hd [n] v[n − l ]

(44)

n =0 

n =0

Filtrul FIR invers obţinut prin metoda celor mai mici pătrate ◼

Sistemul invers al unui SDLIT

h[n] * hI [n] =  [n] Et = ◼

H ( z)  H I ( z) = 1

(45) 

 hI [ n ] 2

(46)

(47)

n = M +1

Fie d[n] secvenţa de ieşire dorită a filtrului de lungime

M+1 şi fie h[n] secvenţa de intrare. ◼

secvenţa de eroare dintre secvenţa dorită si cea reală este M

e[n] = d [n] −  bk h[n − k ] k =0

(48)

Filtrul FIR invers obţinut prin metoda celor mai mici pătrate bk sunt coeficienţii filtrului

Filtrul FIR invers obţinut prin metoda celor mai mici pătrate

  E =  d [n] −  bk h[n − k ] n =0  k =0  

M

2

(49)

Filtrul FIR invers obţinut prin metoda celor mai mici pătrate ◼

Prin minimizarea lui E în raport cu coeficienţii filtrului M

b r k =0

◼

k hh

[k − l ] = rdh [l ] ,

l = 0,1, M

(50)

rhh[l] este funcţia de autocorelaţie a lui h[n], presupus staţionar, definită ca 

rhh [l ] =  h[n]h[n − l ] n =0

(51)

Filtrul FIR invers obţinut prin metoda celor mai mici pătrate ◼

rdh[l] este secvenţa de corelaţie dintre răspunsul dorit d[n], presupus staţionar, şi secvenţa de intrare h[n], definită ca



rdh [l ] =  d [n]h[n − l ] ◼

Filtru Wiener

Pentru d[n]=δ[n]

n =0

rdh[l] =

h[0], l = 0  0, în rest

(52)

(53)

Filtrul FIR invers obţinut prin metoda celor mai mici pătrate  rhh [0] rhh [1] ..........  r [1] r [0] .......... hh  hh  ......... .......... ..........  rhh [ M ] 

rhh [ M ]   b0  h[0] rhh [ M − 1]  b1   0  = ..........  .....   .....      rhh [0]  bM   0  M

Emin =  d 2 [n] −  bk rdh [k ] n =0

d [ n ] =  [ n]

k =0

r dh [n] = h[0] [n] E min = 1 − h[0] b0

d [ n] =  [ n − D ]

(54)

M

Emin = 1 −  bk h[ D − k ] k =0

(55) (56) (57)