Tarea 2 Marynelsi de La Hoz

Unidad – Tarea 2 – límites y continuidad.

GRUPO 100410_449

TUTOR Waldyr Fong

PRESENTADO POR Marynelsi De La Hoz Sánchez COD: 27706909

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONOMICAS Y DE NEGOCIOS (ECACEN) ABRIL 2021

Ejercicios – Tarea 2 A continuación, se presentan los ejercicios y problemas asignados para el desarrollo de Tarea 2 en este grupo de trabajo, debe escoger un numero de estudiante y desarrollar los ejercicios propuestos para este estudiante únicamente. Tenga en cuenta los enunciados que hacen referencia al uso de GeoGebra para su comprobación y análisis gráfico, recuerde que uno de los elementos a evaluar en la actividad es al análisis gráfico en GeoGebra. EJERCICIOS 1. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, y de acuerdo con ella determinar los límites laterales dados, presentar la gráfica y la respuesta a cada inciso. Función

Estudiante 2

lim f ( x )=−∞

x→+∞

3 f ( x )= x −3 x ←1 −2 x x ≥−1

Límites lim f ( x ) a. x→+∞ lim

¿

b.

x→−1 f ( x ) ¿

c.

x→−1 f ( x ) ¿

d.

x→ 2 f ( x ) ¿

{

−¿

lim

¿

+¿

lim −¿

¿

lim

¿

−¿

x→−1 f ( x ) =−4 ¿

lim

¿

+¿

x→−1 f ( x ) =2 ¿

lim

¿

−¿

x→ 2 f ( x ) =−4 ¿

2. Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma

0 presentado el paso a paso 0

del desarrollo y su respuesta. Estudiante 2

lim

x →3

lim

x →3

x 2−2 x−3 x −3

x 2−2 x−3 x −3

Se le aplica la regla I’Hopital d 2 [x −2 x−3] x 2−2 x−3 dx lim =lim x −3 d x →3 x →3 [x −3] dx Se halla la derivada del numerador y el denominador de la siguiente manera d 2 d [ x ]+ [ −2 x ] + d [−3 ] dx dx dx

d 2 d [ x ]+ [ −2 x ] + d [−3 ] dx dx dx lim d x →3 [ x−3] dx

Se diferencia con la regla de la potencia donde n=2 d n [x ] dx

2 x+ lim

x →3

d [−2 x ] + d [−3] dx dx d [ x−3] dx

2 x−2+ lim

x →3

d [−3] dx

d [ x −3] dx

Ya que -3 es constante respecto a x, la derivada de -3 es -3 lim

x →3

lim

x →3

lim

x →3

2 x−2+0 d [ x−3 ] dx 2 x−2 d [ x−3 ] dx

2 x−2 d d [ x ] + [x−3 ] dx dx

Se diferencia con la regla de la potencia donde n=1 x →3

2 x−2 d 1+ [ x−3] dx

lim

2 x−2 1+0

lim

2 x−2 1

lim

x →3

x →3

Se realiza la división de la operación quedando: lim 2 x−2 x →3

Se separa el límite usando la regla de la suma de límites

lim 2 x−lim 2 x →3

x →3

Se coloca 3 para todas las apariciones de x quedando de la siguiente manera.

2∗3−lim 2 x →3

Se avalúa el límite de 2ya que es constante a x

2∗3−2 Se realiza la operación 6−2=4 Comprobación por GeoGebra

3. Calcular el siguiente límite al infinito y comprobar en GeoGebra que el límite existe, presentar la gráfica de donde se evidencie la existencia del límite y el paso a paso del desarrollo analítico del ejercicio.

Estudiante 2

lim

x→ ∞

√ 2 x 2+ 1 3 x−5

Se divide el numerado y el denominador por la potencia más alta de x

lim

x→ ∞

√

2 x2 1 + x2 x2 3x 5 − x x

Se simplifica el término 1 x2 lim 5 x→ ∞ 3− x

√

2+

Se divide el límite

1 x →∞ x2 5 lim 3− x x →∞

√

lim 2+

1 x2 5 lim 3− x x →∞

√

lim 2+

x→ ∞

Se separa los límites

lim 1 lim 2+ x→ ∞2 x →∞ x lim 5 lim 3− x→ ∞ x x→ ∞

√

Se coloca 5 fuera del límite

√

lim 1

lim 2+

x →∞

x →∞ 2

x lim 1

lim 3−5 x → ∞ x

x →∞

Como el numerador y el denominador tienen la fracción

1 , esta se aproxima a 0 x

√ lim 2+0 x→ ∞

lim 3−5∗0

x →∞

Se evalúa los límites, ya que son contantes a x cuando se acerca a ∞ quedando

√ 2+0 3−5∗0 Se simplifica

√2 3+0

√ 2 =0.471 3

Comprobación por GeoGebra

4. Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentado el paso a paso del desarrollo y su respuesta.

Estudiante 2

lim

π x→ 4

1−tan x sin x−cos x

Se le aplica la regla I’Hopital lim x→

π 4

1−tan x −se c 2 x = lim sin x−cos x x → π cos x +sin x 4

Se divide el límite usando la regla de los límites lim −se c 2 x x→

π 4

lim cos x+ lim sin x x→

π 4

x→

π 4

Se mueve -1 fuera del límite − lim se c 2 x x→

π 4

lim cos x+ lim sin x x→

π 4

x→

π 4

Se mueve se c 2 x fuera del límite −se c 2 lim x

( ) x→

π 4

lim cos x+ lim sin x x→

π 4

x→

π 4

Se mueve los límites de cos y sin dentro de la función trigonométrica, por ser continuos

−se c 2 lim x

( ) cos lim x + sin lim x ( ) ( ) x→

x→

π 4

π 4

x→

π 4

En el límite de x se coloca −se c 2

π 4

π 4

π π cos +sin 4 4 Se simplifica −1∗2 √2 −2 √2 Se multiplica por

√2 √2

−2 ∗ √2 √2 √2 −2 √2 2 Se cancela el factor común 2 y -2 quedando −√ 2=−1.414

Comprobación por GeoGebra

5. Graficar en GeoGebra cada función a trozos dada encontrando el valor de a que hace que la función sea continua. Demostrar Matemáticamente que la función es continua en el valor hallado. Presentar la gráfica de comprobación en GeoGebra y el paso a paso con el desarrollo y su respuesta. Estudiante 2

Se remplaza las x por 2 x 2+ 3 a+2 22 +3 a+2=β 4 +3 a+2=β 6+3 a=β 3 a=β−6 a=

β−6 3

−x 2−ax +5 −22−a∗2+5=β −2 a+9=β −2 a=β−9

2 a+2 x <2 f ( x )= x +3 2 −x −ax +5 x ≥ 2

{

a=

β−9 −2

Una vez hallado a se iguala a con la otra a a=a β−6 β−9 = 3 −2 Se multiplica en x quedando de la siguiente manera: −2 β+12=3 β−27 39=5 β β=

39 =7,8 5

a=

7,8−6 =0,6 3

Por lo que la función nos queda, que remplazando a por 0,6 de la siguiente manera: 2 (0,6)+ 2 x <2 f ( x )= x +3 2 −x −0,6 x +5 x ≥ 2

{

Comprobación por GeoGebra

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Apreciados estudiantes, a continuación, se presentan los enunciados que usted deberá resolver y sustentar por medio de video. Recuerde que, para garantizar su evaluación objetiva, estos problemas no tendrán realimentación ni revisión previa por parte de su

tutor asignado, en este sentido, estos problemas no se deberán adjuntar en el foro como aporte, únicamente se presentará su solución en video remitido a través de un enlace que debe incluir en la entrega de su documento final. Recuerde también apoyarse en GeoGebra y la gráfica de las funciones que aborda cada problema para apoyar la sustentación de la solución.

Problemas Límites y continuidad. Estudiant e2

Límites. La población de un estado está dada en millones de habitantes por la función P(t)=

20(t−1) +40 4+(t −1)2

Donde tes el tiempo medido en años a. ¿Qué población se tiene al inicio?

Para la población al inicio, que en este caso es t=0; tenemos:

P(t)=

20(0−1) + 40 4+(0−1)2

P(t)=

−20 + 40 5

P ( t ) =−4 +40 P ( t ) =36 Comprobación por GeoGebra

b. ¿Qué población se tendrá cunado el tiempo crezca indefinidamente?

P(t)=

20(t−1) +40 4+(t −1)2

Se multiplica la operación; y se resuelve el binomio cuadrado quedando de la siguiente forma: P(t)=

20 t−20 + 40 4+t 2−2 t+ 1

Como en la parte de abajo se tiene dos constantes se suman P(t)=

20 t−20 + 40 t 2−2 t+5

Se divide el numerador y el denominador por t, de la siguiente manera: 20t−20 t P(t)= 2 + 40 t −2 t+5 t Se resuelve la operación, quedando:

20 t P(t)= + 40 5 t−2+ t 20−

T tiende a infinito Cualquier número dividido sobre infinito, que en este caso es t, tiende a 0 0

20 t P(t)= + 40 5 t−2+ t 20−

0

∞

Por lo que nos queda P(t)=

20 + 40 ∞−2

Todo numero dividido sobre infinito, tiende a 0 0

P(t)=

20 + 40 ∞

Donde nos queda P ( t ) =0+40 Se resuelve la suma

P(t)=40 Comprobación por GeoGebra

Continuidad. El diseño de un acueducto en una gran ciudad por los accidentes topográficos se tiene proyectado en tres tramos dados por las siguientes funciones 3 x+ 10 ≤ x ≤ 1 f ( x )= ax+ b1< x <5 2 −4 x + 2 x ≥5

{

Se pide determinar los valores de a y b que hacen que la línea del acueducto sea continua. Se evalúa la primera ecuación en el límite con la función con la que es continua, esto es x=1 f ( x )=3 x +1 f ( 1 ) =3+1=4 Como es continua sabemos que la siguiente función, debe dar como resultado en x=1 también, 4 entonces tenemos: G ( 1 )=ax +b G ( 1 )=a+ b=4 Evaluamos la tercera función en el limite con la que es continua con la

función anterior, esto quiere decir x=5 h ( x )=−4 x 2+2 h ( 5 )=−4 (5)2+2 h ( 5 )=−98 Como es continua sabemos que la siguiente función, debe dar como resultado en x=5 también, -98 entonces tenemos: G ( 5 )=5 a+ b=−98 Quedando un sistema de ecuaciones 2x2 de la siguiente manera: 1. a+ b=4

3. a=4−b

2. 5 a+b=−98 Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones Se remplaza 3 en 2 5 ( 4−b )+ b=−98 20−5 b+b=−98 −5 b+b=−98−20 −4 b=−118 b=

−118 =29,5 −4

4.

Se remplaza 4 en 3 a=4−29,5 a=−25,5 Por lo que los valores de a y b que hacen que la línea del acueducto sea continua, es: G ( x ) =−25,5 x+29,5

Comprobación por GeoGebra

Link de la grabación: https://screencast-o-matic.com/watch/crf13OVniqP

Conclusión

En esta actividad se escoge un estudiante donde cada estudiante tiene 7 ejercicios que abordan problemas de Límites y continuidad, una vez resuelto los ejercicios se comprueba con el programa de GeoGebra; y se realiza la exposición de los dos últimos ejercicios.

Bibliografía



Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Límites y continuidad. Pág. 62-68, teorema de los valores intermedios. 87-90. Recuperado de: https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777



Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Límites indeterminados, Límites al infinito y Límites Trigonométricos Pág. 71-87. Recuperado de: https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777



Llopis, J. (2010). MatesFacil. Recuperado de: https://www.matesfacil.com/BAC/limites/laterales/limites-lateralesejemplos-problemas-resueltos-graficas-ejemplos.html